• 理科数学 南京市2010年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.(       )

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2.已知复数,其中i是虚线单位,则(    )

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3.已知全集U=R,集合,则集合(    )

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4.某同学五次测验的成绩分别为78,92,86,84,85,则该同学五次测验成绩的方差为(    )

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5.已知中心在坐标原点的椭圆经过直线与坐标轴的两个交点,则该椭圆的离心率为(    )

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6.下图是一个算法的流程图,若输入x=6,则输出k的值是(    )


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7.已知等比数列{an}的各项都为正数,它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列{an}的通项公式(       )

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8.同时抛掷两个骰子,向上的点数之积为3的倍数的概率是(    )

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9.已知向量满足夹角的大小为(    )

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10.若方程的解为x0,则不小于x0的最小整数是(     )

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11.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π,则这个圆柱的体积是(    )

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12.△ABC中,若A=2B,则的取值范围是(    )

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13.已知函数,分别给出下面几个结论:

是奇函数;

②函数的值域为R

③若x1x2,则一定有

④函数有三个零点。

其中正确结论的序号有(    )(请将你认为正确的结论的序号都填上)

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14.在数列中,如果存在正整数T,使得对于任意的正整数m均成立,那么就称数列为周期数列,其中T叫数列的周期。已知数列,如果,当数列的周期最小时,该数列前2010项的和是(    )         

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简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15.已知向量

(1)求函数的最大值;

(2)求函数在[0,π]上的单调递增区间。

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16.如图,在四棱锥O—ABCD中,AD//BC,AB=AD=2BC,OB=OD,M是OD的中点。

求证:

        (1)直线MC//平面OAB;

        (2)直线直线OA

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17.某自来水公司准备修建一条饮水渠,其横截面为如图所示的等腰梯形,,按照设计要求,其横截面面积为平方米,为了使建造的水渠用料最省,横截面的周长(梯形的底BC与两腰长的和)必须最小,设水渠深h米。

(1)当h为多少米时,用料最省?

(2)如果水渠的深度设计在的范围内,求横截面周长的最小值。

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18.已知

(1)求过点A与相切的直线l的方程;

(2)设关于直线l对称的圆,则在x轴上是否存在点P,使得P到两圆的切线长之比为?荐存在,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由。

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19.设函数

(1)当时,讨论函数的单调性;

(2)若函数仅在x=0处有极值,试求a的取值范围;

(3)若对于任何上恒成立,求b的取值范围。

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20.(本题中必要时可使用公式:

是各项均为正数的无穷项等差数列。

(1)记,已知,试求此等差数列的首项a1及公差d;

(2)若的首项a1及公差d都是正整数,问在数列中是否包含一个非常数列的无穷项等比数列?若存在,请写出的构造过程;若不存在,说明理由。

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21.[选做题]

在A、B、C、D四小题中只能选做2题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.选修4-1:几何证明选讲

如图,△ABC是的内接三角形,PA是的切线,PB交AC于点E,交于点D。若PE=PA,,PD=1,BD=8,求BC的长。

B.选修4-2:矩阵与变换

已知在一个二阶矩阵M的变换作用下,点A(1,2)变成了点,点变成了,求矩阵M。

C.选修4-4:坐标系与参数方程

自极点O作射线与直线相交于点M,在OM上取一点P,使得OM·OP=12,求点P的轨迹方程,并判断点P的轨迹与直线 (t是参数)的位置关系。

D.选修4-5:不等式选讲

,试比较的大小。



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22.

(1)设展开式中的系数是10,求n的值;

(2)利用二项式定理证明:

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23.某商场为促销设计了一个抽奖模型,一定数额的消费可以获得一张抽奖券,每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球,至少摸到一个红球则中奖。

(1)求一次抽奖中奖的概率;

(2)若每次中奖可获得10元的奖金,一位顾客获得两张抽奖券,求两次抽奖所得的奖金额之和X(元)的概率分布和期望E(X)。

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