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1.设集合,
,则
正确答案
解析
集合A中的不等式可化为
,则有
,
则
A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所以选D选项。
考查方向
解题思路
分别求解不等式得到,
再借助数轴进行交集运算,即可得到结果。
A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所以选D选项。
易错点
如何把不等号两边化为“同底”
解对数不等式时忽略了真数大于0
知识点
4.口袋中有5个小球,其中两个黑球三个白球,从中随机取出两个球,则在取到的两个球同色的条件下,取到的两个球都是白球的概率
正确答案
解析
记取到的两个球都是白球为事件A, 取到的两个球同色为事件B
A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所以选D选项。
考查方向
解题思路
利用求解
易错点
在利用公式计算条件概率时,在条件发生的前提下,样本容量已经发生改变。
知识点
5.已知,
满足约束条件
则目标函数
的最大值为
正确答案
解析
可行域如图所示:
把目标函数化为直线的斜截式,将其平移经过可行域,找到直线在
轴上截距最小时对应的点
;将点
代入目标函数
,求出
。
A选项不正确,B选项不正确,D选项不正确,所以选C选项。
考查方向
解题思路
可变为 ,画图可知直线经过某点的时候z最大,即可得到结果。
A选项不正确,B选项不正确,D选项不正确,所以选C选项。
易错点
可行域和目标函数对应的直线的画图出现错误
与截距的关系理解出现偏差
知识点
8.已知函数(
)的图象过点
,如图,则
的值为
正确答案
解析
已知函数(
)的图象过点
得,由因为图像可知,方程的解出现在函数的增区间内
所以,
B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选A选项。
考查方向
解题思路
把点P代入得
结合图像可知。
B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选A选项。
易错点
对于方程解的两种情况判断不清
知识点
9.等腰直角中,
,
,
在
轴上,有一个半径为
的圆
沿
轴向
滚动,并沿
的表面滚过,则圆心
的大致轨迹是(虚线为各段弧
所在圆的半径)
正确答案
考查方向
解题思路
1.水平方向及直角边上运动时,圆心是呈直线运动的
易错点
圆运动到直角顶点A时的圆心所满足条件理解出现偏差
知识点
10.已知数列为等差数列,且公差
,数列
为等比数列,若
,
,则
正确答案
考查方向
解题思路
1. 分析与
之间的关系,用
来表示
易错点
不能定量分析与
之间的关系
知识点
2. 设命题:若
,
,则
;命题
:若函数
,则对任意
都有
成立.在命题①
; ②
; ③
; ④
中,真命题是
正确答案
解析
命题P中,当时,
没有意义,所以P是假命题,则
为真命题
命题Q中,因为是定义域内的增函数,所以对任意
都有
成立,所以Q是真命题,
为假命题
为假命题,
为真命题,
为假命题,
为真命题,
A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所以选D选项。
考查方向
解题思路
分别判断命题的真假
利用含有“或、且、非”命题的真假的判断方法,即可得到结果。
A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所以选D选项。
易错点
命题P的真假判断时容易忽略的情况
不能理解不等式 与函数单调性之间的联系
知识点
3.已知复数,则
正确答案
解析
,
B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选A选项。
考查方向
解题思路
先计算
再计算,即可得到结果。
B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选A选项。
易错点
计算出错
知识点
6.如图,给出的是求……
的值的一个程序框图,
则判断框内填入的条件是
正确答案
解析
当时,
;当
时,
;
以此类推,当时,
,
的值增加
,变为
.
A选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选B选项。
考查方向
解题思路
当时,
;当
时,
;
以此类推,当时,
,
的值增加
,变为
.
易错点
没看清“是”,“否”,不等号方向写反,本题循环结构为
当型循环,当满足条件时执行循环体,因此排除A,D项;
求和后,的值没有增加
,输出
时,
的值当为
。
知识点
7. 在平面直角坐标系中,双曲线过点
,且其两条渐近线的方程分别为
和
,则双曲线
的标准方程为
正确答案
解析
设双曲线的标准方程为
又因为点在双曲线上,
,
所以,所求双曲线的标准方程我
考查方向
解题思路
采用待定系数法,由由双曲线的渐近线设标准方程
把点P代入方程求解,即可得到结果。
易错点
由双曲线的渐近线设标准方程出错
知识点
11.四棱锥
的底面是边长为 的正方形,高为1,其外接球半径为 ,
则正方形的中心与点
之间的距离为
正确答案
解析
可求得正方形的对角线长为4,设球心为
,则
到正方形的中心为
,
到正方形
的距离为1,所以
到正方形的中心距离与
到球心
的距离相等,则为
.
A选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选B选项。
考查方向
解题思路
求出球心到正方形的中心的距离,再结合图形判断位置关系求解.
易错点
球心位置的确定
知识点
12.已知点为函数
的图像上任意一点,点
为圆
上任意一点,则线段
的长度的最小值为
正确答案
解析
.设 , P到圆心的距离
令 ,则
令 ,得
,易得
在
上递减,在
上递增
所以, 的最小值为
,则d的最小值为
则线段的长度的最小值为
A选项不正确,B选项不正确,D选项不正确,所以选C选项。
考查方向
解题思路
设 ,先求 P到圆心的距离的最小值
P到圆心距离的最小值减去圆的半径即为所求。
易错点
不能找到正确的解题思路
知识点
13.若,则二项式
的展开式各项系数和为 .
正确答案
-1
解析
,
当时,
的展开式的各项系数和为
考查方向
解题思路
运用微积分基本定理,求出m
当x=1,所有二项式的值即为展开式的系数和
易错点
求错原函数。 二项式的展开式的二项系数和与系数和混淆
知识点
14.点
在
的边
所在直线上,且满足
(
),则在平面直角坐标系中,动点
的轨迹的普通方程为 .
正确答案
考查方向
解题思路
1. 运用B,C,P共线,则
易错点
不能利用m与n的关系建立动点横坐标x与纵坐标y之间的联系。
知识点
15.数列中,
,前
项和为
,且
,则数列
的通项公式为 .
正确答案
考查方向
解题思路
1. 当时,求出
易错点
当时,
,不知道如何化简。
知识点
16.一个空间几何体的三视图如图所示,
则这个几何体的体积为 .
正确答案
考查方向
易错点
1. 不能正确第画出几何体的直观图。
.
23.求抛物线的方程;
24.已知动圆的圆心在抛物线
上,且过定点
,若动圆
与
轴交于
、
两点,求
的最大值.
正确答案
(1);
解析
(1) 设抛物线的焦点为,则直线
,
由,得
-------------2分
,
,
,
抛物线
的方程为
------------4分
考查方向
解题思路
联立直线与抛物线方程,求解抛物线过焦点的弦长.
设动圆圆心 ,表示出圆的方程并求出A,B点,用距离公式表示
,即可得到结果。
易错点
联立消元计算出错
第2问计算量较大,对学生的运算能力是个严重的考验。
不能正确地两次利用基本不等式求最值。
正确答案
(2)
解析
设动圆圆心,则
,
且圆,
令,整理得:
,
解得:, -------------4分
设,
当时,
,①
当时,
,
,
,
,且
,②
综上①知, -------------8分
在
单调递减,
,
当且仅当,即
时等号成立.
所以的最大值为
. -------------12分
考查方向
解题思路
联立直线与抛物线方程,求解抛物线过焦点的弦长.
设动圆圆心 ,表示出圆的方程并求出A,B点,用距离公式表示
,即可得到结果。
易错点
联立消元计算出错
第2问计算量较大,对学生的运算能力是个严重的考验。
不能正确地两次利用基本不等式求最值。
已知.
17.若,求
的值域;
18.在
中,
为
边所对的内角,若
,
,求
的最大值.
正确答案
(1)值域为;【考查方向】本题考查了求
类型函数的值域及向量数量积,并涉及到降幂公式、辅助角公式及基本不等式等内容。
解析
(Ⅰ), -------------3分
,
的值域为
;-------------6分
解题思路
利用降幂公式、辅助角公式把函数化成型再求值域
利用求出A,然后利用余弦定理及基本不等式,即可得到结果。
易错点
求值域时,直接带定义域的端点求最值
第2问没能联想到基本不等式求最值。
正确答案
最大值为
解析
(Ⅱ),
,
,
-------------9分
,
.
的最大值为
. -------------12分
考查方向
解题思路
利用降幂公式、辅助角公式把函数化成型再求值域
利用求出A,然后利用余弦定理及基本不等式,即可得到结果。
易错点
求值域时,直接带定义域的端点求最值
第2问没能联想到基本不等式求最值。
某汽车公司为调查4S店个数对该公司汽车销量的影响,对同等规模的A,B,C,D,E五座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计,结果如下:
19.根据该统计数据进行分析,求y关于x的线性回归方程;
20.现要从A,B,E三座城市的9家4S店中选取4家做深入调查,求A城市中
被选中的4S店个数X的分布列和期望.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
, .
正确答案
(1);
解析
(Ⅰ),
-------------3分
,
y关于x的线性回归方程为:
.-------------6分
考查方向
解题思路
带公式求线性回归方程;
先找出随机变量的所有取值,分别求对应的概率并列出表格,然后到公式求出期望。
易错点
带公式求方程计算出错
分布列中随机变量求值及其概率求错
正确答案
(2)
解析
的可能取值为:
.
,
,
,
.
-------------9分
.-------------12分
考查方向
解题思路
带公式求线性回归方程;
先找出随机变量的所有取值,分别求对应的概率并列出表格,然后到公式求出期望。
易错点
带公式求方程计算出错
分布列中随机变量求值及其概率求错
正方体中,沿平面
将正方体分成两部分,其中一部分如图所示,过直线
的平面
与线段
交于点
.
21.当与
重合时,求证:
;
22.当平面平面
时,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
正确答案
(1)证明略;(2)
解析
(Ⅰ)连接
,在正方形
中,
,
正方体中,
平面
,
平面
,
,
平面
,
,即
;-------------4分
考查方向
解题思路
利用线面垂直的判定定理及线面垂直的定义求证第1问
建立适当的空间直角坐标系,利用空间向量求解二面角的余弦值
易错点
平面的法向量计算出错
正确答案
(2)
解析
正方体中,
、
、
两两垂直,
分别以、
、
为
、
、
轴建立空间直角坐标系,
设,
,
,设
,
,
,设平面
的法向量为
,
则,即
,令
,得
,
平面的法向量为
,
平面的法向量为
,
平面
平面
,
,得
,
,--------8分
设平面与平面
所成锐二面角为
,
则.-------------12分
考查方向
解题思路
利用线面垂直的判定定理及线面垂直的定义求证第1问
建立适当的空间直角坐标系,利用空间向量求解二面角的余弦值
易错点
平面的法向量计算出错
已知函数(
为常数),函数
,(
为常数,且
).
25.若函数有且只有1个零点,求
的取值的集合;
26.当(Ⅰ)中的取最大值时,求证:
.
正确答案
解析
(1)解:,----------------------------------------------------------------1分
①时,
,则
在
上单调递增.
而,
,
故在
上存在唯一零点,满足题意; -------------------------3分
②时,令
得
,则
在
上单调递增
;
令得
,则
在
上单调递减;
若,得
,显然满足题意; -------------------------------4分
若,则
,而
,
又,
令,则
,
令,得
,故
在
上单调递增;
令,得
,故
在
上单调递减;
故,则
,即
,
则.
故在
上有唯一零点,在
上有唯一零点,不符题意.
综上,的取值的集合为
. -----------------------6分
考查方向
解题思路
利用导数讨论函数的单调性与极值,并与图像结合。
利用第一问的结论化简左边的函数式,然后讨论函数的单调性和极值,即可得到结果。
易错点
忽视了函数的定义域
第一问中没有对k进行分类讨论
第二问的证明过程中不能正确利用第一问的结论化简函数。
正确答案
证明略
解析
由(1)知,,当且仅当
时取
,
而,故
,
则时,
-------------8分
记,则
,
令,则
,故
在
上单调递增.
而,
,故存在
,使得
,
即. -------------10分
则时,
,故
;
时,
,故
.
则在
上单调递减,在
上单调递增,
故
.
故. -------------12分
考查方向
解题思路
利用导数讨论函数的单调性与极值,并与图像结合。
利用第一问的结论化简左边的函数式,然后讨论函数的单调性和极值,即可得到结果。
易错点
忽视了函数的定义域
第一问中没有对k进行分类讨论
第二问的证明过程中不能正确利用第一问的结论化简函数。
等腰梯形中,
∥
,
、
交于点
,
平分
,
为梯形
外接圆的切线,交
的延长线于点
.
27.求证:;
28.若,
,
,求
的长.
正确答案
(1)证明略;
解析
(1) 为圆的切线
,
平分
为圆的切线
.-------------6分
考查方向
解题思路
根据切割线定理得,再证
,即可得证.
根据同弧对的圆周角相等,可得,进一步求
即可.
易错点
难以找出相等的角,进而将边转化求长度.
正确答案
解析
,
.-------------12分
考查方向
解题思路
根据切割线定理得,再证
,即可得证.
根据同弧对的圆周角相等,可得,进一步求
即可.
易错点
难以找出相等的角,进而将边转化求长度.