理科数学 大连市2017年高三第一次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合,则    (   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

方法一,注意到是求交集以及集合M中只有两个元素,只需将-1,1分别代入集合N中检验,得到-1符合,所以答案是D。方法二,解集合N中不等式,变形为:<<,由单调性知,-1,故

考查方向

本题主要考查了集合的表示和运算,指数不等式求解。

解题思路

1、注意集合运算问题可以采用代入排除法求解可以免去不等式运算。2、注意指数不等式运算底数变统一,利用指数函数单调性求解。

易错点

本题易不等式求解错误,易忽视

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4. 在二项式的展开式中,常数项是                       (   )

A20

B-160

C160

D-20

正确答案

B

解析

本题考查二项式展开式的应用。
解答:因为
所以
故常数项是-

考查方向

本题考查二项式展开式的应用。

解题思路

根据所给的二项式,写出二项式的通项第r+1项,使得式子中变量x的指数等于0,得到对应的r的值,把求得的r的值代入通项,做出常数项,得到结果。

易错点

计算错误。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5. 已知几何体的三视图(如右图),则该几何体的体积为(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由已知可得该几何体是一个底面棱长为2
侧面高为的正四棱锥
则棱锥的高

棱锥体积
所以C选项是正确的。

考查方向

本题主要考查三视图和棱锥体积公式。

解题思路

根据已知的三视图可判断出该几何体是一个正四棱锥,且可得底面棱长为2,侧面高为,由此求出底面面积和棱锥的高,代入棱锥体积公式,可得答案。

易错点

本题易记错锥体体积公式,忘掉系数

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.设是等差数列{}的前n项和,且=3=2,则=      (   )

A11

B12

C22

D28

正确答案

B

解析

等差数列中,=3=2

  d=0   

考查方向

本题主要考查等差数列的通项和前n项和公式。

解题思路

在等差数列中,=3=2,利用等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程组,求出和d,由此能求出

易错点

本题易计算错误。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是                            (   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

本题主要考查三角函数的化简与平移。

,该图象向左平移个单位长度后,得到。因为平移后的函数关于轴对称,则函数为偶函数,故,得。又因为,所以当时,取得最小值,

故本题正确答案为C。

考查方向

本题主要考查三角函数的化简与平移。

解题思路

本题比较常见题型有正弦平移后变偶函数,余弦平移后变奇函数,处理本类问题:利用三角函数的诱导公式对正余弦函数进行相互转化。

易错点

正弦函数平移之后变成偶函数对初项的处理不当而导致易错。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.如图所示,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且ABCD,正方体的六个面所在的平面与直线CEEF相交的平面个数分别记为mn,那么mn=(  )

A11

B10

C8

D6

正确答案

C

解析

根据题意可以知道直线CE与正方体的上底面平行在正方体的下底面上,与正方体的四个侧面不平行,所以m=4,直线EF与正方体的左右两个侧面平行,与正方体的上下底面相交,前后侧面相交,所以n=4,所以m+n=8..
因此,本题正确答案是:8.

考查方向

考查了正方体和三棱锥的结构特征和相应的线面位置关系,着重考查了学生的空间想象能力和推理能力。

解题思路

判断CE与EF与正方体表面的关系,即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,求出m+n的值.

易错点

本题的解答中由于CE与正方体底面各线都相交,所以CE与正方体各侧面相交,即m=4,由于上下底面,正面与后面都与两侧面相交,所以EF与它们相交,即n=4是解答的关键.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2. 下列函数为奇函数的是 (   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

注意定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的前提,另外奇函数满足f(-x)=-f(x)。选项A定义域不符合,为非奇非偶函数,选项B和C都满足f(-x)=f(x),都为偶函数,选项D满足f(-x)=-f(x),所以答案为D。

考查方向

本题主要考查了函数的奇偶性。

解题思路

1、注意定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的前提。2、注意奇函数满足f(-x)=-f(x),偶函数满足f(-x)=f(x)。

易错点

本题易与为偶函数混淆。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3. 若满足,则的最大值为                     (   )

A0

B3

C4

D5

正确答案

C

解析

本题考查简单的线性规划问题,意在考查考生的数形结合思想以及运算求解能力. 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界),由解得

故当目标函数z=2x+y经过点A(1,2)时,z取得最大值,Zmax=2×1+2=4.故选C.

考查方向

本题考查简单的线性规划问题,意在考查考生的数形结合思想以及运算求解能力。

解题思路

画出可行域,平移直线2x+y=0,经过点A时目标函数最大。

易错点

本题可行域易画错直线。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.函数,若的定义域都为 ,且值域相同,则                                        (   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由题意, ,
由f(g(x)与g(f(x))的定义域都为[a,b],
得其值域分别为:

解得:

考查方向

本题考查了函数的定义域及其求法,考查了函数的值域,是基础题。

解题思路

由题意求出f(g(x)与g(f(x))的解析式,根据定义域都为[a,b](0<a<b)分别得到它们的值域,由值域相等列式求得a,b的值.

易错点

本题易对数运算出错。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9. 设,则“”是“直线与直线平行”的(   )

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

平行的条件为且,由此可得a=1或a=2。则“a=1”是“直线:ax+2y-1=0与直线:x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件。。

解题思路

1、注意集合运算问题可以采用代入排除法求解可以免去不等式运算。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

11.已知函数处取得极值,若,则的最小值是(   )

A-11

B-13

C-4

D0

正确答案

B

解析

对原函数求导得,已知,解得a=3。则要求的最小值,由于m、n之间没有相互约束,所以分别求f(m)、最小值再相加即可。已知,令,解得极值点为x=0或x=2,因为函数的最值在端点和极值点取得,又因为f(0)=-4,f(2)=0,f(-1)=0,f(1)=-2,则在区间上的最小值为f(0)=-4;对称轴为x=1,所以在区间上单调递增,其最小值为。因此,的最小值为-4+(-9)=-13。

故本题正确答案为B。

考查方向

本题主要考查函数最值和导数应用。

解题思路

1、注意利用极值点对应的导数值为零求a;知道a求某一范围内的最值。2、导函数是二次函数,利用单调性求它在内的最值。

易错点

本题不易想到f(m),看成两个函数最值分别求解。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12. 在直三棱柱A1BlC1—ABC中,∠BAC=,AB=AC=AA1=1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF,则线段DF的长度的取值范围为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

建立空间直角坐标系,设出F、D的坐标,求出向量, ,利用GD⊥EF求得关系式,写出DF的表达式,然后利用二次函数求最值即可.

建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),E(0,1,),G(,0,1),

F(x,0,0),D(0,y,0)  由于GD⊥EF,所以x+2y-1=0

DF=
当y=时,线段DF长度的最小值是
当y=1时,线段DF长度的最大值是
而不包括端点,故y=1不能取
故选D.

考查方向

本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用以及函数思想求范围。

解题思路

因为易建系和求范围,所以要有函数思想,建立DF和y的函数后求DF范围即可。

易错点

本题注意y的范围。

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

14.将ABCDEF六个字母排成一排,且AB均在C的同侧,则不同的排法共有__________种(用数字作答).

正确答案

480

解析

AB均在C的左侧,有种,再将D,E,F逐个插空,有种,共有种;若AB均在C的右侧,同样有240种,所以共有480种。

故本题正确答案为

考查方向

本题主要考查分类计数原理和排列组合的基础知识。

解题思路

分类的标准选择好是本题关键,然后先排A,B,再排D,E,F,由分布乘法原理计算每类情况,然后相加。

易错点

排列组合题,分类,分布意识,会分类分步是解题关键。

1
题型:填空题
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分值: 5分

15. 设是三个不同的平面,是两条不同的直线,有下列三个条件:①bβ;②bβ;③bβ.如果命题“,且       ,则b”为真命题,则可以在横线处填入的所有条件是           .(填序号)

正确答案

①③

解析

此题答案为:①③.

①可以,由a∥γ得a与γ没有公共点,由b⊂β,α∩β=a,b⊂γ知,a,b在面β内,且没有公共点,故平行;

②a∥γ,b∥β,不可以,举出反例如下:使β∥γ,b⊂γ,a⊂β,则此时能有a∥γ,b∥β,但不一定有a∥b;

③b∥β,a⊂γ可以,由b∥β,α∩β=a知,a,b无公共点,再由a⊂γ,b⊂γ,可得两直线平行.

综上可知满足的条件有①和③.

考查方向

这是一道关于两直线平行判定的题目,关键是掌握两直线平行的条件。

解题思路

对于①,由a∥γ得a与γ没有公共点,由b⊂β,α∩β=a,b⊂γ知,a,b在面β上,至此即可判断a、b的位置关系了;

对于②,利用反例法找出反例进行判断,用与①相同

易错点

题目的开放性会感觉无从下手,注意举反例。

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.  已知定义在上的函数满足,且的导数上恒有,则不等式的解集为

正确答案

解析

根据题意:定义在实数集R上的函数满足,且的导数在R上恒有,不妨设=1,所以不等式,化为,即,计算得出.

考查方向

抽象函数不等式问题,注意导数的应用和构造函数。

解题思路

设出函数满足,且的导数在R上恒有,然后求出不等式的解集即可.

易错点

化抽象为具体函数,且满足函数要求,即可代入求解。

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是

正确答案

解析

根据题意可知,这10个数构成的等比数列偶数项均为负数,奇数项只有第1项小于8,所以小于8的一共6个,故所求概率

故本题正确答案为

考查方向

本题主要考查等比数列性质和古典概型。

解题思路

等比数列公比小于零,分奇偶项看前十项的正负大小,可知这10个数构成的等比数列偶数项均为负数,奇数项只有第1项小于8,所以小于8的一共6个,代入古典概率公式可得答案。

易错点

本题容易对等比数列的通项或前几项列举错误。

简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

已知函数.

19.  若,且,求的值;

20.  求函数的最小正周期及单调递增区间.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,且

  

考查方向

同角三角函数基本关系。

解题思路

利用正余弦平方和为1先求出余弦值,然后代入函数即可。

易错点

注意求值前先考虑角的范围。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

函数的最小正周期T=,单调递增区间为

解析

的最小正周期

单调递增区间为

考查方向

本题主要考查两角和与差的三角函数公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。

解题思路

通过二倍角公式将函数解析式化简,求得最小正周期和单调区间。

易错点

一定别忘记。

1
题型:简答题
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分值: 12分

某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查.瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人.

由于部分数据丢失,只知道从这40位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为

22.  试确定的值;

23.  从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为,求随机变量的分布列及数学期望

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

a=6,b=2

解析

解:(Ⅰ)由表格数据可知,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有人.记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件

,解得.所以.答:的值为6,的值为2.

考查方向

统计的识图识表能力,古典概率求法。

解题思路

先有表中找出觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有人,然后由古典概率公式得到关于a的方程,可求出a。由总人数40可解出b.

易错点

注意理解题意,找准觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有人。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

的分布列为:

所以

(或服从参数为N=40,M=3,n=24的超几何分布,

解析

由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人,从40位学生中任意抽取3位,其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为,所以从40位学生中任意抽取3位,其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为的可能取值为0,1,2,3,

因为

所以的分布列为:

所以

(或服从参数为N=40,M=3,n=24的超几何分布,

考查方向

离散型随机变量的期望和方差,超几何分布。

解题思路

属于超几何分布,注意每种情况的概率。在产品质量的不放回抽检中,若N件产品中有M件次品,抽检n件时所得次品数X=k,则P(X=k)=?,此时我们称随机变量

X服从超几何分布。

易错点

注意超几何分布和二项分布的不同。

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知直线.

17.     求证:不论为何值,直线总经过第一象限;

18.     为使直线不经过第二象限,求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明:将直线l的方程整理为

y-=a,∴直线l的斜率为a,且过定点A

而点A在第一象限内,故不论a为何值,l恒过第一象限.

解析

证明:将直线l的方程整理为

y-=a,∴直线l的斜率为a,且过定点A

而点A在第一象限内,故不论a为何值,l恒过第一象限.

考查方向

直线的点斜式方程的应用。

解题思路

将直线方程变为点斜式形式,可知直线过定点,因为它在第一象限,故不论a为何值,l恒过第一象限.

易错点

直线的点斜式方程要理解熟记。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

a≥3

解析

直线OA的斜率为k==3.

如图所示,要使l不经过第二象限,需斜率a≥kOA=3,∴a≥3.

考查方向

直线的斜率公式,直线的斜率变化情况。

解题思路

因为恒过定点,所以由图像找出临界直线,求出它的斜率为3,原直线斜率为a,所以a≥3.

易错点

注意转化为先求直线斜率,再求范围即可。

1
题型:简答题
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分值: 12分

设数列的各项均为正数,若对任意的正整数,都有成等差数列,且成等比数列.

21.求证:数列是等差数列;

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解:(Ⅰ)由题意,得, ①………2分

因为 ②………4分

从而当时,代入式①得

数列是等差数列.

解析

解:(Ⅰ)由题意,得, ①………2分

因为 ②………4分

从而当时,代入式①得

数列是等差数列.

1
题型:简答题
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分值: 10分

设函数

27.  当时,求的最大值;

28.  令,(0≤3),其图象上任意一点处切线的斜率恒成立,求实数的取值范围;

29.  当,方程有唯一实数解,求正数的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解:(1)依题意,知的定义域为(0,+∞),当时,

(2′)令=0,解得.(∵

因为有唯一解,所以,当时,,此时单调递增;

时,,此时单调递减。

所以的极大值为,此即为最大值

解题思路

先求定义域,再研究单调性,从而求最值.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(2),则有,在上恒成立,

所以(8′)当时,取得最大值

所以

考查方向

导数的几何意义,恒成立问题,函数导数应用求最值。

解题思路

先构造函数F(x)再由以其图象上任意一点P(x,y)为切点的切线的斜率k≤恒成立,知导函数小于等于成立,再转化为求最值求解.

易错点

转化为最值问题,分类a。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为方程有唯一实数解,所以有唯一实数解,

,则.令.因为,所以(舍去),

时,在(0,)上单调递减,

时,在(,+∞)单调递增

时,=0,取最小值.

所以,因为,所以(*)

设函数,因为当时,是增函数,所以至多有一解.

因为,所以方程(*)的解为,即,解得.

考查方向

本题主要考查函数的单调性、极值、最值、不等式、方程的解等基本知识,同时考查运用导数研究函数性质的方法,分类与整合及化归与转化等数学思想.

解题思路

先把程2mf(x)=x2有唯一实数解,转化为所以x2-2mlnx-2mx=0有唯一实数解,再利用单调函数求解.

易错点

运用导数研究函数性质的方法,分类与整合及化归与转化。

1
题型:简答题
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分值: 12分

如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点GAB的中点,AB=BE=2.

24.     求证:EG∥平面ADF

25.     求二面角O-EF-C的正弦值;

26.     设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)证明:找到中点,连结

∵矩形,∴

是中点,∴的中位线

是正方形中心

∴四边形是平行四边形

解析

(Ⅰ)证明:找到中点,连结

∵矩形,∴

是中点,∴的中位线

是正方形中心

∴四边形是平行四边形

考查方向

线面平行的判定定理

解题思路

线面平行的判定定理是方向,注意寻找辅助线的方法,首先考虑过ADF的某个点做EG的平行线,注意两种常用思路,中位线和构造平行四边形。

易错点

迅速找到辅助线,构造平行四边形证平行是关键。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(Ⅱ)正弦值

如图所示建立空间直角坐标系

设面的法向量

得:,∴面的法向量

考查方向

利用空间向量解决立体几何问题

解题思路

利用空间向量求二面角,关键是求出面的法向量,再利用向量数量积求出法向量夹角,最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值。

易错点

熟练求对法向量,利用向量求角公式。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(Ⅲ)∵

得:

考查方向

利用空间向量解决立体几何问题

解题思路

利用空间向量证明线面平行,关键是求出面的法向量,再利用向量数量积求出法向量夹角,最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值。

易错点

熟练求对法向量,利用向量求角公式。

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