2015年高考权威预测卷 理科数学 (湖北卷)
精品
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单选题 本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.给出下列四个命题:命题p1:“a=0,b≠0”是“函数y=x2+ax+b为偶函数”的必要不充分条件;命题p2:函数是奇函数,则下列命题是真命题的是(  )

Ap1∧p2

Bp1∨¬p2

Cp1∨p2

Dp1∧¬p2

正确答案

C

解析

略。

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.已知m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题正确的是(  )

A若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β

B若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β

C若m∥n,m∥a,则n∥α

D若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β

正确答案

D

解析

略。

知识点

任意角的概念
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.过双曲线=1(a>0,b>0)的上顶点 A作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C,若=2,则双曲线的离心率是(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

略。

知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设复数z满足,则 =(  )

A﹣2+i

B﹣2﹣i

C2+i

D2﹣i

正确答案

C

解析

略。

知识点

虚数单位i及其性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.已知集合A={x|x2﹣x﹣2<0},B={x|y=lg},在区间(﹣3,3)上任取一实数x,则x∈A∩B的概率为(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

略。

知识点

双曲线的几何性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;

②若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;

③根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的;

④若某项测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2),且P(ξ≤4)=0.9,则P(ξ≤﹣2)=0.1。

其中真命题的个数为(  )

A1

B2

C3

D4

正确答案

C

解析

略。

知识点

四种命题及真假判断
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.已知函数若x,y满足约束条件,目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则实数a的取值范围是(  )

A(-4,2)

B(-4,1)

C(-∞,-4)∪(2,+∞)

D(-∞,-4)∪(1,+∞)

正确答案

A

解析

略。

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.10件产品中有3件次品,不放回地抽取2次,在第1次抽出的是次品的前提下,则第2次抽出正品的概率是(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

略。

知识点

随机事件的关系
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.已知一个四位数其各个位置上的数字是互不相等的非负整数,且各个数字之和为12,则这样的四位数的个数是(  )

A108

B128

C152

D174

正确答案

D

解析

略。

知识点

不等式的性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b),满足f′(x1)=,f′(x2)=,则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”。已知函数f(x)=x3﹣x2+a是[0,a]上“双中值函数”,则实数a的取值范围是(  )

A(1,3)

B,3)

C(1,

D(1,)∪(,3)

正确答案

B

解析

略。

知识点

变化的快慢与变化率
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.直线l的参数方程是(其中t为参数),圆c的极坐标方程为ρ=2cos(θ+),过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是_______。

正确答案

2

解析

略。

知识点

任意角的概念
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.(1+x)(1﹣x)10 展开式中x3的系数为_______。

正确答案

-75

解析

略。

知识点

虚数单位i及其性质
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,…,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”。那么是斐波那契数列中的第_______项。

正确答案

2016

解析

略。

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:填空题
|
分值: 5分

12.执行如图所示的程序框图,若输出结果是i=3,则正整数a0的最大值为_______。

正确答案

3

解析

略。

知识点

流程图的概念
1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.在极坐标系中,点P(2,﹣)到直线l:ρsin(θ﹣)=1的距离是_______。

正确答案

3

解析

略。

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
|
分值: 5分

11.已知tanβ=,sin(α+β)=,且α,β∈(0,π),则sinα的值为_______。

正确答案

解析

略。

知识点

任意角的概念
简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 10分

17.设函数f(x)=sin2x+cos(2x+

(1)求函数f(x)的最大值及此时x的取值集合;

(2)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cosB=,f()=﹣,且C为锐角,求sinA的值。

正确答案

(1)f(x)max=;x的取值集合为{x|x=kπ﹣,k∈Z}

(2)sinA=

解析

(1)f(x)=+cos2x﹣sin2x=sin2x

∴当sin2x=﹣1时,

f(x)max=; 

此时2x=2kπ﹣(k∈Z),

∴x的取值集合为{x|x=kπ﹣,k∈Z}

(2)∵f()=sinC=﹣

∴sinC=

∵C为锐角,

∴C=

由cosB=得sinB==

∴sinA=sin(﹣B)=cosB+sinB=

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 10分

18.一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4; 白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同)。

(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;

(2)再取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望。

正确答案

见解析。

解析

(1)设取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片为事件A,则

P(A)==

所以,取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为

(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4

P(X=1)=         P(X=2)=

P(X=3)==          P(X=4)==

EX==

X的分布列为

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 11分

19.已知{an}是由正数组成的数列,其前n项和Sn与an之间满足:an+=(n≥1且n∈N*)。

(1)求数列{an}的通项an

(2)设bn=(nan,求数列{bn}的前n项和Tn

正确答案

(1)an=n

(2)Tn=

解析

(1)∵an+=(n≥1且n∈N*),两边平方化为

,a1>0,解得a1=1

当n≥2时,

∴an=Sn﹣Sn﹣1=

化为(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣1)=0,

∵an+an﹣1>0,∴an﹣an﹣1=1,

∴数列{an}为等差数列,

∴an=1+(n﹣1)×1=n

(2)bn=•an=

∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+

=+…+

=++…+

∴Tn=1++…+==

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:简答题
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分值: 12分

如图,在三棱锥P﹣ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连结GH。

(1)求证:AB∥GH;

(2)求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值。

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:∵D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,

∴EF∥AB,DC∥AB,

∴EF∥DC

又EF⊄平面PCD,DC⊂平面PCD,

∴EF∥平面PCD

又EF⊂平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,

∴EF∥GH

又EF∥AB,

∴AB∥GH

(2)解:在△ABQ中,∵AQ=2BD,AD=DQ,∴∠ABQ=90°,即AB⊥BQ。

又PB⊥平面ABQ,∴BA,BQ,BP两两垂直。

以B为坐标原点,分别以BA,BQ,BP所在直线为x轴,y轴,z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系。设BA=BQ=BP=2,

则B(0,0,0),Q(0,2,0),D(1,1,0),

C(0,1,0),P(0,0,2),

=(﹣1,﹣1,2),=(0,﹣1,2)

设平面PCD的一个法向量为=(x,y,z),

=0,=0,得

,取z=1,得=(0,2,1)

=(0,2,0)为平面PAB的一个法向量,

∴cos<n,>==

设平面PAB与平面PCD所成角为θ,

则sinθ==

故平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为

知识点

任意角的概念
1
题型:简答题
|
分值: 13分

21.已知定点(p为常数,p>O),B为x轴负半轴上的一个动点,动点M使得|AM|=|AB|,且线段BM的中点在y轴上。

(I)求动点M的轨迹C的方程;

(2)设EF为曲线C的一条动弦(EF不垂直于x轴),其垂直平分线与x轴交于点T(4,0),当p=2时,求|EF|的最大值。

正确答案

(1)y2=2px(p>0,x≠0)

(2)|EF|的最大值为6

解析

如图,

(1)设M(x,y),则BM的中点G的坐标为,B(﹣x,0).

又A(),故

由题意知GA⊥GM,所以

所以y2=2px

当M点在x轴上时不满足题意,故曲线C的方程为y2=2px(p>0,x≠0);

(2)设弦EF所在直线方程为y=kx+b,E(x1,y1),F(x2,y2

,得:k2x2+(2kb﹣4)x+b2=0①

则线段EF的中点为,即

线段EF的垂直平分线方程为

令y=0,x=4,得,得bk=2﹣2k2,所以

所以

=

=

再由①,△=(2kb﹣4)2﹣4k2b2=4k2b2﹣16kb+16﹣4k2b2=16﹣16kb

=16﹣16(2﹣2k2)=32k2﹣16>0

得:,即0<

所以,当,即k=时,|EF|2取得最大值,最大值等于36,即|EF|的最大值为6

知识点

轨迹方程
1
题型:简答题
|
分值: 14分

22.已知函数f(x)=ax++(1﹣2a)(a>0)

(1)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;

(2)证明:1+++…+≥ln(n+1)+(n≥1);

(3)已知S=1+++…+,求S的整数部分。(ln2014≈7.6079,ln2015≈7.6084)

正确答案

见解析。

解析

(1)∵函数f(x)=ax++(1﹣2a),

f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,

设g(x)=f(x)﹣lnx,则g(x)=f(x)﹣lnx≥0在[1,+∞)上恒成立,

∴g(x)min≥0,

又∵g′(x)=a﹣=

而当=1,即a=时,

①当≤1即a时,

g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,

∴g(x)min=g(1)=0≥0;

②当>1即0<a<时,

g′(x)=0时x=

且1≤x<时,g′(x)<0,

当x>时,g′(x)>0;

则g(x)min=g()≥0①,

又∵g()≤g(1)=2a﹣1<0与①矛盾,不符题意,故舍。

∴综上所述,a的取值范围为:[,+∞)。

(2)证明:由(1)可知a时,f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,

则当a=时,(x﹣)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,

令x依次取,…,时,

则有 ×( )≥ln ×( )≥ln

…   ×( )≥ln

由同向不等式可加性可得

[( +++…+)﹣( +++…+)]≥ln(n+1),

[(1+++…++n)﹣(n﹣﹣…﹣)]≥ln(n+1),

也即 [2(1+++…+)+﹣1]≥ln(n+1),

也即1+++…+>ln(n+1)+(n≥1)

(3)由(2)的结论,可得,S=1+++…+≥ln2015+∈(8,9),

又S=1+++…+dx=lnx|=ln2014≈7.6,

则有S的整数部分为9。

知识点

四种命题及真假判断

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