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理科数学 沙坪坝区2017年高三第一次模拟考试
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理科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、填空题
13
14
15
16
3、简答题
17
18
19
20
21
22
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单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1．的共轭复数是

A

B

C

D

正确答案

B

解析

，其共轭复数为

考查方向

复数的运算以及共轭复数。

解题思路

将化简，再根据共轭复数的概念即可。

易错点

运算要准确以及共轭复数的概念。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5．已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

根据题意可得，，的夹角为锐角所以，且不共线，由，所以，若共线可得，所以的取值范围是且，即选A。

考查方向

平面向量的数量积的应用。

解题思路

根据题意可得可用坐标形式表示，再根据夹角为锐角知，且不共线，代入计算即可。

易错点

容易忽视不共线。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9．锐角三角形ABC中，若，则的范围是

A

B

C

D

正确答案

C

解析

,又因为锐角三角形ABC中，若，所以，且，所以，所以

，因此,，所以的范围为。

考查方向

正弦定理的应用以及二倍角公式的应用。

解题思路

求出角B的范围，然后将转化为,代入计算即可。

易错点

角B的范围。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10．把函数的图像向左平移（其中）个单位，所得图像关于y轴对称，则的最小值是

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题可得，平移后变为，其图像关于轴对称，可得。

考查方向

两角和的余弦公式的应用以及函数图像的变换。

解题思路

根据两角和的余弦可得，再平移后为偶函数可得即可得的值。

易错点

两角和公式的正确应用以及偶函数的转换。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2．若是互不重合的直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是

A若，，，则

B若，，则

C若，，则

D若，，则

正确答案

D

解析

对于①显然是错误的；对于②也不对③异面和相交都有可能。

考查方向

空间中的线面位置关系。

解题思路

逐个选项分析即可。

易错点

分析不全容易出错。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3．若集合，，则等于

A

B

C

D{1}

正确答案

D

解析

，，因此。

考查方向

集合的交集。

解题思路

直接对集合A,B化简即可。

易错点

运算要注意正确。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4．在等比数列中，已知，那么

A4

B6

C12

D16

正确答案

A

解析

由可得，即，所以

考查方向

等比数列。

解题思路

代入首项和公比即可得到，再根据等比中项即可得到。

易错点

注意通项公式和等比中项的运用。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6．函数与在同一直角坐标系下的图象大致是

A

B

C

D

正确答案

C

解析

的图像由向上平移一个单位变换而来，排除A，，其由向右平移一个单位变换而来，因此选C。

考查方向

函数的图像问题。

解题思路

根据图像的平移变换即可得到。

易错点

的图像容易出错。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7．在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有

A3项

B4项

C5项

D6项

正确答案

C

解析

二项式展开式的通项，令

，因此的幂的指数是整数的项共有5项。

考查方向

二项式的展开式。

解题思路

根据二项式展开式的通项即可。

易错点

注意公式的正确应用以及计算要准确。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8．如果实数、满足条件，那么的最大值为

A2

B1

C

D

正确答案

B

解析

做出不等式组所表示的可行域可知目标函数经过时最大值为1。

考查方向

简单的线性规划。

解题思路

做出可行域，然后令目标函数，化为，再将平移使其在轴的截距最小即可。

易错点

可行域要画准确以及平移时要仔细。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11．若直线（，）被圆截得的弦长为4，则的最小值为

A

B

C2

D4

正确答案

D

解析

由题可得圆心，半径为2，根据几何法得直线被圆所截得的弦长为，化简可得，所以。

考查方向

直线与圆以及均值不等式的综合。

解题思路

先表示出弦长，再根据均值不等式即可。

易错点

弦长的表示以及均值不等式的正确应用。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12．已知是以2为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程（其中走为不等于l的实数）有四个不同的实根，则的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由已知可画出函数的图像，先画出在上的图像，利用偶函数可画出在上的图像，再利用函数的周期性画出R上的图像，，下面画出的是函数在

上的图像，如图，又可知关于的方程，走为不等于l的实数，恒过，在上图中画出直线,显然当这些过定点的直线位于之间如时，才能与函数有四个交点；又因为直线与的斜率为，因此的取值范围是。

考查方向

本题考查函数的奇偶性，周期性以及综合应用，数形结合的思想，直线系方程的应用。

解题思路

由已知可画出函数的图像，先画出在上的图像，利用偶函数可画出在上的图像，再利用函数的周期性画出R上的图像，在上图中画出直线,显然当这些过定点的直线位于之间如时，才能与函数有四个交点；

易错点

知识综合起来分析不到位。

填空题 本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 4分

13．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为2，2，3，则此球的表面积为                    ．

正确答案

解析

由题可知球心在长方体的体对角线的中点处，体对角线的长度为，即球的半径为，因此球的表面积为。

考查方向

长方体的外接球的面积问题。

解题思路

找出球心的位置即可求得球的半径。

易错点

球心的确定。

1
题型：填空题
|
分值: 4分

14．如图，是一程序框图，则输出结果为          ．

正确答案

解析

根据流程线即可得到输出的为，即

。

考查方向

程序框图。

解题思路

根据流程线即可。

易错点

按照流程线注意循环次数。

1
题型：填空题
|
分值: 4分

16．设：方程有两个不相等的正根；：方程无实根．则使为真，为假的实数的取值范围是

正确答案

解析

命题；命题，又因为为真，为假，可得一真一假，即真假，假真，代入即可。

考查方向

命题的真假。

解题思路

先化简命题，再根据为真，为假，可得一真一假，即真假，假真，代入即可求解。

易错点

命题的正确求解。

1
题型：填空题
|
分值: 4分

15．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为              ．

正确答案

或

解析

由可得，又因为渐近线为，所以可得

，所以或，再根据可得离心率为或。

考查方向

离心率的求法。

解题思路

根据双曲线的一条渐近线方程为，即可得到的关系。

易错点

注意焦点的位置。

简答题（综合题） 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

设向量，，且．

17.求；

18.求．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

                                                     3分

∴                                                      4分

∴                                                                                                 6分

考查方向

向量坐标运算。

解题思路

根据向量的运算即可求解。

易错点

计算要注意准确。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

．              12分

考查方向

三角函数的恒等变形。

解题思路

两角和的正弦公式的应用展开即可。

易错点

化简中要注意计算准确。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．

19.证明：EF∥面PAD；

20.证明：面PDC⊥面PAD；

21.求锐二面角B—PD—C的余弦值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

如图，连接AC，

∵ABCD为矩形且F是BD的中点，

∴AC必经过F                        1分

又E是PC的中点，

所以，EF∥AP                          2分

∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD                                        4分

考查方向

线面平行的判断定理。

解题思路

根据线面平行的判断定理即可。

易错点

要能够找到线线平行。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面 PAD面 ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，

又AP面PAD，∴AP⊥CD                                                                 6分

又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD                                  7分

又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD                                            8分

考查方向

面面垂直。

解题思路

面面垂直的判定。

易错点

要能够找到平面的一条垂线。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由P作PO⊥AD于O，以OA为x轴，以OF为y轴，以OP为z轴，则

A（1，0，0），P（0，0，1）                                                                   9分

由（2）知是面PCD的法向量，B（1，1，0），D（一1，0，0），

，                                                            10分

设面BPD的法向量，

由得

取，则，

向量和的夹角的余弦              11分

所以，锐二面角B—PD—C的余弦值                                           12分

考查方向

二面角的求法。

解题思路

建立空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，再根据夹角公式即可求出二  面角的余弦。

易错点

坐标的正确表示以及法向量的选取。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

甲乙两个奥运会主办城市之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为l，1，2，2，2，3，3，现从中任选三条网线，设可通过的信息量为X，当可通过的信息量X≥6，则可保证信息通畅．

22.求线路信息通畅的概率；

23.求线路可通过的信息量X的分布列；

24.求线路可通过的信息量X的数学期望．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

                                                               3分

所以线路信息通畅的概率为                                                                 5

考查方向

超几何分布。

解题思路

运用超几何分布的公式即可。

易错点

正确理解超几何分布。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

解析

X的分布列为

考查方向

随机变量的分布列。

解题思路

分别求出随机变量的概率即可列出随机变量的分布列。

易错点

分布列中随机变量的概率。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

6

解析

由分布列知                  12分

考查方向

数学期望。

解题思路

根据随机变量的分布列即可求出随机变量的期望。

易错点

期望公式的正确应用。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知定义在正实数集上的函数，其中。设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同。

25.若，求的值；

26.用表示，并求的最大值。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设与在公共点处的切线相同

                                                                       1分

由题意知 ，∴

由得，，或（舍去）                                         4分

即有                                                                                             5

考查方向

导数的几何意义。

解题思路

根据与在公共点处的切线相同，知，求解即可。

易错点

①求导要准确②切线与导数的关系。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设与在公共点处的切线相同

由题意知 ，∴

由得，，或（舍去）                                7分

即有                                      8分

令，则，于是

当，即时，；

当，即时，                                             10分

故在的最大值为，故的最大值为           12分

考查方向

函数最大值的求法。

解题思路

由题意知，用表示，再构造函数

，求其最大值即可。

易错点

求函数最大值中单调性的判断。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知椭圆的左、右两个焦点为，离心率为，又抛物线与椭圆有公共焦点．

27.求椭圆和抛物线的方程；

28.设直线经过椭圆的左焦点且与抛物线交于不同两点P、Q且满足，求实数的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

椭圆中，所以，椭圆方程为：

抛物线中，所以，抛物线方程为：                      4分

考查方向

圆锥曲线方程的求法。

解题思路

根据离心率和焦点即可得出。

易错点

计算要正确。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

且

解析

设直线的方程为：，和抛物线方程联立得

消去，整理得

因为直线和抛物线有两个交点，所以

解得且                                                                        7分

设，则

又，所以

又，由此得，即                                        9分

由，解得

又，所以，                                  10分

又因为，所以，解得且          12分

考查方向

直线和抛物线的综合。

解题思路

用坐标表示出满足得出的关系式。

易错点

计算能力要跟上以及向量问题在圆锥曲线问题中的转化。

1
题型：简答题
|
分值: 14分

在数列中，．

29.求数列的通项；

30.若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围；

31.设数列，的前项和为，求证：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

将整理得：               1分

所以，即                                      3分

时，上式也成立，所以，                                              5

考查方向

数列通项公式的求法。

解题思路

将整理得：，再根据等差数列即可得到。

易错点

注意验证第一项。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

若恒成立，即恒成立                      6分

整理得：

令

                     8分

因为，所以上式，即为单调递增数列，所以最小，，

所以的取值范围为                                                                    10分

考查方向

数列与恒成立问题。

解题思路

若恒成立，即恒成立，令，即求的最小值。

易错点

恒成立问题的转化。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由，得

所以，

考查方向

放缩法在数列中的应用。

解题思路

将进行不等式放缩即可求解。

易错点

不容易想到放缩法以及放缩地方向。

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