理科数学 衡阳市2017年高三第一次质检考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设集合A={x|﹣2≤x≤3},B={x|x+1>0},则集合A∩B等于(  )

A{x|﹣2≤x≤﹣1}

B{x|﹣2≤x<﹣1}

C{x|﹣1<x≤3}

D{x|1<x≤3}

正确答案

C

解析

由题意得,B={x|x+1>0}={x|x>﹣1},又集合A={x|﹣2≤x≤3},则A∩B={x|﹣1<x≤3},故选:C.

考查方向

本题主要考查集合的交集运算,通过求解不等式再运用交集运算即可.

解题思路

先求出集合B,再由交集的运算求出A∩B.

易错点

不等式求解,集合交集及其运算.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4+a9=24,则S9=(  )

A36

B72

C144

D70

正确答案

B

解析

在等差数列{an}中,由a2+a4+a9=24,得:3a1+12d=24,即a1+4d=a5=8,∴S9=9a5=9×8=72,故选:B.

考查方向

本题主要考查等差数列的求和运算及性质的应用,属于基础题.

解题思路

把已知转化为含有首项和公差的等式,求出a5,然后直接由S9=9a5得答案.

易错点

等差数列的前n项和及等差数列性质的应用.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.已知函数fx)=3cos(ωx)(ω>0),函数fx)相邻两个零点之间的绝对值为,则下列为函数fx)的单调递减区间的是(  )

A[0,]

B[,π]

C[]

D[]

正确答案

C

解析

由函数fx)=3cos(﹣ωx)(ω>0),函数fx)相邻两个零点之间的绝对值为,可得=,∴ω=2,函数fx)=3cos(﹣2x)=3cos(2x).

令2kπ≤2x≤2kπ+π,求得kπ+xkπ+,可得函数的减区间为[kπ+kπ+],k∈Z.结合所给的选项,故选:C.

考查方向

本题主要考查三角函数诱导公式及单调性的应用,属于中等题.

解题思路

由条件利用诱导公式,余弦函数的单调性,求得函数fx)的单调递减区间.

易错点

余弦函数的图象,诱导公式的转化,函数单调性的求解.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.如图所示的程序框图,若执行后的结果是,则在①处应填写的是(  )

Ai≤3

Bi≤4

Ci≤5

Di≤6

正确答案

B

解析

第一次循环,i=1,满足条件,A=,i=2,

第二次循环,i=2,满足条件,A=,i=3,

第三次循环,i=3,满足条件,A=,i=4,

第四次循环,i=4,满足条件,A=,i=5,

此时i=5,不满足条件,程序终止,输出A=

即当i=1,2,3,4时,满足条件,当i=5时,不满足条件,则条件应该为i≤4,故选:B

考查方向

本题主要考查循环结构的应用,解题时要认真审题,仔细解答,属于基础题.

解题思路

根据条件,进行模拟运行,找到满足输出结果为的条件即可.

易错点

程序框图的运算.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.复数z满足zi=3﹣i,则在复平面内,复数z对应的点位于(  )

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

C

解析

解:由zi=3﹣i,得,∴复数z对应的点的坐标为(﹣1,﹣3),位于第三象限,故选:C.

考查方向

本题主要考查复数代数形式的乘除运算,属于基础题.

解题思路

直接利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.

易错点

复数代数形式的乘除运算.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.春节前,某市一过江大桥上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的6秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以6秒内间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过3秒的概率是(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设两串彩灯分别在通电后x秒,y秒第一次闪亮,则所有的可能情况对应的平面区域为正方形OABC,作出直线x﹣y=3和直线y﹣x=3,则两灯在第一次闪亮时刻不超过3秒对应的平面区域为六边形ODEBGF,∴P===,故选B.

考查方向

本题主要考查了几何概型的概率计算,作出相应的平面区域是解题的关键.

解题思路

作出基本事件对应的平面区域和符合条件的平面区域,求出对应的几何度量.

易错点

作出基本事件对应的平面区域和符合条件的平面区域,求出对应的几何度量.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.已知,若A,B,C三点共线,则实数k的值为(  )

A4

B﹣4

C

D

正确答案

C

解析

∵A,B,C三点共线,∴共线,又∵

∴4k﹣1×(﹣1)=0,解得k=,故选C.

考查方向

本题主要考查向量共线的坐标运算,根据运算法则计算即可,属于基础题.

解题思路

由题意可得共线,进而可得4k﹣1×(﹣1)=0,解之即可.

易错点

平行向量共线的坐标运算.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.设不等式4xm(4x+2x+1)≥0对于任意的x∈[0,1]恒成立,则实数m的取值范围是(  )

A(﹣∞,]

B[]

C[]

D[,+∞)

正确答案

A

解析

由4x﹣m(4x+2x+1)≥0,得m(4x+2x+1)≤4x,即m≤

x∈[0,1],∴∈[,1],则,∴∈[],则,故选:A.

考查方向

本题主要考查不等式的变形,“参数分离法”的应用,指数函数性质的应用等,属于中等题.

解题思路

把已知不等式变形,分离参数m,然后结合指数式的值域,利用配方法求得的范围得答案.

易错点

不等式的变形,参数分离,指数函数性质的应用.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由俯视图可知三棱柱的底面积为,∴原直三棱柱的体积为2×4=8.

由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥,四棱锥的底面为侧视图梯形的面积,由俯视图可知四棱锥的高为2,∴四棱锥的体积为

∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为,故选C.

考查方向

本题主要考查空间几何体的三视图,通过三视图求几何体的体积,属于中等题.

解题思路

剩余几何体为四棱锥,分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积.

易错点

由三视图求空间几何体的面积、体积.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x﹣y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1,过焦点f作直线x﹣y+4=0的垂线,此时d1+d2=|PF|+d2﹣1最小,

f(1,0),则|PF|+d2=,则d1+d2的最小值为.故选D.

考查方向

本题主要考查了抛物线的简单性质,两点距离公式的应用,先由题意画出图象进而利用数形结合的思想解答即可,属于中等题.

解题思路

如图点P到y轴的距离等于点P到焦点f的距离减1,过焦点f作直线x﹣y+4=0的垂线,此时d1+d2最小,根据抛物线方程求得f,进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值.

易错点

抛物线简单性质的应用,两点距离公式的应用,数形结合思想的应用.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

11.已知偶函数fx)的定义域为{x|x∈R且x≠0},,则函数的零点个数为(  )

A6

B8

C10

D12

正确答案

D

解析

令g(x)=0得fx)=log7(|x|+1),作出y=fx)和y=log7(|x|+1)在(0,8)上的函数图象如图所示,由图象可知y=fx)和y=log7(|x|+1)在(0,+∞)上有6个交点,∴g(x)在(0,+∞)上有6个零点,∵fx),g(x)均是偶函数,

∴g(x)在定义域上共有12个零点,故选:D.

考查方向

本题主要考查函数的函数的性质,函数图象的应用,利用函数图象求出函数的零点个数.

解题思路

令g(x)=0得fx)=log7(|x|+1),分别作出fx)和y=log7(|x|+1)在(0,+∞)上的函数图象,根据函数的图象和奇偶性得出零点个数.

易错点

数形结合求解函数零点的个数,函数性质的应用.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.对于曲线C所在平面内的点O,若存在以O为顶点的角θ,使得θ≥∠AOB对于曲线C上的任意两个不同点A、B恒成立,则称θ为曲线C相对于O的“界角”,并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确界角”,已知曲线M:,(其中e为自然对数的底数),O为坐标原点,则曲线M相对于O的“确界角”为(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

画出函数fx)的图象,过点O作出两条直线与曲线无限接近,设它们的方程分别为y=k1x,y=k2x

x≤0时,曲线与直线y=k1x无限接近,即为双曲线的渐近线,故k1=﹣3;

x>0时,y′=ex﹣1+xex﹣1,设切点为(mn),则n=k2m,n=mem﹣1+1,k2=em﹣1+mem﹣1,即有m2em﹣1=1,由x2ex﹣1x>0)为增函数,且x=1成立,故m=1,k2=2,

由两直线的夹角公式得,tanθ=||=1,

故曲线C相对于点O的“确界角”为,故选:B.

考查方向

本题主要考查新定义“确界角”及其应用,应用导数求切线,双曲线的性质及渐近线的应用.

解题思路

画出函数fx)的图象,过点O作出两条直线与曲线无限接近,当x≤0时,曲线与直线y=k1x无限接近,考虑渐近线,求出k1=﹣3;当x>0时,设出切点,求出切线的斜率,列出方程,求出切点(1,2),即得k2=2,再由两直线的夹角公式即可得到所求的“确界角”.

易错点

对“确界角”新定义的理解及应用,双曲线渐近线及性质的应用.

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.若命题“存在x∈R,使得2x2﹣3ax+9<0成立”为假命题,则实数a的取值范围是_______.

正确答案

[﹣2,2]

解析

命题“∃x∈R,使2x2﹣3ax+9<0成立”是假命题,即“2x2﹣3ax+9≥0恒成立”是真命题,△=9a2﹣72≤0,解得﹣2a≤2,故答案为:[﹣2,2]

考查方向

本题考查了存在命题的否定,不等式恒成立问题的转化以及计算能力,属于基础题.

解题思路

将条件转化为2x2﹣3ax+9≥0恒成立,通过△=9a2﹣72≤0,从而解出实数a的取值范围.

易错点

命题的真假判断与应用.

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.已知椭圆C:的离心率为,过右焦点F且斜率为kk>0)的直线与C相交于A、B两点,若,则k=  

正确答案

解析

A(x1,y1),B(x2,y2),∵,∴y1=﹣3y2

∵e=,设a=2t,c=,b=t,∴x2+4y2﹣4t2=0①,

设直线AB方程为x=sy+,代入①中消去x,可得(s2+4)y2+sty﹣t2=0,

∴y1+y2=﹣,y1y2=,∴﹣2y2=﹣

解得s2=k=,故答案:

考查方向

本题主要考查椭圆的性质和应用,属于中等题,解题时要认真审题,仔细解答.

解题思路

A(x1,y1),B(x2,y2),设a=2t,c=,b=t,设直线AB方程为x=sy+,由此可知k=

易错点

向量共线的应用,直线与圆锥曲线的综合问题.

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.已知变量x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是  

正确答案

9.

解析

作出不等式组对应的平面区域如图:

由z=x+2y得y=﹣x+z,平移直线y=﹣x+z,

由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A,y=﹣x+z的截距最大,此时z最大.

,解得,即A(1,4),代入z=x+2y=1+2×4=9.

即目标函数z=x+2y最大值为9,故答案为:9.

考查方向

本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,结合数形结合的思想即可求出z的最大值.

解题思路

作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,即可求出z的最大值.

易错点

简单线性规划的应用,数形结合思想的应用.

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.已知mn是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题,其中所有正确命题的序号是  

①若m∥β,n∥β,m、n⊂α,则α∥β.

②若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n⊂γ,则m⊥n.

③若m⊥α,α⊥β,m∥n,则n∥β.

④若n∥α,n∥β,α∩β=m,那么m∥n.

正确答案

②④

解析

①若m∥β,n∥β,m、n⊂α,则α与β相交或平行,故①错误.

②若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n⊂γ,则由平面与平面垂直的性质得m⊥n,故②正确.

③若m⊥α,α⊥β,m∥n,则n∥β或n⊂β,故③错误.

④若n∥α,n∥β,α∩β=m,那么由直线与平面平行的性质得m∥n,故④正确.

故答案为:②④.

考查方向

本题主要考查命题真假的判断,解题时注意特例的列举,属于基础题.

解题思路

利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.

易错点

空间中直线与直线之间的位置关系.

简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 10分

数列{an}是首项a1=4的等比数列,sn为其前n项和,且S3,S2,S4成等差数列.

17.求数列{an}的通项公式;

18.若bn=log2|an|,设Tn为数列的前n项和,求证Tn

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

设等比数列{an}的公比为q.

当q=1时,S3=12,S2=8,S4=16,不成等差数列

∴q≠1,

2S2=S3+S4,∴,即q4+q3﹣2q2=0.∵q≠0,q≠1,

q=﹣2,∴an=4(﹣2)n1=(﹣2)n+1

考查方向

本题主要考查了等比数列的通项公式,等差数列性质的应用,同时考查了分类讨论的数学思想,属于中档题.

解题思路

设等比数列{an}的公比为q,先看当q=1时,S3,S2,S4不成等差数列,不符合题意,判断出q≠1,进而根据等比数列求和公式表示出S3,S2,S4,根据等差中项的性质建立等式,求得q,则数列{an}的通项公式可得.

易错点

等比数列的通项公式;等差数列的性质.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

bn=log2|an|=log2|(﹣2)n+1|=n+1,

考查方向

本题主要考查应用裂项相消法求解数列的前n项和,再通过放缩法得出结论,考查了学生的推理论证能力.

解题思路

把(1)中的an代入bn=log2|an|中求出的通项公式,进而利用裂项法求得前n项的和,根据,原式得证.

易错点

裂项相消法求数列的和,放缩法的应用.

1
题型:简答题
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分值: 12分

从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高.据测量,被测学生身高全部介于155cm到195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160);第二组[160,165);…;第八组[190,195].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.

19.估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数;

20.求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图;

21.若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人,记他们的身高分别为x、y,求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

144

解析

由频率分布直方图得:前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,

后三组频率为1﹣0.82=0.18,人数为0.18×50=9,

∴这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数为800×0.18=144.

考查方向

本题考查的知识点是频率分布直方图,用样本的频率分布估计总体分布,属于基础题.

解题思路

由频率分布直方图前五组频率为0.82,从而后三组频率为0.18,由此能求出这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数.

易错点

用样本的频率分布估计总体分布.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04,人数为0.04×50=2,

设第六组人数为m,则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m,又m+2=2(7﹣m),解得m=4,所以第六组人数为4,

第七组人数为3,频率分别等于0.08,0.06.分别等于0.016,0.012.其完整的频率分布直方图如图.

考查方向

本题考查频率分布直方图的应用,考查频率的求法,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.

解题思路

由频率分布直方图得第八组频率为0.04,人数为2,设第六组人数为m,则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m,从而求出第六组人数为4,第七组人数为3,由此能求出其完整的频率分布直方图.

易错点

“频率=矩形的高×组距=频数÷样本容量”公式的应用.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

由(2)知身高在[180,185)内的人数为4,设为a、b、c、d,身高在[190,195]内的人数为2,设为A、B,若xy∈[180,185)时,有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种情况;若x,y∈[190,195]时,有AB共1种情况;

x,y分别在[180,185)和[190,195]内时,有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB,共8种情况.

所以基本事件总数为6+1+8=15,事件“|x﹣y|≤5”所包含的基本事件个数有6+1=7,

∴P(|x﹣y|≤5)=

考查方向

本题考查频率分布直方图的应用,考查概率的求法,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.

解题思路

由(2)知身高在[180,185)内的人数为4,身高在[190,195]内的人数为2,由此利用列举法能求出事件“|x﹣y|≤5”的概率.

易错点

列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,平面PAB⊥平面ABCD,R、S分别是棱AB、PC的中点,AD∥BC,AD⊥AB,PD⊥CD,PD⊥PB,AB=BC=2AD=2.

22.求证:①平面PAD⊥平面PBC;②RS∥平面PAD;

23.若点Q在线段AB上,且CD⊥平面PDQ,求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

①证明:∵在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,

平面PAB⊥平面ABCD,AD⊥AB,∴AD⊥平面APB,又PB⊂平面APB,∴PB⊥AD,

∵PD⊥PB,AD∩PD=D,∴PB⊥平面PAD,∵PB⊂平面PBC,∴平面PAD⊥平面PBC.

②证明:取PB中点M,连结RM,SM,∵R、S分别是棱AB、PC的中点,AD∥BC,

∴SM∥CB∥AD,RM∥AP,又AD∩AP=A,∴平面PAD∥平面SMR,

∵RS⊂平面SMR,∴RS∥平面PAD.

考查方向

本题主要考查线面平行,面面垂直的判定,关键是对判定定理的正确应用

解题思路

①由已知得AD⊥平面APB,从而PB⊥AD,由此能证明平面PAD⊥平面PBC.

②取PB中点M,连结RM,SM,由已知推导出平面PAD∥平面SMR,由此能证明RS∥平面PAD.

易错点

线面平行,面面垂直判定定理的应用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由已知得,解得AP=1,BP=,PQ=,AQ=,BQ=

以Q为原点,QP为x轴,QB为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则Q(0,0,0),P(,0,0),D(0,﹣,1),C(0,,2),

设平面PDQ的法向量,则,取y=2,得

设平面PCQ的法向量,则

取b=4,得=(0,4,﹣3),设二面角C﹣PQ﹣D的平面角为θ,∴cosθ=|cos<>|=||=

∴二面角C﹣PQ﹣D的余弦值为

考查方向

本题主要考查应用空间向量求解二面角的余弦值,正确找出平面的法向量是关键,属于中等题

解题思路

由已知得AP=1,BP=,PQ=,AQ=,BQ=,以Q为原点,QP为x轴,QB为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角C﹣PQ﹣D的余弦值.

易错点

应用空间向量求解二面角,平面法向量的求解.

1
题型:简答题
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分值: 12分

如图:A,B,C是椭圆的顶点,点F(c,0)为椭圆的右焦点,原点O到直线CF的距离为,且椭圆过点

24.求椭圆的方程;

25.若P是椭圆上除顶点外的任意一点,直线CP交x轴于点E,直线BC与AP相交于点D,连结DE.设直线AP的斜率为k,直线DE的斜率为k1,问是否存在实数λ,使得成立,若存在求出λ的值,若不存在,请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题意,得C(0,b),∴直线CF的方程为y=+b,

即bx+cy﹣bc=0,又原点O到CF的距离为,∴,由b2+c2=a2整理,得a=2b,又椭圆过点,∴,解得a2=16,b2=4,∴椭圆方程为

考查方向

本题主要考查椭圆标准方程的求解,关键是应用点到直线距离公式找出a,b的关系再结合条件即可,属于基础题.

解题思路

推导出直线CF的方程为bx+cy﹣bc=0,由原点O到CF的距离为,椭圆过点,求出a,b,由此能求出椭圆方程.

易错点

设出直线CF的方程,利用点到直线的距离公式求出a,b的关系.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

λ=2.

解析

由(Ⅰ)知B(﹣4,0),C(0,2),故直线BC的方程为

∵直线AP的斜率为k,点A(4,0),∴直线AP的方程为:y=kx﹣4),

联立,得(4k2+1)x2﹣32k2x+64k2﹣16=0,又点P(xP,yp)在椭圆上,故有:4•xP=,∴xP=,∴P(),故直线CP的方程为,即y=

又点E为直线CP与x轴交点,令y=0得x=,∴E(,0),

将直线BC与直线AP联立,得:,解得,∴D(),

故直线DE的斜率为:

,∴λ=2.

考查方向

本题考查直线与椭圆的相交问题,考查满足条件实数值是否存在的判断与求法,属于中档题,解题时要认真审题,注意椭圆性质的合理运用.

解题思路

求出直线BC的方程为y=,直线AP的方程为:y=kx﹣4),代入椭圆方程,得(4k2+1)x2﹣32k2x+64k2﹣16=0,求出直线CP的方程为,从而得到E(,0),将直线BC与直线AP联立,得D(),由此能求出λ.

易错点

直线与圆锥曲线的相交问题,椭圆性质的应用.

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知函数fx)=(x2﹣3x+3)•ex的定义域为[﹣2,t],设f(﹣2)=m,f(t)=n.

26.试确定t的取值范围,使得函数fx)在[﹣2,t]上为单调函数;

27.求证:mn

28.求证:对于任意的t>﹣2,总存在x0∈(﹣2,t),满足;又若方程在(﹣2,t)上有唯一解,请确定t的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

f′(x)=(2x﹣3)•ex+(x2﹣3x+3)•ex=xx﹣1)ex,由f′(x)>0可得,x>1或x<0;由f′(x)><0可得,0<x<1;

fx)在(﹣∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减,欲fx)在[﹣2,t]上为单调函数,则﹣2<t≤0;∴t的取值范围为(﹣2,0].

考查方向

本题主要考查利用导函数求解函数的单调性,属于基础题.

解题思路

求导得f′(x)=(2x﹣3)•ex+(x2﹣3x+3)•ex=xx﹣1)ex,从而可得fx)在(﹣∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减,从而确定t的取值范围.

易错点

利用导数研究函数的单调性及其性质的应用.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

fx)在(﹣∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减,

fx)在x=1处取得极小值e,又∵f(﹣2)=m=<e=f(1),

fx)在[﹣2,+∞)上的最小值为f(﹣2).

从而当t>﹣2时,f(﹣2)<f(t),即m<n.

考查方向

本题主要考查函数极值的求解,考查转化思想的应用,属于中等题.

解题思路

借助(1)可知,fx)在x=1处取得极小值e,求出f(﹣2)=m=<e,则fx)在[﹣2,+∞)上的最小值为f(﹣2),从而得证.

易错点

利用导数研究函数的最大值、最小值与极值.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

,∴可化为=

令g(x)=x2x(t﹣1)2,则证明方程x2x(t﹣1)2=0在(﹣2,t)上有解,并讨论解的个数.

∵g(﹣2)=6﹣(t﹣1)2=﹣(t+2)(t﹣4),

g(t)=t(t﹣1)﹣(t﹣1)2=(t+2)(t﹣1),

①当t>4或﹣2<t<1时,

g(﹣2)•g(t)<0,则方程x2x(t﹣1)2=0在(﹣2,t)上有且只有一解;

②当1<t<4时,g(﹣2)>0,且g(t)>0,

又∵g(0)=﹣(t﹣1)2<0,

∴方程x2x(t﹣1)2=0在(﹣2,t)上有解,且有两解;

③当t=1时,g(x)=x2x=0,从而解得,x=0或x=1,

故方程x2x(t﹣1)2=0在(﹣2,t)上有且只有一解;

④当t=4时,g(x)=x2x﹣6=0,从而解得,x=﹣2或x=3,

故方程x2x(t﹣1)2=0在(﹣2,t)上有且只有一解;

综上所述,对于任意的t>﹣2,总存在x0∈(﹣2,t),满足

当方程在(﹣2,t)上有唯一解时,t的取值范围为(﹣2,1]∪[4,+∞).

考查方向

本题主要考查利用导数求解函数解的个数,考查方程思想和分类讨论思想,属于难题.

解题思路

化简,从而将化为=令g(x)=x2x(t﹣1)2,则证明方程x2x(t﹣1)2=0在(﹣2,t)上有解,并讨论解的个数;由二次函数的性质讨论即可.

易错点

利用导数研究函数的解的个数;分类讨论思想和方程思想的综合应用.

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)

29.将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;

30.若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

x﹣2)2+y2=4

解析

∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为:

ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,∴(x﹣2)2+y2=4.

考查方向

本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化,属于中档题.

解题思路

利用极坐标与直角坐标 互化的化式,求出曲线C的直角坐标方程;

易错点

极坐标方程与直角坐标方程的互化.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

代入圆的方程(x﹣2)2+y2=4得:(tcosα﹣1)2+(tsinα)2=4,

化简得t2﹣2tcosα﹣3=0,设A、B两点对应的参数分别为t1、t2

,∴|AB|=|t1﹣t2|=

∵|AB|=,∴=,∴cos.∵α∈[0,π),∴,∴直线的倾斜角

考查方向

本题考查了参数方程与普通方程的互化,相交弦的求解,属于中档题.

解题思路

先将直l的参数方程是(t是参数)化成普通方程,再求出弦心距,利用勾股定理求出弦长,也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解,求出对应的参数t1,t2的关系式,利用|AB|=|t1﹣t2|,得到α的三角方程,解方程得到α的值,要注意角α范围.

易错点

参数方程化成普通方程,用参数求解相交弦的长度.

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