- 真题试卷
- 模拟试卷
- 预测试卷
1．设集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x+1＞0}，则集合A∩B等于（ ）
正确答案
解析
由题意得，B={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，又集合A={x|﹣2≤x≤3}，则A∩B={x|﹣1＜x≤3}，故选：C．
考查方向
解题思路
先求出集合B，再由交集的运算求出A∩B．
易错点
不等式求解，集合交集及其运算．
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则S9=（ ）
正确答案
解析
在等差数列{an}中，由a2+a4+a9=24，得：3a1+12d=24，即a1+4d=a5=8，∴S9=9a5=9×8=72，故选：B．
考查方向
解题思路
把已知转化为含有首项和公差的等式，求出a5，然后直接由S9=9a5得答案．
易错点
等差数列的前n项和及等差数列性质的应用．
6．已知函数f（x）=3cos（
A[0，
B[
C[
D[
正确答案
解析
由函数f（x）=3cos（
令2kπ≤2x﹣
考查方向
解题思路
由条件利用诱导公式，余弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递减区间．
易错点
余弦函数的图象，诱导公式的转化，函数单调性的求解．
10．如图所示的程序框图，若执行后的结果是
正确答案
解析
第一次循环，i=1，满足条件，A=
第二次循环，i=2，满足条件，A=
第三次循环，i=3，满足条件，A=
第四次循环，i=4，满足条件，A=
此时i=5，不满足条件，程序终止，输出A=
即当i=1，2，3，4时，满足条件，当i=5时，不满足条件，则条件应该为i≤4，故选：B
考查方向
解题思路
根据条件，进行模拟运行，找到满足输出结果为
易错点
程序框图的运算．
2．复数z满足z
正确答案
解析
解：由z
考查方向
解题思路
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
易错点
复数代数形式的乘除运算．
3．春节前，某市一过江大桥上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的6秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以6秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过3秒的概率是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
设两串彩灯分别在通电后x秒，y秒第一次闪亮，则所有的可能情况对应的平面区域为正方形OABC，作出直线x﹣y=3和直线y﹣x=3，则两灯在第一次闪亮时刻不超过3秒对应的平面区域为六边形ODEBGF，∴P=
考查方向
解题思路
作出基本事件对应的平面区域和符合条件的平面区域，求出对应的几何度量．
易错点
作出基本事件对应的平面区域和符合条件的平面区域，求出对应的几何度量．
4．已知
A4
B﹣4
C
D
正确答案
解析
∵A，B，C三点共线，∴
∴4k﹣1×（﹣1）=0，解得k=
考查方向
解题思路
由题意可得
易错点
平行向量共线的坐标运算．
7．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A（﹣∞，
B[
C[
D[
正确答案
解析
由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，即m≤
∵x∈[0，1]，∴
考查方向
解题思路
把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得
易错点
不等式的变形，参数分离，指数函数性质的应用．
8．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
由俯视图可知三棱柱的底面积为
由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积
∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为
考查方向
解题思路
剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积．
易错点
由三视图求空间几何体的面积、体积．
9．已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点f作直线x﹣y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2﹣1最小，
∵f（1，0），则|PF|+d2=
考查方向
解题思路
如图点P到y轴的距离等于点P到焦点f的距离减1，过焦点f作直线x﹣y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得f，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．
易错点
抛物线简单性质的应用，两点距离公式的应用，数形结合思想的应用．
11．已知偶函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}，
正确答案
解析
令g（x）=0得f（x）=
∴g（x）在定义域上共有12个零点，故选：D．
考查方向
解题思路
令g（x）=0得f（x）=
易错点
数形结合求解函数零点的个数，函数性质的应用．
12．对于曲线C所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角θ，使得θ≥∠AOB对于曲线C上的任意两个不同点A、B恒成立，则称θ为曲线C相对于O的“界角”，并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确界角”，已知曲线M：
A
B
C
D
正确答案
解析
画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线无限接近，设它们的方程分别为y=k1x，y=k2x，
当x≤0时，曲线
当x＞0时，y′=ex﹣1+xex﹣1，设切点为（m，n），则n=k2m，n=mem﹣1+1，k2=em﹣1+mem﹣1，即有m2em﹣1=1，由x2ex﹣1（x＞0）为增函数，且x=1成立，故m=1，k2=2，
由两直线的夹角公式得，tanθ=|
故曲线C相对于点O的“确界角”为
考查方向
解题思路
画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线无限接近，当x≤0时，曲线
易错点
对“确界角”新定义的理解及应用，双曲线渐近线及性质的应用．
13．若命题“存在x∈R，使得2x2﹣3ax+9＜0成立”为假命题，则实数a的取值范围是_______．
正确答案
[﹣2
解析
命题“∃x∈R，使2x2﹣3ax+9＜0成立”是假命题，即“2x2﹣3ax+9≥0恒成立”是真命题，△=9a2﹣72≤0，解得﹣2
考查方向
解题思路
将条件转化为2x2﹣3ax+9≥0恒成立，通过△=9a2﹣72≤0，从而解出实数a的取值范围．
易错点
命题的真假判断与应用．
16．已知椭圆C：
正确答案
解析
A（x1，y1），B（x2，y2），∵
∵e=
设直线AB方程为x=sy+
∴y1+y2=﹣
解得s2=
考查方向
解题思路
A（x1，y1），B（x2，y2），设a=2t，c=
易错点
向量共线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题．
14．已知变量x，y满足约束条件
正确答案
9．
解析
作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x+2y得y=﹣
由图象可知当直线y=﹣
由
即目标函数z=x+2y最大值为9，故答案为：9．
考查方向
解题思路
作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．
易错点
简单线性规划的应用，数形结合思想的应用．
15．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是 ．
①若m∥β，n∥β，m、n⊂α，则α∥β．
②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，n⊂γ，则m⊥n．
③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．
④若n∥α，n∥β，α∩β=m，那么m∥n．
正确答案
②④
解析
①若m∥β，n∥β，m、n⊂α，则α与β相交或平行，故①错误．
②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，n⊂γ，则由平面与平面垂直的性质得m⊥n，故②正确．
③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β或n⊂β，故③错误．
④若n∥α，n∥β，α∩β=m，那么由直线与平面平行的性质得m∥n，故④正确．
故答案为：②④．
考查方向
解题思路
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
易错点
空间中直线与直线之间的位置关系．
数列{an}是首项a1=4的等比数列，sn为其前n项和，且S3，S2，S4成等差数列．
17.求数列{an}的通项公式；
18.若bn=log2|an|，设Tn为数列
正确答案
详见解析
解析
设等比数列{an}的公比为q．
当q=1时，S3=12，S2=8，S4=16，不成等差数列
∴q≠1，
2S2=S3+S4，∴
∴q=﹣2，∴an=4（﹣2）n1=（﹣2）n+1
考查方向
解题思路
设等比数列{an}的公比为q，先看当q=1时，S3，S2，S4不成等差数列，不符合题意，判断出q≠1，进而根据等比数列求和公式表示出S3，S2，S4，根据等差中项的性质建立等式，求得q，则数列{an}的通项公式可得．
易错点
等比数列的通项公式；等差数列的性质．
正确答案
详见解析
解析
bn=log2|an|=log2|（﹣2）n+1|=n+1，
∴
∴
考查方向
解题思路
把（1）中的an代入bn=log2|an|中求出
易错点
裂项相消法求数列的和，放缩法的应用．
从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）；第二组[160，165）；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
19.估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；
20.求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；
21.若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率．
正确答案
144
解析
由频率分布直方图得：前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，
后三组频率为1﹣0.82=0.18，人数为0.18×50=9，
∴这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为800×0.18=144．
考查方向
解题思路
由频率分布直方图前五组频率为0.82，从而后三组频率为0.18，由此能求出这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数．
易错点
用样本的频率分布估计总体分布．
正确答案
详见解析
解析
由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2，
设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m，又m+2=2（7﹣m），解得m=4，所以第六组人数为4，
第七组人数为3，频率分别等于0.08，0.06.
考查方向
解题思路
由频率分布直方图得第八组频率为0.04，人数为2，设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m，从而求出第六组人数为4，第七组人数为3，由此能求出其完整的频率分布直方图．
易错点
“频率=矩形的高×组距=频数÷样本容量”公式的应用．
正确答案
详见解析
解析
由（2）知身高在[180，185）内的人数为4，设为a、b、c、d，身高在[190，195]内的人数为2，设为A、B，若x，y∈[180，185）时，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种情况；若x，y∈[190，195]时，有AB共1种情况；
若x，y分别在[180，185）和[190，195]内时，有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB，共8种情况．
所以基本事件总数为6+1+8=15，事件“|x﹣y|≤5”所包含的基本事件个数有6+1=7，
∴P（|x﹣y|≤5）=
考查方向
解题思路
由（2）知身高在[180，185）内的人数为4，身高在[190，195]内的人数为2，由此利用列举法能求出事件“|x﹣y|≤5”的概率．
易错点
列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．
22.求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；
23.若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．
正确答案
详见解析
解析
①证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴AD⊥平面APB，又PB⊂平面APB，∴PB⊥AD，
∵PD⊥PB，AD∩PD=D，∴PB⊥平面PAD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC．
②证明：取PB中点M，连结RM，SM，∵R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，
∴SM∥CB∥AD，RM∥AP，又AD∩AP=A，∴平面PAD∥平面SMR，
∵RS⊂平面SMR，∴RS∥平面PAD．
考查方向
解题思路
①由已知得AD⊥平面APB，从而PB⊥AD，由此能证明平面PAD⊥平面PBC．
②取PB中点M，连结RM，SM，由已知推导出平面PAD∥平面SMR，由此能证明RS∥平面PAD．
易错点
线面平行，面面垂直判定定理的应用
正确答案
解析
由已知得
以Q为原点，QP为x轴，QB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则Q（0，0，0），P（
∴
设平面PDQ的法向量
设平面PCQ的法向量
取b=4，得
∴二面角C﹣PQ﹣D的余弦值为
考查方向
解题思路
由已知得AP=1，BP=
易错点
应用空间向量求解二面角，平面法向量的求解．
如图：A，B，C是椭圆
24.求椭圆的方程；
25.若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，问是否存在实数λ，使得
正确答案
解析
由题意，得C（0，b），∴直线CF的方程为y=
即bx+cy﹣bc=0，又原点O到CF的距离为
考查方向
解题思路
推导出直线CF的方程为bx+cy﹣bc=0，由原点O到CF的距离为
易错点
设出直线CF的方程，利用点到直线的距离公式求出a，b的关系．
正确答案
λ=2．
解析
由（Ⅰ）知B（﹣4，0），C（0，2），故直线BC的方程为
∵直线AP的斜率为k，点A（4，0），∴直线AP的方程为：y=k（x﹣4），
联立
又点E为直线CP与x轴交点，令y=0得x=
将直线BC与直线AP联立，得：
故直线DE的斜率为：
∴
考查方向
解题思路
求出直线BC的方程为y=
易错点
直线与圆锥曲线的相交问题，椭圆性质的应用．
已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•ex的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n．
26.试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；
27.求证：m＜n；
28.求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足
正确答案
详见解析
解析
∵f′（x）=（2x﹣3）•ex+（x2﹣3x+3）•ex=x（x﹣1）ex，由f′（x）＞0可得，x＞1或x＜0；由f′（x）＞＜0可得，0＜x＜1；
∴f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，欲f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，则﹣2＜t≤0；∴t的取值范围为（﹣2，0]．
考查方向
解题思路
求导得f′（x）=（2x﹣3）•ex+（x2﹣3x+3）•ex=x（x﹣1）ex，从而可得f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，从而确定t的取值范围．
易错点
利用导数研究函数的单调性及其性质的应用．
正确答案
详见解析
解析
∵f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
∴f（x）在x=1处取得极小值e，又∵f（﹣2）=m=
∴f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2）．
从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n．
考查方向
解题思路
借助（1）可知，f（x）在x=1处取得极小值e，求出f（﹣2）=m=
易错点
利用导数研究函数的最大值、最小值与极值．
正确答案
详见解析
解析
∵
令g（x）=x2﹣x﹣
∵g（﹣2）=6﹣
g（t）=t（t﹣1）﹣
①当t＞4或﹣2＜t＜1时，
g（﹣2）•g（t）＜0，则方程x2﹣x﹣
②当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0，且g（t）＞0，
又∵g（0）=﹣
∴方程x2﹣x﹣
③当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，从而解得，x=0或x=1，
故方程x2﹣x﹣
④当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，从而解得，x=﹣2或x=3，
故方程x2﹣x﹣
综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足
当方程
考查方向
解题思路
化简
易错点
利用导数研究函数的解的个数；分类讨论思想和方程思想的综合应用．
已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是
29.将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
30.若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=
正确答案
（x﹣2）2+y2=4
解析
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：
ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．
考查方向
解题思路
利用极坐标与直角坐标 互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；
易错点
极坐标方程与直角坐标方程的互化．
正确答案
解析
将
化简得t2﹣2tcosα﹣3=0，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，
则
∵|AB|=
考查方向
解题思路
先将直l的参数方程是
易错点
参数方程化成普通方程，用参数求解相交弦的长度．