• 理科数学 衡阳市2017年高三第一次质检考试
单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

1.设集合A={x|﹣2≤x≤3},B={x|x+1>0},则集合A∩B等于(  )

A{x|﹣2≤x≤﹣1}

B{x|﹣2≤x<﹣1}

C{x|﹣1<x≤3}

D{x|1<x≤3}

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1

2.复数z满足zi=3﹣i,则在复平面内,复数z对应的点位于(  )

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

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1

3.春节前,某市一过江大桥上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的6秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以6秒内间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过3秒的概率是(  )

A

B

C

D

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1

4.已知,若A,B,C三点共线,则实数k的值为(  )

A4

B﹣4

C

D

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1

5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4+a9=24,则S9=(  )

A36

B72

C144

D70

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1

8.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的(  )

A

B

C

D

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1

7.设不等式4xm(4x+2x+1)≥0对于任意的x∈[0,1]恒成立,则实数m的取值范围是(  )

A(﹣∞,]

B[]

C[]

D[,+∞)

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1

6.已知函数fx)=3cos(ωx)(ω>0),函数fx)相邻两个零点之间的绝对值为,则下列为函数fx)的单调递减区间的是(  )

A[0,]

B[,π]

C[]

D[]

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1

9.已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x﹣y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为(  )

A

B

C

D

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1

10.如图所示的程序框图,若执行后的结果是,则在①处应填写的是(  )

Ai≤3

Bi≤4

Ci≤5

Di≤6

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1

12.对于曲线C所在平面内的点O,若存在以O为顶点的角θ,使得θ≥∠AOB对于曲线C上的任意两个不同点A、B恒成立,则称θ为曲线C相对于O的“界角”,并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确界角”,已知曲线M:,(其中e为自然对数的底数),O为坐标原点,则曲线M相对于O的“确界角”为(  )

A

B

C

D

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1

11.已知偶函数fx)的定义域为{x|x∈R且x≠0},,则函数的零点个数为(  )

A6

B8

C10

D12

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填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1

13.若命题“存在x∈R,使得2x2﹣3ax+9<0成立”为假命题,则实数a的取值范围是_______.

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1

14.已知变量x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是  

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1

15.已知mn是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题,其中所有正确命题的序号是  

①若m∥β,n∥β,m、n⊂α,则α∥β.

②若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n⊂γ,则m⊥n.

③若m⊥α,α⊥β,m∥n,则n∥β.

④若n∥α,n∥β,α∩β=m,那么m∥n.

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1

16.已知椭圆C:的离心率为,过右焦点F且斜率为kk>0)的直线与C相交于A、B两点,若,则k=  

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简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

数列{an}是首项a1=4的等比数列,sn为其前n项和,且S3,S2,S4成等差数列.

17.求数列{an}的通项公式;

18.若bn=log2|an|,设Tn为数列的前n项和,求证Tn

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1

从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高.据测量,被测学生身高全部介于155cm到195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160);第二组[160,165);…;第八组[190,195].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.

19.估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数;

20.求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图;

21.若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人,记他们的身高分别为x、y,求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率.

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1

已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,平面PAB⊥平面ABCD,R、S分别是棱AB、PC的中点,AD∥BC,AD⊥AB,PD⊥CD,PD⊥PB,AB=BC=2AD=2.

22.求证:①平面PAD⊥平面PBC;②RS∥平面PAD;

23.若点Q在线段AB上,且CD⊥平面PDQ,求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值.

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1

如图:A,B,C是椭圆的顶点,点F(c,0)为椭圆的右焦点,原点O到直线CF的距离为,且椭圆过点

24.求椭圆的方程;

25.若P是椭圆上除顶点外的任意一点,直线CP交x轴于点E,直线BC与AP相交于点D,连结DE.设直线AP的斜率为k,直线DE的斜率为k1,问是否存在实数λ,使得成立,若存在求出λ的值,若不存在,请说明理由.

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1

已知函数fx)=(x2﹣3x+3)•ex的定义域为[﹣2,t],设f(﹣2)=m,f(t)=n.

26.试确定t的取值范围,使得函数fx)在[﹣2,t]上为单调函数;

27.求证:mn

28.求证:对于任意的t>﹣2,总存在x0∈(﹣2,t),满足;又若方程在(﹣2,t)上有唯一解,请确定t的取值范围.

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1

已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)

29.将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;

30.若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.

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