理科数学黄浦区2010年高三试卷

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填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

1．已知矩阵，其中，点在矩阵的变换下得到点，则实数=________。

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2．函数的最小正周期为，最大值为，则_________。

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3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的同学有人，则的值为_____。

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4．已知的展开式中的系数为，（）的展开式中的系数为，则_____________．

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5．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，又当时，

，则的值等于__________________．

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6．，则 ____．

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7．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为________．

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8．某校选派、两个班参加一次社会活动，其中班有学生名，其中男生人；班有学生名，其中女生人，现从、两班各找一名学生进行问卷调查，则找出的学生是一男一女的概率为 ____．

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9．已知函数，等比数列的首项，公比，若，则 ____ ．

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10．阅读下列材料:若两个正实数满足，那么．证明:构造函数，因为对一切实数，恒有，所以，从而得，所以．根据上述证明方法，若个正实数满足时，你能得到的结论为__________________．

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11．已知抛物线:和圆:，其中，直线经过的焦点，依次交，于四点，则的值为_____________．

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12．已知是内任一点，且满足，、，则的取值范围是____________．

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13．已知以为周期的函数在上的解析式为，其中，若方程恰有个实数解，则的取值范围为______________．

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14．定义函数，其中表示不超过的最大整数，如:，当时，设函数的值域为，记集合中的元素个数为，则式子的最小值为（）．

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单选题本大题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

15．“”是“对任意的正数，”的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

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16．若，则直线必不经过（）

A第一象限

B第二象限

C．第三象限

D．第四象限

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17．对于数列，若存在常数，使得对任意，与中至少有一个不小于，则记作，那么下列命题正确的是（）

A若，则数列各项均大于或等于

B若，则

C若，，则

D若，则

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18．如图所示，是由底为1、高为1的等腰三角形及底为、高分别为和的两个矩形所构成，函数（）是图形介于平行线及之间的那一部分面积，则函数的图形大致为（）

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简答题（综合题）本大题共78分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19．已知以角为钝角的的内角、、的对边分别为、、，，，且

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围

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20．如图．一个小球从处投入，通过管道自上而下落到或或．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到。则分别设为等奖。

（1）求投入小球次获得等奖的概率；

（2）已知获得等奖的折扣率分别为。记随机变量为获得等奖的折扣率．求随机变量的分布列及数学期望；

（3）若有人次（投入球为人次）参加促销活动，记随机变量为获得等奖或等奖的人次。求。（即求次中有二次获得等奖或等奖的概率）

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21．如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，且，，，

（1）求证:；

（2）求与平面所成的角的正弦值；

（3）求点到平面的距离

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22．设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图像上

（1）求数列的通项公式；

（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，，，；，，，；，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；

（3）设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，求的取值范围

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23．已知抛物线上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大1

（1）求抛物线的方程；

（2）若过焦点的直线交抛物线于两点，在第一象限，且，求直线的方程；

（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题。

例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为，侧棱长为，求该正四棱锥的体积”。求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”。

现有正确命题:过点的直线交抛物线于两点，设点关于轴的对称点为，则直线必过焦点。

试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。

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