理科数学黄浦区2010年高三试卷

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填空题
单选题
简答题

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试卷目录

1、填空题

2、单选题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 4分

9．已知函数，等比数列的首项，公比，若，则 ____ ．

正确答案

解析

因，故，．

所以，．

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

分值: 4分

3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的同学有人，则的值为_____。

正确答案

．

解析

这一组的频率为，故．

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 4分

6．，则 ____．

正确答案

．

解析

首尾配对，如，

故原式．

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：填空题

分值: 4分

8．某校选派、两个班参加一次社会活动，其中班有学生名，其中男生人；班有学生名，其中女生人，现从、两班各找一名学生进行问卷调查，则找出的学生是一男一女的概率为 ____．

正确答案

．

解析

找出的学生是一男一女的概率为．

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：填空题

分值: 4分

10．阅读下列材料:若两个正实数满足，那么．证明:构造函数，因为对一切实数，恒有，所以，从而得，所以．根据上述证明方法，若个正实数满足时，你能得到的结论为__________________．

正确答案

解析

构造函数，因为对一切实数，恒有，所以，从而得，所以．

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 4分

1．已知矩阵，其中，点在矩阵的变换下得到点，则实数=________。

正确答案

解析

由．

知识点

简单复合函数的导数

题型：填空题

分值: 4分

2．函数的最小正周期为，最大值为，则_________。

正确答案

解析

因的最小正周期为，最大值为，故，

．

知识点

幂函数的图像

题型：填空题

分值: 4分

5．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，又当时，

，则的值等于__________________．

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：填空题

分值: 4分

4．已知的展开式中的系数为，（）的展开式中的系数为，则_____________．

正确答案

解析

．

知识点

指数函数的图像变换

题型：填空题

分值: 4分

7．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为________．

正确答案

或．

解析

求函数的最大值是，所以有．

知识点

一元高次不等式的解法

题型：填空题

分值: 4分

12．已知是内任一点，且满足，、，则的取值范围是____________．

正确答案

解析

令

由系数和，知点在线段上．

从而．由、满足条件

易知．

知识点

函数单调性的性质

题型：填空题

分值: 4分

13．已知以为周期的函数在上的解析式为，其中，若方程恰有个实数解，则的取值范围为______________．

正确答案

解析

由数形结合知，直线与函数在第二个周期的折线有交点，且与第三个周期的折线无交点，所以有且无交点，即有．

知识点

简单复合函数的导数

题型：填空题

分值: 4分

14．定义函数，其中表示不超过的最大整数，如:，当时，设函数的值域为，记集合中的元素个数为，则式子的最小值为（）．

正确答案

解析

当时，，其间有个整数；

当，时，，其间有个正整数，故

，，

由得，当或时，取得最小值．

知识点

定积分

题型：填空题

分值: 4分

11．已知抛物线:和圆:，其中，直线经过的焦点，依次交，于四点，则的值为_____________．

正确答案

解析

当直线垂直于轴时就可得结果．

知识点

双曲线的定义及标准方程

单选题本大题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 4分

18．如图所示，是由底为1、高为1的等腰三角形及底为、高分别为和的两个矩形所构成，函数（）是图形介于平行线及之间的那一部分面积，则函数的图形大致为（）

正确答案

解析

当在之间时，面积增加的速度由快到慢，排除（A）、（B）．又在之间时面积增加的速度，大于在之间时面积增加的速度，选（C）．

知识点

幂函数的图像

题型：单选题

分值: 4分

15．“”是“对任意的正数，”的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

分值: 4分

16．若，则直线必不经过（）

A第一象限

B第二象限

C．第三象限

D．第四象限

正确答案

解析

令，得;令，得．所以直线与轴交于正方向上一点，与轴交于负方向上一点，所以直线不经过第二象限．

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

分值: 4分

17．对于数列，若存在常数，使得对任意，与中至少有一个不小于，则记作，那么下列命题正确的是（）

A若，则数列各项均大于或等于

B若，则

C若，，则

D若，则

正确答案

解析

（A）的反例可以是:，．（B）的反例可以是:，．

（C）的反例可以是:和，．

知识点

导数的加法与减法法则

简答题（综合题）本大题共78分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 14分

19．已知以角为钝角的的内角、、的对边分别为、、，，，且

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围

正确答案

（1），，

且，

由正弦定理

可得：

，

化简求得：

为钝角，

（2）

，

的取值范围为

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知识点

简单复合函数的导数

题型：简答题

分值: 14分

20．如图．一个小球从处投入，通过管道自上而下落到或或．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到。则分别设为等奖。

（1）求投入小球次获得等奖的概率；

（2）已知获得等奖的折扣率分别为。记随机变量为获得等奖的折扣率．求随机变量的分布列及数学期望；

（3）若有人次（投入球为人次）参加促销活动，记随机变量为获得等奖或等奖的人次。求。（即求次中有二次获得等奖或等奖的概率）

正确答案

（1）投入小球次获得等奖的概率为

（2）由题意得的分布列为

则

（3）由（2）可知，获得等奖或等奖的概率为

由题意得，

则

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知识点

指数函数的图像变换

题型：简答题

分值: 16分

22．设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图像上

（1）求数列的通项公式；

（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，，，；，，，；，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；

（3）设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，求的取值范围

正确答案

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

分值: 16分

21．如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，且，，，

（1）求证:；

（2）求与平面所成的角的正弦值；

（3）求点到平面的距离

正确答案

∵平面，

∴以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系

∵，

∴ ’

（1）∴，从而’

（2） ∵

设面法向量

∴

∵∴=

即与平面所成角的正弦值为

（3）∵

设面法向量

设，∴

∴点到平面的距离为

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知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：简答题

分值: 18分

23．已知抛物线上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大1

（1）求抛物线的方程；

（2）若过焦点的直线交抛物线于两点，在第一象限，且，求直线的方程；

（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题。

例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为，侧棱长为，求该正四棱锥的体积”。求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”。

现有正确命题:过点的直线交抛物线于两点，设点关于轴的对称点为，则直线必过焦点。

试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。

正确答案

（1）．

（2）设，则，F（1，0）

因为M、F、N共线，则有，所以，解得，

所以，因而，直线的方程是

（3）“逆向问题”一：

①已知抛物线C：的焦点为F，

过点F的直线交抛物线C于P、Q两点，

设点P关于x轴的对称点为R，

则直线RQ必过定点

证明：设过F的直线为y=k（x），，，

则

由

得，

所以，

，

=，

所以直线RQ必过焦点A。

②过点的直线交抛物线C于P、Q两点，FP与抛物线交于另一点R，则RQ垂直于x轴。

③已知抛物线C：，过点B（m，0 ）（m>0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A（-m，0）。

“逆向问题”二：

已知椭圆C：的焦点为F1（-c，0），F2（c，0），过F2的直线交椭圆C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点。

“逆向问题”三：

已知双曲线C：的焦点为F1（-c，0），F2（c，0），过F2的直线交双曲线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

导数的加法与减法法则

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正确答案

解析

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