• 理科数学 石家庄市2013年高三试卷
单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

1. 复数(  )

Ai

B﹣i

C1﹣i

D1+i

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1

2. 下面四个条件中,使a>b成立的充要条件是(  )

Aa>b+1

Ba>b-1

Ca2>b2

Da3>b3

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1

3.已知向量=(1,3),=(3,﹣1),且,则点P的坐标为(  )

A(2,﹣4)

B,﹣

C,﹣

D(﹣2,4)

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1

4.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ)为常数,A>0,ω>0的部分图象如图所示,则f(0)的值为(  )

A

B

C0

D

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1

6. 已知实数x,y满足则z=|x+4y|的最大值为(  )

A9

B17

C5

D15

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1

7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4+a7+a10=9,S14﹣S3=77,则使Sn取得最小值时n的值为(  )

A4

B5

C6

D7

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1

9.已知A、B、C是球O的球面上三点,三棱锥O﹣ABC的高为2且∠ABC=60°,AB=2,BC=4,则球O的表面积为(  )

A24π

B32π

C48π

D192π

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1

11.已知点P在曲线y=ex(e自然对数的底数)上,点Q在曲线y=lnx上,则丨PQ丨的最小值是(  )

A

B2e

C

De

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1

10.设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,且|PF2|=|1FF2|,F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为(  )

A

B

C

D

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1

12.三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等,且长各为、m、n,其中m2+n2=6,则该三棱锥体积的最大值为(  )

A

B

C

D

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1

5.已知f(x)=2sinx+x3+1,(x∈R),若f(a)=3,则f(﹣a)的值为(  )

A﹣3

B﹣2

C﹣1

D0

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1

8.已知程序框图如图所示,当输入2与﹣2时,输出的值均为10,则输入1时输出的值为(  )

A2

B4

C6

D8

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填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1

15. 设M,m分别是f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,则m(b﹣a)≤f(x)dx≤M(b﹣a)由上述估值定理,估计定积分的取值范围是________

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1

16.已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py(p>0)上,该圆经过点A(0,p),且与x轴交于两点M、N,则sin∠MCN的最大值为___________.

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1

13.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2•a4=16则S4=_________

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1

14.天气预报说,在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%,用随机模拟的方法进行试验,由1、2、3、4表示下雨,由5、6、7、8、9、0表示不下雨,利用计算器中的随机函数产生0〜9之间随机整数的20组如下:

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为_________

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简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

17.要测量河对岸的烟囱AB,而测量者又不能到达它的底部,现有测角仪和钢卷尺两种测量工具,请你设计一种测量方案.要求

(I)画出图形,指出要测量的数据(用字母表示并在图中标出);

(II)用文字和公式写出计算烟囱高AB的步骤(测角仪的高度忽略不计)

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1

19. 有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且通过这两条公路所用的时间互不影响.

据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表:

假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发,汽车B只能在约定日期的前12天出发.

(I)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙,估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径;

(II)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元(其它费用忽略不计),此项费用由生产商承担.如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到,则销售商一次性支付给生产商40万元,若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给生产商2万元;若在约定日期后送到,每迟到一天,销售商将少支付给生产商2万元.如果汽车A、B长期按(I)所选路径运输货物,试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大。

(注:毛利润=(销售商支付给生产商的费用)﹣(一次性费用))

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1

20.在平面直角坐标系xOy中,已知定点A(﹣2,0)、B(2,0),M是动点,且直线MA与直线MB的斜率之积为﹣,设动点M的轨迹为曲线C.

(I)求曲线C的方程;

(II )过定点T(﹣1,0)的动直线l与曲线C交于P,Q两点,是否存在定点S(s,0),使得为定值,若存在求出s的值;若不存在请说明理由。

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1

21. 已知函数f(x)=alnx+(a≠0)在(0,)内有极值.

(I)求实数a的取值范围;

(II)若x1∈(0,),x2∈(2,∞)且a∈[,2]时,求证:f(x1)﹣f(x2)≥ln2+

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1

从22、23、24题中任选一题作答

22.选修4﹣1几何证明选讲

已知△ABC中AB=AC,D为△ABC外接圆劣弧,上的点(不与点A、C重合),延长BD至E,延长AD交BC的延长线于F.

(I)求证.∠CDF=∠EDF

(II)求证:AB•AC•DF=AD•FC•FB.

23.选修4﹣4坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,取原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为:ρ=2cosθ,直线C2的参数方程为:(t为参数)

(I )求曲线C1的直角坐标方程,曲线C2的普通方程.

(II)先将曲线C1上所有的点向左平移1个单位长度,再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线C3,P为曲线C3上一动点,求点P到直线C2的距离的最小值,并求出相应的P点的坐标.

24.选修4﹣5不等式选讲

解不等式:

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1

18.四棱锥的正视图和俯视图如图,其中俯视图是直角梯形.

(I )若正视图是等边三角形,F为AC的中点,当点M在棱AD上移动时,是否总有BF丄CM,请说明理由;

(II)若平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°,求直线AD与平面ABE所成角的正弦值。

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