理科数学深圳市2016年高三第一次模拟考试

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试卷目录

1、简答题

2、单选题

3、填空题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

如图，在中，，是上一点，，，

17.求的值；

18.求的值和边的长

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）

解析

在中知道三边，用余弦定理先求出的余弦值，再求正弦值，然后在中，知道B和C，再利用内角和为180，用诱导公式得到,再展开求得的值，然后在中，利用正弦定理求出BC边长

考查方向

本题主要考察正余弦定理的运用以及三角恒等变换公式的运用，经常考察求三角形的边、角以及面积等问题，还会与基本不等式结合求最值，难度中等，属高考热点问题

解题思路

易错点

余弦定理的边角关系对应错误导致计算出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

，

解析

(2)由（1）得，将三角函数值代入可得在中，由正弦定理得到,代入边长和正弦值得到所以

考查方向

解题思路

易错点

诱导公式应用错误，导致求错

题型：简答题

分值: 12分

根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位（单位：米）的频率分布直方图如下：

将河流水位在以上段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响

19.求未来三年，至多有年河流水位的概率（结果用分数表示）；

20.该河流对沿河企业影响如下：当时，不会造成影响；当时，损失元；当时，损失元，为减少损失，现有种应对方案方案一：防御米的最高水位，需要工程费用元方案二：防御不超过米的水位，需要工程费用元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）

解析

在区间内一共有两列，纵坐标分别为0.075和0.05，两组的纵坐标相加得到0.125，再乘以组距2，得到概率为，再由二项分布计算至多一年的概率

考查方向

本题主要考察对频率分布直方图的认识和二项分布概率的计算，理科出题常与排列组合以及二项分布、超几何分布等一起出题，难度中档

解题思路

【解题思路】先由频率分布直方图得到的概率为，至多一年包含0年和1年两种情况，再由二项分布计算概率；

易错点

题目看错，误认为只是求的概率

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

方案二较好

解析

方案一：防御最高水位，河流不会对企业造成影响，只损失工程费3800元；方案二：防御不超过31米的水位，损失有两个方面，一是工程费，还有31米及以上的水位造成的损失， 2000+600000.01=2600元方案三：不采取措施，就没有工程费用，总损失为：元比较可得，方案二损失最小，所以采取方案二较好.

考查方向

本题主要考察对频率分布直方图的认识和二项分布概率的计算，理科出题常与排列组合以及二项分布、超几何分布等一起出题，难度中档

解题思路

损失由两部分构成：工程费用+超过的水位造成的影响事件发生的概率

易错点

在计算损失的时候只考虑了河流对企业的影响，而忽略了工程费用

题型：简答题

分值: 10分

如图，在直角中，，为边上异于的一点，以为直径作圆，并分别交于点

28.证明：四点共圆；

29.若为的中点，且，，求的长

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

如图，连接EF，BE,则因为AB是直径，

所以AEB=,ABE+BAE=,

而C+BAE=,

C=ABE, ABE与AFE同为弧AE所对的圆周角，

所以ABE=AFE，AFE+DFE=，

所以C+DFE=,所以四点共圆.

考查方向

本题主要考察四点共圆的证明方法，圆周角定理，以及圆中的弦长问题，常涉及切线长定理，切割线定理、勾股定理等

解题思路

证明四点共圆就是要证明四边形的对角互补，如图，证明EFD与C互补,第二问先根据切割线定理求出BD的长，然后根据勾股定理求出AB，AC，再运用切割线定理求AE

易错点

切割线定理记错，如记成

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由切割线定理得,

再在中由勾股定理得,

由切割线定理得,

所以

考查方向

本题主要考察四点共圆的证明方法，圆周角定理，以及圆中的弦长问题，常涉及切线长定理，切割线定理、勾股定理等

解题思路

易错点

切割线定理记错，如记成

题型：简答题

分值: 12分

如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，

21.求证：平面平面；

22.若，求二面角的余弦值

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）证明略

解析

如图，取AB中点O，连接CO，PO，BC=AB=2，,

所以为等边三角形，所以,

在中，O为斜边AB中点，

所以，

所以满足,

所以为直角三角形，,

所以,

又因为,

所以平面平面；

考查方向

本题主要考察立体几何中的面面垂直的证明和二面角的求法。立体几何在高考理科试卷中主要考察两个方面，一是线面、面面的平行或垂直的证明，二是二面角或线面角的求法，要求大家在掌握基本的几何方法的时候还需要能够熟练的运用空间向量解题。难度中档，属高考热点问题

解题思路

取AB中点O，连接CO，PO,求得CO=,,在中由勾股定理逆定理得到,同理得到,得证；

第二问，以O点为坐标原点建立空间直角坐标系，分别写出点的坐标，然后求出两个面的法向量，用向量法可求。

易错点

在第一问做图的时候不是取得AB中点，而是做了AB垂线，导致PO长度不可求，以致于最后少一组垂直，无法证明；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

如图，以O点为坐标原点，建立空间直角坐标系，,所以得到各点坐标如下：

设平面APC的法向量为则

得到，所以

设平面DPC的法向量为则

得到，所以

由图可知，这两个面所成的二面角为锐二面角，所以所求的余弦值为.

考查方向

解题思路

以O点为坐标原点建立空间直角坐标系，分别写出点的坐标，然后求出两个面的法向量，用向量法可求。

易错点

想尝试综合法（几何法）解决，结果无法做出二面角的平面角.

只有当两个面中有一个是平行或垂直于底面的时候，我们才适合用综合法（几何法）做，其它都用空间向量解决.

题型：简答题

分值: 12分

已知椭圆的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点

23.求椭圆的方程；

24.直线被圆截得的弦长为，且与椭圆交于两点，求面积的最大值

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)

解析

（1），又因为，所以，所以椭圆方程可以写成，把它与直线方程联立，得到根据题意得到，解得，所以椭圆方程为.

考查方向

本题主要考察椭圆的定义，椭圆与直线的位置关系、圆中的弦长问题，以及圆锥曲线中的最值问题。最值问题常常会用到基本不等式、判别式法或导数法。难度较大，特别是计算量比较大，是高考热点问题。

解题思路

第一问根据离心率得到，然后与直线方程联立，根据判别式为0，即可求得椭圆方程；

易错点

在最后计算求最值得时候没有进行合理的换元，导致无法求出最值

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

为避免讨论直线斜率不存在的情况，直接设直线的方程为，根据它被圆截得的弦长为3，由垂径定理得到圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得到，

即联立椭圆和直线方程

得到,

由判别式大于0可以得到

设直线与轴交于点N，与椭圆交于两点，

则

由根与系数的关系得到，

所以，

令，则由得到

所以，当且仅当时，三角形面积最大，最大值为

考查方向

解题思路

【解题思路】第一问根据离心率得到，然后与直线方程联立，根据判别式为0，即可求得椭圆方程；

易错点

第二问在设方程的时候设为，但是后面又没有讨论斜率不存在的情况

题型：简答题

分值: 12分

已知函数和函数（为自然对数的底数）

25.求函数的单调区间；

26.判断函数的极值点的个数，并说明理由；

27.若函数存在极值为，求的值

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）增区间，减区间

解析

，函数定义域为R，，所以时，导数值大于0，时，导数值小于0，所以函数的单调增区间，减区间。

考查方向

本题主要考察导数的基本运算，利用导数研究函数的单调性、极值与最值以及零点的存在性问题，考察学生的转化与化归、数形结合、函数与方程等数学思想的的运用和运算求解能力。导数问题是高考理科数学的压轴问题，难度较大，对数学思想的运用要求较高。

解题思路

第一问直接求导，解不等式即得。

易错点

在分类的时候没有找准分类的标准，而导致后面逻辑混乱

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

当时，当时，由（1）知，在上单调递增，且，所以唯一零点使得，当时，当时，当时，所以当时，有极大值，所以当时，有极小值。

当时，由（1）知，

当当所以无极值。当时，由（1）知，在单调递增，且所以存在唯一，使得当时，，故，

当时，，故，当时，，故，所以，当时，取到极大值，当时，取到极小值。综上，当时，有两个极值点，当时，无极值点。

考查方向

解题思路

当时，

当时，由（1）知，在上单调递增，

且，

所以唯一零点使得，

当时，

当时，所以当时，有极大值，所以当时，有极小值。

当时，由（1）知，当

当所以无极值。

当时，由（1）知，在单调递增，且

所以存在唯一，使得当时，，故，当时，，故，当时，，故，所以，当时，取到极大值，当时，取到极小值。

综上，当时，有两个极值点，当时，无极值点。

易错点

第二问误解题目意思，试图求出零点

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

由（2）知，当时，因为故①由得代入①式得到整理得到：，记因为，当时，所以在上单调递减，又因为，所以符合题意当时，因为，所以不存在符合题意综上，当时，存在极值等于.

考查方向

解题思路

易错点

在分类的时候没有找准分类的标准，而导致后面逻辑混乱

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，

则在该几何体中，最长的棱的长度是（）

正确答案

解析

底面为直角梯形，上底，下底和高分别为2,4,4，四棱锥的高为4，则最长棱为俯视图中的梯形中的对角线，长度为

考查方向

本题主要考察大家的空间想象能力，能否根据三视图画出直观图，并进而求出几何体的一些量，经常考察几何体的体积、表面积或外接球等问题，难度中档，属高考热点问题

解题思路

根据三视图画出直观图，可以看出该几何体为一个四棱锥，然后根据各边长判断出最长棱，并求长度

易错点

1、不能根据三视图画出直观图2、最长棱判断错误

题型：单选题

分值: 5分

1．已知集合，，则（）

正确答案

解析

由集合A得得到，由集合B得到，又因为底数为2的对数函数是增函数，所以得到，别忘了对数函数的定义域要真数大于0，所以集合B得到，然后两个集合取交集得到

考查方向

本题主要考察函数的定义域、对数函数的单调性以及集合的基本运算,属基础题，高考考察频率较高

解题思路

集合A要求根号里面的式子大于或等于0，集合B需要真数大于0且小于等于2，然后取交集即可

易错点

忽略对数函数的真数应该大于0

知识点

交集及其运算

题型：单选题

分值: 5分

2．设为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点在（）

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

解析

两边同除以得，所以对应点的坐标为，在第四象限.

考查方向

本题主要考察复数的除法运算，以及复数与复平面中的点的对应关系，属基础题，高考几乎每年都会出题考察

解题思路

两边同除以虚数单位，然后再分子分母同乘以得到，进而得到对应点的坐标

易错点

复数的除法运算是要分子分母同乘以共轭复数

知识点

复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的乘除运算

题型：单选题

分值: 5分

3．已知平面向量、满足，，与的夹角为，且，则实数的值为（）

正确答案

解析

，再将后面两个向量的乘积展开，得到，将代入，得到，所以得到

考查方向

本题主要考察向量的基本运算，以及向量的垂直的概念与性质，属中档题，高考考察频率较高

解题思路

先计算与的数量积，将中的两个向量乘开，然后根据垂直数量积为0，列出方程解出

易错点

忽略了与的夹角为钝角，那么它们的数量积应该是负的

知识点

平面向量数量积的运算

题型：单选题

分值: 5分

5．公差为的等差数列中，成等比数列，则的前项和为（）

正确答案

解析

，，

解得4，

所以，

考查方向

本题主要考察等差和等比数列的基本概念和等比中项的性质，以及数列的求和方法，难度中档，属高考高频考点

解题思路

根据等差数列的定义，，然后根据等比中项的性质，解得，再用等差数列的求和公式即得

易错点

不知道等比中项的性质，或把等比中项与等差中项混淆

知识点

等差数列与等比数列的综合

题型：单选题

分值: 5分

7．的展开式中常数项为（）

正确答案

解析

，

所以常数项为

考查方向

本题主要考察二项式定理的基本知识，难度中档，属于高考理科中的热点问题

解题思路

第一步，求第二个式子展开式中的系数，第二步，求第二个式子的展开式中常数项的系数，然后乘以2，最后把两个结果相加既得。

易错点

1、常数项的来源有两种，一种是前面因式中的与后面因式中的相乘，还有一种是前面因式的常数项与后面因式的常数项相乘，很多同学容易忽略第一种情况 2、把展开式中的偶数项的符号弄错

知识点

求二项展开式的指定项或指定项的系数

题型：单选题

分值: 5分

10．点、、、在半径为的同一球面上，点到平面的距离为，，则点与中心的距离为（）

正确答案

解析

外接圆的半径为1，MC=1，MO=ME=SD=，,

考查方向

本题主要考察几何体的外接球问题，常与求几何体的某一边长，或求球的体积、表面积等集合出题，难度较大

解题思路

如图，M为的中心，先根据AB边长求出外接圆的半径MC，然后在直角三角形MOC中,求出MO的长度，,,进而求出MS

易错点

1、外接圆的半径不会求，导致后面无法进行2、在取S点的位置的时候，没有取好，导致位置关系不明朗，无法计算

知识点

与球体有关的内切、外接问题

题型：单选题

分值: 5分

12．函数有两个零点，则实数的取值范围是（）

正确答案

解析

首先构造两个函数，后面的函数过原点，然后对进行分类讨论，并结合图形，分析两个函数图像什么时候才会在上有两个交点。

（1）当时，二次函数开口向下，对称轴在轴左边，如右图，两个函数图像只有一个交点；

（2）当时，为斜率为-1的一次函数，两个函数图像也只有一个交点；

（3）当时，二次函数开口向上，对称轴在轴右边，如右图，若要有两个交点，则二次函数在处函数值必须小于0，所以得到，所以答案为

考查方向

本题主要考察函数零点的概念，分类讨论的思想方法以及构造函数的思想，它常常与导数相结合，考察参数的取值范围问题，难度较大，是高考热点之一

解题思路

首先构造两个函数，定义域都是，然后画图分析看在什么范围的时候两个函数图像会有两个交点

易错点

1、忽略对数函数的定义域导致结果出错

2、没有注意到后面的二次函数过原点，而增加不必要的讨论和计算

知识点

函数零点的判断和求解导数的运算

题型：单选题

分值: 5分

4．若满足约束条件，则的最小值为（）

正确答案

解析

如右图，不等式组表示的可行区域为,当直线过点A时，在轴上截距的最大，求出A点坐标（0,2），代入目标函数，得到

考查方向

本题主要考察了直线的方程和线性规划中的作图能力，以及目标函数的几何意义，难度中等，属高考高频考点

解题思路

先画出不等式表示的可行区域，然后将目标函数变形成，表示斜率为1的直线过可行区域上一点，在轴上截距的最大值

易错点

1、对不等式表示的是直线的哪边部分认识不清

2、对目标函数的几何意义不了解

知识点

其它不等式的解法

题型：单选题

分值: 5分

6．若函数的图像过点，则该函数图像的一条对称轴方程是（）

正确答案

解析

将代入函数得，

得到，

又因为，

所以，再

求对称轴，，

解得，得到D答案

考查方向

本题主要考察三角函数的图像与性质，常结合图像的平移变换，求单调区间等一起出题，属中档题，是高考考察的热点之一

解题思路

将代入函数，求出值，进而根据正弦函数的对称轴列方程求出

易错点

1、正弦值为的点一个周期内有两个，分别为

2、忽略题中给出的、忽略题中给出的的取值范围

知识点

正弦函数的对称性

题型：单选题

分值: 5分

9．名同学参加项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（）

正确答案

解析

首先计算总数，4个人，每个人都可以在3项不同的活动中任选一项，也就是每个人都有3中选择，所以总数是再来计算每项都有人参加的数量，先在4个人里面选3个人，每人参加一项，总数为,剩下的一个人在3项里面任意选一项为,这里需要注意的是，最后那一个人所选的一项里面已经有一个人了，他再选这项的时候，两个人就有一个先后顺序，但是这题中的两个人是没有顺序的，所以要除以,算式为

考查方向

本题主要考察排列组合以及概率的基本运算，在理科试题中排列组合与概率经常结合在一起出题，难度中高档，属高考热点问题

解题思路

首先根据邮筒原理，算出总数，然后来计算每一项至少有一人参加共有多少种，最后计算概率

易错点

1、总数是而不是

2、不会计算每项至少有一人参加的数量

知识点

古典概型的概率

题型：单选题

分值: 5分

11．过点的直线与双曲线的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线的右支上的点到直线的距离恒大于，则双曲线的离心率为取值范围是（）

正确答案

解析

过点且与斜率为正的渐近线平行的直线方程为，与之平行的渐近线方程为，那么两条平行线间的距离为

解得，又因为双曲线离心率大于1，所以选A

考查方向

本题主要考察了双曲线及其渐近线的性质，在高考中常会涉及离心率、弦长、以及参数的取值范围等，难度较大，而且考察频率很高

解题思路

因为双曲线是无限接近于它的渐近线的，所以双曲线到直线的距离恒大于，可以看做渐近线上的点到它的距离恒大于或等于

易错点

不能将曲线到直线的距离转化成直线到直线的距离，导致计算繁琐甚至出错

知识点

双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

15．过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线与抛物线

交于两点，若弦的垂直平分线经过点，则等于_______

正确答案

解析

根据题意可以知道直线AB的斜率，过焦点，于是可以得到直线方程，变形成，然后与抛物线方程联立化简得到，分别设A、B两点坐标为，则，所以得到AB中点坐标为， AB中点与（0,2）连线的斜率为，解得

考查方向

本题主要考察抛物线的定义，以及直线的垂直平分的性质，它常常与弦长、面积、最值等问题结合在一起出题，难度中档，但计算量稍大，要求大家悉心计算。

解题思路

根据题意可以知道直线AB的斜率为1，过点，于是可以得到直线方程，然后与抛物线方程联立，根据韦达定理得到AB中点坐标，然后根据AB中点与（0,2）连线的斜率为-1列出方程，解出

易错点

垂直平分，只注意到了垂直而忽略了中点问题，导致无法计算

题型：填空题

分值: 5分

13．已知，分别是定义域为的奇函数和偶函数，且，则的值为______

正确答案

解析

把（1式）中的换成，得到，再根据奇偶性得到（2式），1式减去2式得到，，所以

考查方向

本题主要考察函数奇偶性的性质，以及函数的求值问题，它常常会结合函数的单调性以及周期性出题，属基础题

解题思路

把中的换成，然后利用奇偶性进行变形，与原式联立，解出，然后再代值即可

易错点

忘记函数奇偶性的定义，导致无法进行变形计算

知识点

函数单调性的性质函数奇偶性的性质函数的值

题型：填空题

分值: 5分

14．公元年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无

限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利

用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这

就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程

序框图，则输出的值为_______

（参考数据：，）

正确答案

解析

第一步：第二步：第三步：，于是输出

考查方向

本题主要考察对程序框图的理解，经常的出题方式有两种，一是根据程序框图计算输出结果，还有一种就是根据计算结果选择判断框应填写的内容

解题思路

根据程序框图的计算顺序一步一步计算，逐步得到结果

易错点

程序框图理解错误，填写了S的输出值

知识点

程序框图

题型：填空题

分值: 5分

16．数列满足，若为等比数列，则的取值范围是_______

正确答案

解析

第一种情况：当时，则，不能构成等比数列；

第二种情况：当时，，在此基础上再来看与的大小当时，，不能构成等比数列；当时，，，，…由此得到后面各项应该都满足，所以能够使得数列为一个公比为2的等比数列，所以得到

考查方向

本题考察了分段函数的定义和等比数列的概念，函数与数列的结合，常常考察函数的周期性，以及递归数列的通项公式的求法，难度中档，属高考热点之一

解题思路

由分段函数可知，若数列为等比数列，则它的公比为2，要使得数列是公比为2的等比数列，则从数列的第二项开始，都应该满足分段函数的2式，也就是

易错点

不能理解分段函数的意思

知识点

等比数列的性质及应用数列与函数的综合

理科数学 热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

理科数学热门试卷