理科数学 成都市2017年高三第二次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.已知是虚数单位,若,则的值是(   )

A-15

B-3

C3

D15

正确答案

B

解析

因为==,所以,.故选B.

考查方向

本题主要考查复数的除法运算,相等复数.常结合复数的基本概念考查.

解题思路

1.求出复数Z;2.利用复数相等,对应求出.

易错点

本题易在展开时出错.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.如图,某组合体的三视图是由边长为2的正方形和直径为2的圆组成,则它的体积为(   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

三视图复原的几何体是由上面是半径为1的球体和下面是棱长为2的正方体组成,所以该组合体的体积为=,故选D.

考查方向

本题主要考查几何体的三视图知识点,常与几何体的体积,表面积知识点结合命题.

解题思路

1.由三视图复原几何体;2.计算出各个部分的体积,求和.

易错点

本题求球体的体积时易把直径为2当作半径为2.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.如图,圆锥的高,底面⊙O的直径 C是圆上一点,且DAC的中点,则直线OC和平面所成角的正弦值为(   )

A

B.

C

D

正确答案

C

解析

因为

内的两条相交直线,所以所以平面在平面中,过连结,则上的射影,所以是直线和平面所成的角.

考查方向

本题主要考查了求线面角问题,为高考常考题,有时也以四棱锥、三棱柱为载体考查空间角.

解题思路

1先证明平面;2再在平面中,过 证明上的射影,则是直线和平面所成的角;3在,利用面积相等解出;4在中求.

易错点

本题易认为是直线和平面所成的角.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数m的取值范围是(   )

A()

B(,0)∪(0,)

C[]

D()∪(,+)

正确答案

B

解析

由题意可知曲线C1x2+y2﹣2x=0表示一个圆,化为标准方程得:

x﹣1)2+y2=1,所以圆心坐标为(1,0),半径r=1;C2yymx﹣m)=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0,由直线y﹣mx﹣m=0可知:此直线过定点(﹣1,0),在平面直角坐标系中画出图象如图所示:直线y=0和圆交于点(0,0)和(2,0),因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件.当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时,圆心到直线的距离d==r=1,化简得:m2=,解得m,而m=0时,直线方程为y=0,即为x轴,不合题意,则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时,m∈(﹣,0)∪(0,).故选B.

考查方向

本题主要考查直线与圆的位置关系.

解题思路

①由题意可知曲线C1:x2+y2﹣2x=0表示一个圆,曲线C2:y(y﹣mx﹣m)=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0,把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径;②由图象可知此圆与y=0有两交点,由两曲线要有4个交点可知,圆与y﹣mx﹣m=0要有2个交点;③根据直线y﹣mx﹣m=0过定点,求出直线与圆相切时m的值;④根据图象即可写出满足题意的m的范围.

易错点

不知道曲线C2yymx﹣m)=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.三棱锥中,两两垂直,其外接球半径为2,设三棱锥的侧面积为,则的最大值为(     )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

分别为a,b,c,则三棱锥的三条侧棱两两垂直,所以把它扩展为长方体,它也外接于球,体对角线的长为球的直径,所以,故选C.

考查方向

本题主要考查了锥体的外接球问题,为高考常考题,常与几何体与球的切接、球的表面积、体积等知识点交汇命题.

解题思路

1将该三棱锥扩展为长方体;2求体对角线的长;3利用基本不等式求最值.

易错点

具有三条棱两两垂直的棱锥,不知道使用“补形”法解决.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.已知,若,则的值为(     )

A0

B-1

C1

D

正确答案

B

解析

表示以原点为圆心,以2为半径的圆位于x轴上方的半圆的面积,所以,所以

所以,令=0得,令

,所以,故选B

考查方向

本题主要考查了定积分和二项式定理问题.

解题思路

1先由题中条件求a的值;2再将a的值代入后,利用赋值法解决.

易错点

1注意表示以原点为圆心,以2为半径的圆位于x轴上方的半圆的面积;2赋值时注意先求.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪,直到1872年,德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”,才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割,是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足M∪N=Q,M∩N=∅,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素,则称(M,N)为戴金德分割.试判断,对于任一戴金德分割(M,N),下列选项中一定不成立的是(    )

AM没有最大元素,N有一个最小元素

BM没有最大元素,N也没有最小元素

CM有一个最大元素,N有一个最小元素

DM有一个最大元素,N没有最小元素

正确答案

C

解析

A正确,例如M是所有的有理数,N是所有的有理数。B正确,如M是所有负的有理数,零和平方小于2的正有理数,N是所有平方大于2的正有理数。显然M和N的并集是所有的有理数,因为平方等于2的数不是有理数。D正确,如例如M是所有的有理数,N是所有的有理数。C错;M有最大元素a,且N有最小元素b是不可能的,因为这样就有一个有理数不存在于M和N两个集合中,与M和N的并集是所有的有理数矛盾,故选C.

考查方向

本题主要考查集合的新定义问题.

解题思路

根据条件,利用举反例或反证法逐项判断.

易错点

本题易错选一定成立的选项,而题中是选一定不成立的.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合,,则=(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

因为所以故选A.

考查方向

本题主要考查集合的交集运算;解对数不等式.在近几年的各省高考题中出现的频率较高,集合的运算常与不等式,函数的定义域,值域等知识点交汇命题.

解题思路

1求出集合B;2进行集合的交集运算.

易错点

集合易求成 .

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.为了得到函数的图像,只需把函数的图象上所有的点(   )

A向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度

B向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度

C向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度

D向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度

正确答案

C

解析

因为,所以将向左平移1个单位长度,得,再向下平移2个单位长度,得.故选C.

考查方向

本题主要考查对数的运算与化简和函数图像的变换,常在函数图像的基本性质处命题.

解题思路

1.化简函数;2.按左加右减,上加下减逐步变换.

易错点

忘记对数运算的相关公式,不能正确的化简函数解析式.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5. 某程序框图如图所示,若使输出的结果不大于20,则输入的整数的最大值为(   )

A3

B4

C5

D6

正确答案

B

解析

该算法的功能是求的值,因为输出的结果不大于(20),所以,所以判断框的条件的最大值为4.故选B

考查方向

本题主要考查程序框图,常和数列知识结合命题,为新课标全国乙卷必考题.

解题思路

1.利用列举法得出该算法的功能;2.对n赋值,验证得到;3.结合判断框的条件得到的最大值为4.

易错点

本题易错误的认为的最大值为3.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.若存在正实数满足 ,则的取值范围为(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

,从而

,令=,则由,于是,令.当时,函数递增,故,因为,所以,从而,答案选B.

考查方向

本题主要考查了对数的化简与计算以及构造函数法求代数式的范围问题,为高考常考题,常与导数、函数的单调性等知识点交汇命题.

解题思路

1.根据条件解出;2.代换掉后,构造函数;3.利用导数研究函数的单调性与最值.

易错点

1不知道消掉后,构造函数;2构造函数后,新元的范围错误的认为是.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

11.已知函数,其中,从这些函数中任取不同的两个函数,它们在处的切线相互平行的概率是(   )

A

B

C

D以上都不对

正确答案

B

解析

函数, 导数为,可得在处的切线斜率为.则切线相互平行即有斜率相等,既有为:①;②;③;④;⑤组,总数有组,则它们在处的切线相互平行的概率是.故选B

考查方向

本题主要考查导数的几何意义、排列组合与概率.

解题思路

1求导,得切线斜率;2列举法找到和相等得组合;3有排列组合知识计算个数;4按古典概型的概率公式算出概率.

易错点

1不知道利用导数的几何意义得切线斜率;2列举的组合有遗漏.

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

15.动点到点的距离比到轴的距离大2,则动点的轨迹方程为_______.

正确答案

解析

根据条件可知:动点到点的距离与到直线的距离相等,根据抛物线的定义得,当时,动点上;当时,动点也可在轴上,故动点的轨迹方程为

考查方向

本题考查轨迹问题,通常结合圆锥曲线命题.

解题思路

1.定义法求轨迹;2.分类讨论当时的轨迹.

易错点

本题易忽略的情况.

1
题型:填空题
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分值: 5分

13. 在中,边分别是角的对边,若,则       

正确答案

解析

由余弦定理可得,即,所以

考查方向

本题考查正余弦定理.

解题思路

1.由余弦定理角化边;2.整理为展开式的形式.

易错点

本题易在化简时出错.

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.已知点的坐标满足条件,若点为坐标原点,点,那么的最大值等于_________.

正确答案

4

解析

因为=,所以本题就是求目标函数的最大值.结合图像可知当目标函数过A(0,-4)点时取得最大值4.

考查方向

本题考查线性规划问题,为近几年高考必考题,通常结合向量数量积,斜率,距离等知识命题,有时也会出现求参数值的含参问题.

解题思路

1.计算数量积得目标函数;2.画出可行域,由可知越下移越大.

易错点

本题易在画图时出错.

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.在△ABC中,分别为的中点,且,则的最小值为___________.

正确答案

解析

在△ABC中,分别为的中点,且,如图所示,不妨设.

因为,所以

,表示以为圆心,半径等于的圆,故点在此圆上.过点作圆的切线,故当点为切点时,最大,即最大,故最小,则的最小值为故答案为

考查方向

本题考查向量的数量积、轨迹方程、三角函数的恒等变换和解三角形的综合问题,难度较大,综合性强.

解题思路

1建立坐标系,求点坐标;2由,得到点得轨迹方程;3根据余弦函数的单调性可知越大,越小,当直线与圆相切时最大;4在中计算,再利用=,计算求值.

易错点

1不知道建系后将转化为向量垂直问题;2 不能正确计算的值.

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

设数列的前项和,且成等差数列.

17.求数列的通项公式;

18.求数列的前n项和

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由已知,即.      从而.

又∵成等差数列,即

,解得. …………4分

∴数列是首项为2,公比为2的等比数列  故.…………6分

考查方向

本题主要考查等差等比数列的通项公式,数学的计算能力,在近几年的各省高考试题中出现的频率较高,常与等差数列等比数列的通项公式,前项和公式结合处命题.

解题思路

1利用作差法得到公比,由等差中项的性质列方程求出首项;2由等比数列的通项公式求出通项.

易错点

本题易在计算首项时出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由(1)得, ………………1分

∵数列是首项为,公比为的等比数列,

.………………6分

考查方向

本题考查数列的分组求和以及计算能力,在近几年的各省高考试题中出现的频率较高,常与数列的通项,前项和公式,分组求和知识交汇处命题.

解题思路

1求的通项,2分组求和.

易错点

本题易在求等比数列的前项和处出错.

1
题型:简答题
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分值: 12分

为宣传3月5日学雷锋纪念日,成都七中在高一,高二年级中举行学雷锋知识竞赛,每年级出3人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得1分,答错不答都得0分,已知甲队3人每人答对的概率分别为,乙队每人答对的概率都是.设每人回答正确与否相互之间没有影响,用表示甲队总得分.

19.求随机变量的分布列及其数学期望

20. 求甲队和乙队得分之和为4的概率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

的分布列见解析,

解析

的可能取值为0,1,2,3.

 ,

,

,

,

的分布列为

.………………………………7分

考查方向

本题主要考查相互独立事件同时发生的概率问题,常和生产生活实际问题为背景考查分布列与期望.

解题思路

1确定的可能取值;2计算对应概率;3计算.

易错点

本题易在计算概率时出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设“甲队和乙队得分之和为4”事件A,包含“甲队3分且乙队1分”,“甲队2分且乙队2分”,“甲队1分且乙队3分”三个基本事件,则:

.………………5分

考查方向

本题主要考查相互独立事件同时发生的概率求法、分类讨论思想.

解题思路

1对事件分类;2计算每一类的概率,再相加 .

易错点

分类不全.

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知等边△边长为,△中,(如图1所示),现将重合,将△向上折起,使得(如图2所示).

21.若的中点,求证:;

22.在线段上是否存在一点,使角,若存在,求出的长度,若不存在,请说明理由;

23.求三棱锥的外接球的表面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵△为等边三角形,△为等腰三角形,且O为中点

,又    ………………3分

考查方向

本题主要考查平面与平面的垂直关系、空间想象能力、逻辑推理能力,在近几年的各省高考试题中出现的频率较高,常借助三棱锥、四棱柱、简单组合体为载体命题.

解题思路

1由等腰三角形三线合一得 2求证,3得证.

易错点

本题不易想到证,导致题目无法进行

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

存在,当时,角.

解析

(法1)作的延长线于,则平面平面

在Rt中,

中,,在中,

,在,设,作,平面平面就是所成的角。由(※),

中,,要使角,只需使,           当时,角…………9分

(法2)在解法1中接(※),以为坐标原点,以直线分别为轴,轴的正方向,以过与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系

又平面的一个法向量为,要使

角,只需使

只需使,即

(法3)将原图补形成正方体(如右图所示),

再计算

考查方向

本题主要考查线面角的逆向问题、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.

解题思路

1 法一:先作线面角的平面角,然后设,并求解相关线段长度,建立方程求解;2法二:以D点为原点建立平面直角坐标系,利用线面角的夹角公式建立方程求解;3法三:补成正方体,利用几何法求解.

易错点

方法一不易想到作的延长线于,导致题目无法进行;方法二建系的位置易选错;方法三的补形法应以互相垂直的线为棱.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

将原图补形成正方体,则外接球的半径表面积: ……3分

考查方向

本题主要考查三棱锥的外接球问题,常和球的表面积体积计算结合命题.

解题思路

1.补成正方体;2.求正方体的体对角线长度的一半;3.利用球的表面积公式得解.

易错点

本题不易想到补形法,导致题目无法进行

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知圆将圆按伸缩变换:后得到曲线

24.求的方程;

25.过直线上的点M作圆的两条切线,设切点分别是AB,若直线AB交于C,D两点,求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

按伸缩变换:得: 则……3分

考查方向

本题主要考查图形的变换问题.

解题思路

1.代换;2计算化简.

易错点

本题易在计算化简时出现错误.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设直线上任意一点M的坐标是切点A,B坐标分别是则经过A点的切线斜率是,方程是,经过B点的切线方程是,又两条切线AM,BM相交于

所以经过AB两点的直线的方程是…………2分

①当,

      …………………4分

②当时,联立,整理得CD坐标分别为      

                

,即综上所述,的取值范围是. ………………9分

考查方向

本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,函数导数等知识点的综合运用能力,数学计算能力,逻辑推理能力,分类讨论的数学思想,在近几年的各省高考试题中出现的频率非常高,常与直线方程,斜率,圆锥曲线基础知识,一元二次方程跟与系数的关系,直线与圆锥曲线的位置关系等知识交汇处命题.

解题思路

1.求出直线的方程;2.分类讨论:当时,代入计算即可;当时,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理和弦长公式求;3.构造的比值的倒数函数,用换元法研究函数的值域;4.将值域倒数结合两种分类可得的范围.

易错点

1.本题易丢掉=0的情况;2.不知道用换元法研究函数的最值.

1
题型:简答题
|
分值: 10分

选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:,又过点的直线的参数方程为(为参数),与曲线C分别交于M,N.

29.写出曲线C的平面直角坐标系方程和的普通方程;

30.若成等比数列,求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

C:y2=2ax(a>0);:x-y-2=0.

解析

曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a>0);

直线的普通方程为x-y-2=0. …………4分

考查方向

本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化.

解题思路

1极坐标方程化归为直角坐标方程,2参数方程化归为普通方程即可.

易错点

本题易在转化直角坐标方程时出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

a=1

解析

将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得

t2-2(4+a) t+8(4+a)=0  (*)      △=8a(4+a)>0.

设点M,N分别对应参数t1t2,恰为上述方程的根.

则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1t2|.

由题设得(t1t2)2=|t1t2|,即(t1t2)2-4t1t2=|t1t2|.

由(*)得t1t2=2(4+a)t1t2=8(4+a)>0,则有

(4+a)2-5(4+a)=0,得a=1,或a=-4.因为a>0,所以a=1. …………6分

考查方向

本题主要考查直线被曲线所截得的弦长,化归与转化的数学思想,划归与转化的数学思想,在近几年的各省高考试题中出现的频率非常高,常与极坐标方程,直角坐标方程,圆锥曲线,圆等知识交汇处命题.

解题思路

1 联立后得到关于t的方程;2利用t的几何意义得|MN|=|t1t2|;3.平方法计算|t1t2|的值.

易错点

本题中的|MN|=|t1t2|,不是|MN|=|t1+t2|.

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知函数单调递增,其中

26.求的值;

27.若,当时,试比较的大小关系(其中的导函数),请写出详细的推理过程;

28.当时,恒成立,求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题:恒成立    ∴恒成立

     ∴      ∵        ∴ ……2分

考查方向

本题主要考查导数,函数的单调性,三角函数.

解题思路

1.求函数的导数;2.利用恒成立求值.

易错点

本题易在求导处出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

     ∴

    令,        ∴    ∴单调递增    则

   令  显然单调递减

使得单调增,在单调递减

         ∴

  又两个函数的最小值不同时取得;

         即:…………5分

考查方向

本题主要考查导数,函数的单调性,计算能力,在近几年的各省高考试题中出现的频率非常高,常与导数的基础知识,不等式等知识交汇处命题.

解题思路

1求函数的解析式和导数,2作差后构造函数;3分别研究两个函数的最小值.

易错点

1作差后分段研究函数的最小值;2计算时出错;3 两个函数的最小值不同时取得.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

恒成立,    即:恒成立,

,则

由(1)得: 即,即:

即:   ∴      ∴

时,∵  ∴

单调增,∴  满足

  由对角函数性质

单调增,∴  满足

时,∵由函数的单调性知

单调增,∴  满足

时,  则单调递增,又

 则存在唯一零点,则单减,在单增,∴ 当时,

单减,  ∴   不合题意

综上:…………5分

考查方向

本题主要考查导数,函数的单调性.在近几年的各省高考试题中出现的频率非常高,常与不等式等知识交汇处命题.

解题思路

1利用(1)的结论,将原函数转化为易于研究的函数;2对分类讨论,后验证是否成立;3结合分类讨论得结果.

易错点

不能由(1)推导,从而将原函数转化为易于研究的函数类型,导致解题无法进行.

1
题型:简答题
|
分值: 10分

选修4-5:不等式选讲

设函数=

31.证明:

32.若,求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

证明:由绝对值不等式的几何意义可知:,当且仅当取等,所以.…………4分

考查方向

本题主要考查绝对值不等式的最值和基本不等式.在近几年的各省高考试题中出现的频率较高,常与函数的单调性,绝对值不等式的几何意义,性质定理等知识交汇处命题.

解题思路

1利用绝对值不等式的几何意义消去;2根据基本不等式得

易错点

本题不易想到利用绝对值不等式的几何意义消去.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为,所以

,解得:.…………5分

考查方向

本题主要考查绝对值不等式的解法,在近几年的各省高考试题中出现的频率较高,常与不等式的解法,解集,参数等知识交汇处命题.

解题思路

1原不等式等价于不等式;2解含有一个绝对值的不等式,按“小于取中间,大于取两边”的方法求解.

易错点

1本题易在解关于的分式不等式组时出错;2注意到条件中有.

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