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2.抛物线的准线方程是( )
正确答案
解析
由抛物线的标准方程知道,所以准线方程为
考查方向
解题思路
先求出的值,再求出准线方程。
易错点
①焦点的位置要看清楚②要求正确。
4.执行如图所示的程序框图,输出的值为( )
正确答案
解析
;
;
;
否,所以输出8
考查方向
解题思路
逐步满足循环结构中的,直到不符合就输出
值。
易错点
循环过程中注意按照流程线进行。
5.已知,且
,则( )
正确答案
解析
正切函数在上递增故A选项不对;对B选项可以考虑函数
求导后可以看到其不单调,故B不对;
时
不一定大于零故C不对;因为函数
在R上单调递增所以
时
成立。
考查方向
解题思路
逐个选项构造函数
易错点
①不能熟练构造函数②注意各种方法的应用
7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )
正确答案
解析
本题先从俯视图入手容易解决。
考查方向
解题思路
俯视图结合主视图即可。
易错点
空间想象能力不足。
8.数列表示第
天午时某种细菌的数量.细菌在理想条件下第
天的日增长率
(
).当这种细菌在实际条件下生长时,其日增长率
会发生变化.下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量
随时间的变化规律.那么,对这种细菌在实际条件下日增长率
的规律描述正确的是()
正确答案
解析
由图像可知,第一天到第六天,实际情况与理想情况重合,为定值,而实际情况在第10天后增长率是降低的,并且降低的速度是变小的故选B
考查方向
解题思路
从第一天到第六天至关重要,以及第10天后增长率的变化。
易错点
分析不到位,把握不到关键信息。
1.已知集合,
,则
( )
正确答案
解析
由A得与
取交集可得答案
考查方向
解题思路
先求A集合再进行交集
易错点
计算错误。
3.“”是“直线
与圆
相切”的 ( )
正确答案
解析
充分性:时圆心到直线
的距离为3,等于半径,则
时直线与圆相切;必要性:
与圆
相切可得
,所以“
”是“直线
与圆
相切”的充分不必要条件
考查方向
解题思路
从充分性和必要性两个方面分别考虑,注意直线与圆相切时大多采用圆心到直线的距离等于半径。
易错点
①充分性和必要性的正确理解②熟练解决圆和直线相切的问题。
6.已知是定义在
上的奇函数,且在
上是增函数,则
的解集为( )
正确答案
解析
已知是定义在
上的奇函数,所以
,则有
,当
时可得
的解集为
。
考查方向
解题思路
由是定义在
上的奇函数得出
至关重要。
易错点
忽略。
9.若复数是纯虚数,则实数
.
正确答案
解析
,则有
,所以
考查方向
解题思路
化简计算,根据纯虚数的含义求出值。
易错点
计算错误。
10.若满足
则
的最大值为 .
正确答案
6
解析
令,化为
,求目标函数
的最大值,只需要求直线
在
轴截距的最大值,容易得到最优解为(2,2)时目标函数取得最大值6
考查方向
解题思路
先画出不等式组所表示的目标区域,再通过平移即可得到取最大值时的最优解,进而求出其最大值。
易错点
不等式组所表示的区域要找准以及平移目标函数要准确。
12.在△中,若
,
,
,则
; 若
,则
_______.
正确答案
解析
由余弦定理可知,由等面积知
,知
。
考查方向
解题思路
第一问直接用余弦定理即可,第二问注意等面积法应用。
易错点
①余弦定理正确应用②观察到等面积法的简洁方便。
14.关于的方程
的实根个数记为
.若
,则
=_______;若
,存在
使得
成立,则
的取值范围是_________.
正确答案
解析
若,则函数的值域为R,且函数为单调函数,故方程
只有一个解,故
,
,当
时
恒成立。若存在
使得
成立,则
时,函数的最大值大于2,且对称轴位于
轴右侧,即
且
解得
。
考查方向
解题思路
若,则则函数的值域为R,且函数为单调函数,故方程
只有一个解,故
,若
若存在
使得
成立,则
时,函数的最大值大于2,且对称轴位于
轴右侧,解得答案。
易错点
分析问题的能力,分类讨论的思想。
11.若点到双曲线
的一条渐近线的距离为
,则
_______.
正确答案
解析
因为双曲线,即
到渐近线的距离为
,所以
为双曲线的焦点,所以
,所以
考查方向
解题思路
根据焦点到渐近线的距离为这个结论。
易错点
对这一结论要熟练
13.在△所在平面内一点
,满足
,延长
交
于点
,若
,则
_______.
正确答案
解析
,设
,则有
,即
,又因为
,所以
,由题知
,所以
考查方向
解题思路
向量的分解即用基底来表示,转化到已知条件。
易错点
①不会转化②要善于观察做题方向。
已知是等比数列,满足
,
,数列
是首项为
,公差为
的等差数列.
15.求数列和
的通项公式;
16.求数列的前
项和.
正确答案
.
解析
设等比数列的公比为
.
由题意,得,
.
所以.
又数列是首项为
,公差为
的等差数列,
所以.
从而.
考查方向
解题思路
根据等比数列的通项公式即可求得,再根据
为等差数列,由等差数列的通项公式即可解得答案。
易错点
计算要正确
正确答案
解析
由(Ⅰ)知
数列的前
项和为
. ……………9分
数列的前
项和为
. ……………12分
所以,数列的前
项和为
.
考查方向
解题思路
数列由等差数列和等比数列构成,因此采取分组求和即可。
易错点
计算要仔细,化简容易出现错误。
设函数.
22.若为
的极小值,求
的值;
23.若对
恒成立,求
的最大值.
正确答案
解析
的定义域为
.
因为,
所以.
因为为
的极小值,
所以,即
.
所以.
此时,.
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增.
所以在
处取得极小值,
所以.
考查方向
解题思路
求导后根据0是极小值点知,得到
,再进行检验即可。
易错点
容易忽视检验,解题的严密性。
正确答案
1
解析
由(Ⅰ)知当时,
在
上为单调递增函数,
所以,
所以对
恒成立.
因此,当时,
,
对
恒成立.
当时,
,
所以,当时,
,因为
在
上单调递减,
所以.
所以当时,
并非对
恒成立.
综上,的最大值为
.
考查方向
解题思路
分类讨论的思想,借助前面的结果。
易错点
本题要能够找准突破点。
已知椭圆经过点
,离心率为
.
是椭圆
上两点,且直线
的斜率之积为
,
为坐标原点.
24.求椭圆的方程;
25.若射线上的点
满足
,且
与椭圆交于点
,求
的值.
正确答案
解析
由题意得
解得,所以椭圆
的方程为
考查方向
椭圆的标准方程。
解题思路
由题直接能够求得,再根据
,即可求得
易错点
的正确求解。
正确答案
解析
设.
因为点在直线
上且满足
,
所以.
因为三点共线,
所以.
所以,
解得
因为点在椭圆
上,所以
.
所以.
即,
因为在椭圆
上,
所以,
.
因为直线的斜率之积为
,
所以,即
.
所以,解得
.
所以.
考查方向
解题思路
关系的应用,
易错点
运算要仔细。
已知函数部分图象如图所示.
17.求的最小正周期及图中
的值;
18.求在区间
上的最大值和最小值.
正确答案
,
解析
由题意,
. ………2分
因为点在
图象上,
所以.
又因为,
所以. …………4分
所以.
考查方向
解题思路
先求周期再根据特殊点计算
易错点
①公式的正确应用②值的求法。
正确答案
最大值2,最小值
解析
由(Ⅰ)知,
因为,所以
.
当,即
时,
取得最大值
;
当,即
时,
取得最小值
.
考查方向
解题思路
由的范围求得
的范围然后根据正弦函数的图像求得最大最小值。
易错点
容易忽视已知的范围。
如图,在四棱锥中,底面
为矩形,平面
平面
,
,
,
,
为
中点.
19.求证:∥平面
;
20.求二面角的余弦值;
21.在棱上是否存在点
,使得
?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
正确答案
∥平面
.
解析
设与
的交点为
,连结
.
因为为矩形,所以
为
的中点.
在△中,由已知
为
中点,
所以∥
.
又平面
,
平面
,
所以∥平面
.
考查方向
解题思路
关键找到∥
.
易错点
定理的完整表述。
正确答案
解析
取中点
,连结
.
因为△是等腰三角形,
为
的中点,
所以.
又因为平面平面
,
平面
,
所以平面
.
取中点
,连结
,
由题设知四边形为矩形,
所以.
所以.…………………1分
如图建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
.
,
.
设平面的法向量为
,
则,即
令,则
,
.
所以.
平面的法向量为
.
设的夹角为
,所以
.
由图可知二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为
.
考查方向
解题思路
建立坐标系用向量的方法
易错点
①向量法运用中坐标的正确求解②法向量求法
正确答案
解析
设是棱
上一点,则存在
使得
.
因此点,
,
.
由,即
.
因为,所以在棱
上存在点
,使得
.
此时,.
考查方向
解题思路
假设存在,然后由即可求得
.
易错点
计算易错。
已知集合.
,
,
,其中
.
26.若,写出
中与
正交的所有元素;
27.令.若
,证明:
为偶数;
28.若,且
中任意两个元素均正交,分别求出
时,
中最多可以有多少个元素.
正确答案
,
,
,
,
,
.
解析
中所有与
正交的元素为
,
,
,
,
,
.
考查方向
解题思路
直接列出即可。
易错点
列不完全。
正确答案
为偶数;
解析
对于,存在
,
;
使得.
令,
;当
时
,当
时
.
那么.
所以为偶数.……………………4分
考查方向
解题思路
根据题设直接计算。
易错点
对待陌生问题的应变能力。
正确答案
时,
中最多可以有
个元素;
时,
中最多可以有
个元素.
解析
8个,2个
时,不妨设
,
.
在考虑时,共有四种互相正交的情况即:
,分别与
搭配,可形成8种情况.
所以时,
中最多可以有
个元素.………………………10分
时,
不妨设,
,则
与
正交.
令,
,
且它们互相正交.
设 相应位置数字都相同的共有
个,除去这
列外
相应位置数字都相同的共有
个,
相应位置数字都相同的共有
个.
则.
所以,同理
.
可得.
由于,可得
,
矛盾.
所以任意三个元素都不正交.
综上,时,
中最多可以有
个元素. ………13分
考查方向
解题思路
分类讨论的思想的应用。
易错点
分类讨论不完整。