理科数学 热门试卷

∵，∴，

∴，∴，∴，∴，∴.

∵，，∴，∴，∴.

∴，即的面积的.

方法一：在图1所示的中，设，则.

由，知，为等腰直角三角形，所以.

由折起前知，折起后(如图2)，，，且.

所以平面.又，所以.

于是，

当且仅当，即时，等号成立，故当，即时，三棱锥的体积最大．

方法二：同方法一，得.

令，由，且，解得.

当时，；当时，.

所以当时，取得最大值．故当时，三棱锥的体积最大．

方法一：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，.

于是可得，，

且．设，则，因为等价于，

解得，．所以当 (即是的靠近点的一个四等分点)时，.

设平面的一个法向量为，由，及，得

可取．设与平面所成角的大小为，

则由，可得，即.

故与平面所成角的大小为.

方法二：由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，

如图b，取的中点，连结，则．

由（Ⅰ）知平面，所以平面.

如图c，延长至点使得，连，则四边形为正方形，

所以.取的中点，连结，又为的中点，则，

所以.因为平面，又平面，所以.

又，所以平面.又平面，所以.

因为当且仅当，而点是唯一的，所以点是唯一的．

即当 (即是的靠近点的一个四等分点)时，.

连结，由计算得，

所以与是两个共底边的全等的等腰三角形，

如图d所示，取的中点，连接，

则平面.在平面中，过点作于，

则平面，故是与平面所成的角．

在中，易得，所以是正三角形，

故，故与平面所成角的大小为.

设代入已知可得，轨迹C的轨迹方程为．

设，则

圆的方程为．

令，则．

不妨设，．

①时，；

②时，当且仅当时等号成立．

综上，的最大值为．

记第名工人选择的项目属于基础设施类，民生类，产业建设类分别为事件

.

由题意知均相互独立.

则

3人选择的项目所属类别互异的概率：

任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：

由.

的分布列为

其数学期望为

因为，由已知，所以，得.所以，，当时，，为增函数，当时，，为减函数.所以是函数的极大值点，又在上存在极值，所以，

即，故实数的取值范围是.

等价于.

令，则，

再令，则，

因为，所以，所以在上是增函数，

所以，所以，所以在上是增函数，

所以时，，故.

令，则，

因为，所以，所以，所以在上是减函数.

所以时，，

所以，即.