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1.设集合,则
正确答案
解析
因为,所以
;所以选A选项.
考查方向
解题思路
1)解不等式,化简集合A;
2)取交集.
易错点
本题易在解不等式时出现错误,易忽视“三个二次”的应用.
知识点
2.已知i是虚数单位,复数
,则
的实部与虚部之和是
正确答案
解析
由题意,得,则
的实部为2,虚部为1,实部与虚部之和是3;所以选B选项.
考查方向
解题思路
1)求出复数的共轭复数和;
2)求出的实部和虚部,进行求和.
易错点
本题易在求复数的虚部时出现错误,易忽视“的虚部是
,而不是
”.
知识点
8.设m,n是两条不同的直线,,
是两个不同的平面,则下列叙述正确的是
正确答案
解析
若α∥β,m∥α,n∥β,则可能平行、异面或相交,故A错误;若α⊥β,m⊥α,n∥β,则
可能平行、异面或相交,故B错误;若m⊥α,n
β,m⊥n,则
可能垂直、平行或不垂直相交,故D错误;所以选C选项.
考查方向
解题思路
1)分析判断各选项的正确性;
2)得出结论.
易错点
本题易在判断选项B出现错误,易忽视判断线线垂直的充分条件.
知识点
9. 等腰直角三角形ABC中,A=90°,A,B在双曲线E的同一支上,且线段AB通过双曲线的一个焦点,C为双曲线E的另一个焦点,则该双曲线的离心率为
正确答案
解析
设,由等腰三角形和双曲线的定义,得
,
,
,则
,则
,在
中,
,则
,即
,即
,则该双曲线的离心率为
;所以选B选项.
考查方向
解题思路
1)利用等腰三角形和双曲线的定义得到相关边的长度;
2)利用勾股定理和离心率公式进行求解.
易错点
本题易在选择双曲线的定义出现错误,易忽视双曲线的定义的灵活运用.
知识点
3.下列命题中,真命题是
正确答案
解析
因为恒成立,即选项A错误;当
时,
不成立,即选项B错误;因为函数
在
,
上单调递增,但单调区间不能加并集,即选项C错误;“被2整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个被2整除的整数不是偶数”,即选项D正确;所以选D选项.
考查方向
解题思路
1)分别判断各选项的真假;
2)得出答案.
易错点
本题易在判断选项C时出现错误,易忽视“单调区间之间不能加并集符号”.
知识点
4.已知,
是互相垂直的单位向量,则
正确答案
解析
由题意,得,
,则
;所以选B选项.
考查方向
解题思路
1)由题意得到,
;
2)利用平面向量的的模长公式进行求解.
易错点
本题易在求的模时出现错误,易忽视模长公式的应用.
知识点
5.右图是计算的值的一个程序框图,其中判断框内可以填的是
正确答案
解析
因为,所以当
时结束循环;所以选C选项.
考查方向
解题思路
1)将所给式子改写成;
2)判定结束循环的条件.
易错点
本题易在“判定什么时候结束循环”时出现错误,易忽视“选项中含有等号”.
知识点
6.已知函数,
,下列结论正确的是
正确答案
解析
由题意,得,
,则
的最大值均为
,故选项A错误;当
时,
,此时
单调递减,即选项B错误;
的对称轴方程为
,
的对称轴方程为
,即选项C错误;将函数
的图象上各点的横坐标缩短为原来的
,得到
,再向右平移
个单位,得到
的图象,即选项D正确;所以选D选项.
考查方向
解题思路
1)先利用二倍角公式和配角公式化简函数解析式;
2)利用三角函数的图象和性质进行求解.
易错点
本题易在判断选项C时出现错误,易忽视“与
的不同”.
知识点
7. 将A,B,C 共3本不同的书放到6个书柜里面,若每个书柜最多放2本,则不同的放法种数是
正确答案
解析
将共3本不同的书放到6个书柜里面,共有
种不同放法,其中3本书同时放到一个书柜里面有6种不同放法,所以每个书柜最多放2本的不同放法有
种;所以选A选项.
考查方向
解题思路
1)先求出将共3本不同的书放到6个书柜里面的不同放法;
2)求出3本书同时放到一个书柜里面的不同放法;
3)作差求解.
易错点
本题易在处理最多2本时出现错误,易忽视“正难则反”思想的应用.
知识点
10.已知函数
,
,设函数
,且函数
的零点都在区间
内,则
的最小值为
正确答案
解析
由题意,得,则
在
上单调递增,在
上单调递减,且
,
,即函数
的一个零点
,又
,因为
,则
,所以
,即函数
的一个零点
,则
的零点
;易知函数
为偶函数,且
,则
,即
在
上单调递增,且
,即在
存在函数
的一个零点,则
的零点
,则
的零点
;则
的零点
,因为
,则
,即
;所以选A选项.
考查方向
解题思路
1)求导,判断两函数的单调性;
2)利用零点存在定理得到两函数的零点所在区间;
3)求函数的零点所在区间.
易错点
本题易在判断两函数的单调性时出现错误,易忽视“利用导数的符号确定函数的单调性”.
知识点
11.的展开式中,所有项的系数和为 .(用数字作答)
正确答案
2
解析
设,令
,则
,即所有项的系数和为2.
考查方向
解题思路
1)写出二项展开式;
2)利用赋值法进行求解.
易错点
本题易在求所有项的系数和时出现错误,易忽视“二项式系数和各项系数”的区别.
知识点
12.设实数满足条件
则目标函数
的最大值为 .
正确答案
8
解析
将化成
,作出可行域和目标函数基准直线
,当直线
向右上方平移时,直线
在
轴的截距
增大,由图象,得当直线
过点
时,
取到最大值,联立
,得
,即
的最大值为
.
。
考查方向
解题思路
1)作可行域和目标函数基准直线;
2)平移直线确定最优解;
3)联立方程,求最优解.
易错点
本题易在作可行域时出现错误,易忽视“平面区域的判定方法”.
知识点
13.某几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视图均为全等的几何图形(下边是边长为2的正方形,上边为半圆),俯视图为等腰直角三角形(直角边的长为2)及其外接圆,则该几何体的体积是 .
正确答案
解析
由三视图,得该几何体是由一个三棱柱和一个半球组合而成,其中三棱柱的底面是腰为2等腰三角形,高为2,则三棱柱的体积为,半球的直径为等腰三角形的斜边,即
,
,该半球的体积为
,所以该几何体的体积
.
考查方向
解题思路
1)分析几何体的组成;
2)求各几何体的体积;
3)求和进行求解.
易错点
本题易在判断几何体的形状时出现错误,易忽视“三棱柱的底面三角形就是半球大圆的内接三角形”.
知识点
14.若抛物线C:上只有两点到直线l:
的距离为1,则实数k的取值范围是 .
正确答案
或
或
解析
直线过定点
,该直线存在斜率,抛物线
的顶点为
,抛物线的顶点到直线
的距离一定小于1,所以抛物线上一定存在点到直线
的距离
,设
与直线
平行,令
与抛物线相切,联立
,得
,所以
,当
时,
,满足题意;当
时,
,直线
,令直线
与
的距离为1,即
,解得
,所以满足条件的
,即实数k的取值范围是
或
或
.
考查方向
解题思路
1)根据直线过定点和抛物线的方程判定位置关系;
2)设出与直线平行且与抛物线相切的直线;
3)利用点到直线的距离进行求解.
易错点
本题易在讨论时出现错误,易忽视“
时的特殊情形”.
知识点
15.已知函数,给出下面四个命题:
① 函数的图象一定关于某条直线对称;
② 函数在R上是周期
函数;
③ 函数的最大值为
;
④ 对任意两个不相等的实数,都有
成立.
其中所有真命题的序号是 .
正确答案
①③
解析
因为,
且,
所以函数的图象关于直线
对称,故①正确;当
时,
,当
时,
,即函数
的最大值为
,且不可能为周期函数,故②错误,③正确;因为
是函数的最大值,所以函数
在
上为减函数,则
,故④错误.
考查方向
解题思路
1)利用得到函数关于直线
对称;
2)由对称性判定其他性质.
易错点
本题易在判定函数的对称性时出现错误,易忽视“若,则函数
的图象关于
对称”的应用.
知识点
已知首项不为0的等差数列
中,前n项和为
,满足
,且
成等比数列.
20.求和
;
21.记,数列
的前项和
.若
对任意
恒成立,求实数m的取值范围.
正确答案
(Ⅰ);
解析
试题分析:本题属于数列的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)按照解题步骤进行求解,(2)要注意对进行裂项;(3)要注意利用数列的单调性.
(Ⅰ)设公差为d,
则即
由①得,代入②式得
,
由,得
,所以
,
所以,则
.
考查方向
解题思路
本题考查等差数列、等比数列、裂项抵消法求和,解题步骤如下:
1)设出公差,利用等比中项求公差;
2)利用等差数列的公式得到通项和前项和;
3)利用裂项抵消法进行求解;
4)利用单调性求解。
易错点
1)不能准确裂项;
2)注意数列的单调性的应用.
正确答案
(Ⅱ).
解析
试题分析:本题属于数列的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)按照解题步骤进行求解,(2)要注意对进行裂项;(3)要注意利用数列的单调性.
(Ⅱ)可得,
所以
由于为随n的增大而增大,可得
,
因为恒成立,所以
解得
.
所以实数m的取值范围是.
考查方向
解题思路
本题考查等差数列、等比数列、裂项抵消法求和,解题步骤如下:
1)设出公差,利用等比中项求公差;
2)利用等差数列的公式得到通项和前项和;
3)利用裂项抵消法进行求解;
4)利用单调性求解。
易错点
1)不能准确裂项;
2)注意数列的单调性的应用.
如图,在三棱锥P-AMC中,AC=AM=PM,AM⊥AC,PM⊥平面AMC,B,D分别为CM,AC的中点.
22.在PD上确定一点N,使得直线PM∥平面NAB,并说明理由;
23.在(Ⅰ)的条件下,求平面NAB和平面PAC所成锐二面角α的大小.
正确答案
(Ⅰ)N为PD靠近D的一个三等分点;
解析
试题分析:本题属于立体几何的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)按照解题步骤求解,(2)要注意空间直角坐标系的建立;
(Ⅰ)N为PD靠近D的三等分点.理由如下:
取PC的中点E,连接BE,
由于B,E分别为CM,PC的中点,所以BE∥PM,
又BE平面ABE,PM
平面ABE,
所以直线PM∥平面ABE,
连接AE,交PD于N点,即为满足条件的点.
由于AE,PD分别是的边PC,AC上的中线,
所以AE和PD的交点N为的重心,
故N为PD靠近D的一个三等分点.
考查方向
解题思路
本题考查线面平行的判定、利用空间向量求二面角,解题步骤如下:
1)取中点,利用三角形的中位线证明线线平行;
2)连接AE,交PD于N点,即为满足条件的点,得到所求点的位置;
3)建立空间直角坐标系;
4)利用空间向量求二面角。
易错点
1、建立空间直角坐标系前没有证明垂直关系.
正确答案
(Ⅱ).
解析
试题分析:本题属于立体几何的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)按照解题步骤求解,(2)要注意空间直角坐标系的建立;
(Ⅱ)因为AC=AM,AM⊥AC,所以∠AMC=45°,在平面AMC内作My⊥MC于M,可知MC,My,MP两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,设AC=AM=PM=2,则MC=
,
所以C(,0,0),P(0,0,2),A(
,
,0),
即,
,
因为PM⊥平面AMC,由(Ⅰ)知BE∥PM,
所以BE⊥平面AMC,则CM⊥BE.
又AC=AM,B为CM的中点,则CM⊥AB,
所以CM⊥平面NAB,
所以可取平面NAB的一个法向量为,
设平面PAC的法向量,
由得
取x=1,则y=1,z=
,
可得平面PAC的一个法向量,
由,得
,
所以平面NAB和平面PAC所成锐二面角α的大小为.
考查方向
解题思路
本题考查线面平行的判定、利用空间向量求二面角,解题步骤如下:
1)取中点,利用三角形的中位线证明线线平行;
2)连接AE,交PD于N点,即为满足条件的点,得到所求点的位置;
3)建立空间直角坐标系;
4)利用空间向量求二面角。
易错点
1、建立空间直角坐标系前没有证明垂直关系.
已知椭圆E:的四个顶点构成一个面积为
的四边形,该四边形的一个内角为60°.
24.求椭圆的方程;
25.直线l与椭圆E相交于A,B两个不同的点,线段AB的中点为C,O为坐标原点,若△OAB面积为,求
的最大值.
正确答案
(Ⅰ);
解析
试题分析:本题属于圆锥曲线的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)按照解题步骤求解,(2)要注意讨论直线不存在斜率的特殊情况;
(Ⅰ)由题解得
,
所以椭圆E的方程为.
考查方向
解题思路
本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系,解题步骤如下:
1)利用椭圆的内接四边形和椭圆的几何元素间的关系进行求解;
2)联立直线与椭圆的方程,得到关于的一元二次方程;
3)利用判别式、根与系数的关系和弦长公式求弦长;
4)利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式求面积表达式;
5)利用基本不等式求最值。
易错点
1)忽视椭圆顶点的对称性;
2)忽视基本不等式求最值时的取等条件.
正确答案
(Ⅱ)2.
解析
试题分析:本题属于圆锥曲线的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)按照解题步骤求解,(2)要注意讨论直线不存在斜率的特殊情况;
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),
(1)当l的斜率不存在时,A,B两点关于x轴对称,
由△OAB面积,可得
,
(2)当l的斜率存在时,设直线l:,
联立方程组消去y,得
,
由得
,
则,
,(*)
,
原点O到直线l的距离,
所以△OAB的面积,
整理得,即
所以,即
,满足
,
结合(*)得,
,
则C,所以
,
,
所以,
当且仅当,即m=±1时,等号成立,
故,综上
的最大值为2.
考查方向
解题思路
本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系,解题步骤如下:
1)利用椭圆的内接四边形和椭圆的几何元素间的关系进行求解;
2)联立直线与椭圆的方程,得到关于的一元二次方程;
3)利用判别式、根与系数的关系和弦长公式求弦长;
4)利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式求面积表达式;
5)利用基本不等式求最值。
易错点
1)忽视椭圆顶点的对称性;
2)忽视基本不等式求最值时的取等条件.
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量和向量
为共线向量.
16.求角的大小;
17.若a=6,求△ABC面积的最大值.
正确答案
(Ⅰ);
解析
试题分析:本题属于三角函数的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)直接按步骤来求解,(2)要注意注明基本不等式等号成立的条件.
(Ⅰ)因为向量和向量
为共线向量,
所以,
由正弦定理得,
即.
由于B是三角形的内角,,
则,所以
.
考查方向
解题思路
本题考查平面向量共线的坐标表示、解三角形,解题步骤如下:
1)利用平面向量共线的坐标表示得到三角形的边角关系;
2)利用正弦定理将边角关系转化为角角关系,利用三角形的内角和定理进行求解;
3)利用余弦定理得到边边关系;
4)利用基本不等式和三角形的面积公式进行求解。
易错点
1)易混淆平面向量共线的坐标表示与垂直的坐标表示;
2)利用基本不等式求最值时,忽视注明等号成立的条件.
正确答案
(Ⅱ).
解析
试题分析:本题属于三角函数的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)直接按步骤来求解,(2)要注意注明基本不等式等号成立的条件.
(Ⅱ)因为,
所以,
且仅当b=c时取得等号,所以,
故,
所以当b=c时,面积的最大值为
.
考查方向
解题思路
本题考查平面向量共线的坐标表示、解三角形,解题步骤如下:
1)利用平面向量共线的坐标表示得到三角形的边角关系;
2)利用正弦定理将边角关系转化为角角关系,利用三角形的内角和定理进行求解;
3)利用余弦定理得到边边关系;
4)利用基本不等式和三角形的面积公式进行求解。
易错点
1)易混淆平面向量共线的坐标表示与垂直的坐标表示;
2)利用基本不等式求最值时,忽视注明等号成立的条件.
人的体重是人的身体素质的重要指标之一.某校抽取了高二的部分学生,测出他们的体重(公斤),体重在40公斤至65公斤之间,按体重进行如下分组:第1组[40,45),第2组[45,50),第3组[50,55),第4组[55,60),第5组[60,65],并制成如图所示的频率分布直方图,已知第1组与第3组的频率之比为1:3,第3组的频数为90.
18.求该校抽取的学生总数以及第2组的频率;
19.用这些样本数据估计全市高二学生(学生数众多)的体重.若从全市高二学生中任选5人,设X表示这5人中体重不低于55公斤的人数,求X的分布列和数学期望.
正确答案
(Ⅰ)0.25;
解析
试题分析:本题属于概率的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)按解题步骤求解,(2)要准确判定该变量服从二项分布.
(Ⅰ)设该校抽查的学生总人数为n,第2组、第3组的频率分别为,
,
则,所以
,
由,解得
,
所以该校抽查的学生总人数为240人,从左到右第2组的频率为0.25.
考查方向
解题思路
本题考查离散型随机变量的分布列和期望,解题步骤如下:
1)利用频率分布直方图得到频率和频数;
2)判定该变量服从二项分布;
3)利用二项分布的分布列和期望公式进行求解.
易错点
1)频率直方图中的纵坐标为,而不是频率;
2)不能准确判定该变量服从二项分布.
正确答案
(Ⅱ)分布列略,.
解析
试题分析:本题属于概率的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)按解题步骤求解,(2)要准确判定该变量服从二项分布.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:体重不低于55公斤的学生的概率为
,
X服从二项分布,
,k=0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5,····································· 9分
所以随机变量X的分布列为:
则.
考查方向
解题思路
本题考查离散型随机变量的分布列和期望,解题步骤如下:
1)利用频率分布直方图得到频率和频数;
2)判定该变量服从二项分布;
3)利用二项分布的分布列和期望公式进行求解.
易错点
1)频率直方图中的纵坐标为,而不是频率;
2)不能准确判定该变量服从二项分布.
已知函数.
26.若函数在x=0处的切线也是函数
图象的一条切线,求实数a的值;
27.若函数的图象恒在直线
的下方,求实数a的取值范围;
28.若,且
,判断
与
的大小关系,并说明理由.
注:题目中e=2.71828…是自然对数的底数.
正确答案
(Ⅰ);
解析
试题分析:本题属于函数与导数的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)按照解题步骤求解,(2)要注意转化思想的应用;
(Ⅰ),
在x=0处切线斜率k=
,切线l:
,
又,设l与
相切时的切点为
,则斜率
,
则切线l的方程又可表示为,
由解之得a=
.
考查方向
解题思路
本题考查导数的几何意义和导数的应用,解题步骤如下:
1)求导,利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程,利用切线相同进行求解;
2)作差,将问题转化为不等式恒成立问题;
3)构造函数,利用导数研究函数的单调性和最值;
4)利用前一步的结论合理赋值进行求解。
易错点
1)不能正确求导;
2)不能合理转化或赋值.
正确答案
(Ⅱ);
解析
试题分析:本题属于函数与导数的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)按照解题步骤求解,(2)要注意转化思想的应用;
a=.
(Ⅱ)由题对于x>0恒成立,即
对于x>0恒成立,
令,则
,由
得
,
则当x>0时,,
由,得
,即实数a的取值范围是
.
考查方向
解题思路
本题考查导数的几何意义和导数的应用,解题步骤如下:
1)求导,利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程,利用切线相同进行求解;
2)作差,将问题转化为不等式恒成立问题;
3)构造函数,利用导数研究函数的单调性和最值;
4)利用前一步的结论合理赋值进行求解。
易错点
1)不能正确求导;
2)不能合理转化或赋值.
正确答案
(Ⅲ)>
.
解析
试题分析:本题属于函数与导数的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)按照解题步骤求解,(2)要注意转化思想的应用;
(Ⅲ)>
.理由如下:
由题,由
得
,
当<x<a时,
,
单调递减,
因为,所以
,即
,
所以, ①
同理, ②
①+②得,
因为,
由得
,即
,
所以,即
,
所以>
.
考查方向
解题思路
本题考查导数的几何意义和导数的应用,解题步骤如下:
1)求导,利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程,利用切线相同进行求解;
2)作差,将问题转化为不等式恒成立问题;
3)构造函数,利用导数研究函数的单调性和最值;
4)利用前一步的结论合理赋值进行求解。
易错点
1)不能正确求导;
2)不能合理转化或赋值.