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理科数学 红桥区2016年高三第一次模拟考试
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理科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
2、填空题
9
10
11
12
13
14
3、简答题
15
16
17
18
19
20
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单选题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1.是虚数单位，计算

A

B

C

D

正确答案

A

解析

，故选A。

考查方向

本题主要考查复数的除法运算，意在考查考生运算求解能力。

解题思路

根据复数的除法运算求解即可。

易错点

求出错。

知识点

复数的基本概念复数代数形式的混合运算
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6.过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂线的延长线与轴的交点坐标为，则此双曲线的离心率是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

设,由题意得到MF垂直于渐近线，所以，化简得，所以，离心率为，故选D。

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质，两条直线的位置关系等知识，意在考查考生数形结合的能力和转化与化归的能力。

解题思路

1.根据直线间的垂直关系求出，进而求出；2.带入离心率的公式求解即可。

易错点

1.不会转化过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线这个条件；2，图形语言的转化有障碍。

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5.直线（为参数）被曲线所截的弦长为（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

消去参数t得到直线的普通方程为，曲线化为直角坐标方程为，其圆心为（2,0）带入直线方程得，所以直线经过圆的圆心，所以所截得的弦长为，故选A。

考查方向

本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程间的相互转化以及直线与圆的位置关系等知识，意在考查考生转化与化归的能力。

解题思路

1.先将直线的参数方程化为普通方程，后利用极坐标与直角坐标互化公式求出其极坐标方程；2.然后发现直线经过圆心，所以求出其弦长为直径。

易错点

1.方程间的相互转化出错；2.注意不到直线经过圆的圆心的条件导致运算麻烦。

知识点

极坐标系和平面直角坐标的区别
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8.如图，以的边为直径的半圆交于点，交于点，于，，,,则长为（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

连接BE，由BC为直径知,设，则，在中，由射影定理得，在中，由,得，所以，解得

，所以，由割线定理得，所以，故选B。

考查方向

本题主要考查直径所对的圆周角是直角、割线定理、射影定理等知识，意在考查考生的分析转化能力与推理论证能力。

解题思路

1.先根据射影定理求出，然后利用勾股定理解出；2.利用割线定理求出。

易错点

1.看不出AB、BE和AE之间的关系；2.不会利用割线定理找关系求解。

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质与圆有关的比例线段
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

，第一步，，第二步，，第三步，，此时执行是，输出k=3，故选C。

考查方向

本题主要考查程序框图的知识，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

根据给出的程序框图循环执行，直到求出跳出循环，此时输出k=3。

易错点

容易循环不完整，导致运行到n=1之后直接求得k=2，导致结果出错。

知识点

程序框图
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7.已知函数，若命题，使是假命题，则实数的取值范围为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

若命题，使是真命题，则：

（1）当时，函数可化为，所以符合题意。

（2）当时，由得，解得所以。

（3）当时，由得，解得，所以,

综上所述，命题，使是真命题则a的取值范围为，所以由题意得实数a的取值范围为，故选C。

考查方向

本题主要考查全特征命题、函数的图像和性质等知识，意在考查考生分类讨论的思想和数形结合的能力。

解题思路

1.先分类求解命题，使是真命题时a的取值范围；2.利用补集的思想求出参数a的取值范围。

易错点

1.不知道的图像的形状或a对于图像形状的影响；2.不会就a的范围讨论的形状。

知识点

命题的真假判断与应用含有逻辑联结词命题的真假判断
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3．若实数满足 则目标函数的最小值为（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由可知该可行域为直线所围成的公共三角形部分，三角形的顶点分别为，目标函数可化为，做直线，将其平移到过A点时z最小，为，故选D。

考查方向

本题主要考查线性规划的有关知识，意在考查考生数形结合的能力。

解题思路

1.先做出约束条件对应的可行域；2.求出可行域端点的坐标，将目标函数化简为斜截式后平移到点过A点时z最小。

易错点

1.可行域画错；2.误认为直线经过（1，0）时，目标函数取到最小值。

知识点

其它不等式的解法
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4.在中，角的对边分别为，满足，则角C的值为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题意及正弦定理得，即，所以，又，所以，故选C。

考查方向

本题主要考查正余弦定理以及已知三角函数值求角等知识，意在考查考生转化与化归的能力和运算求解能力。

解题思路

1.先根据正弦定理将角化为边；2.利用余弦定理求出角C即可。

易错点

1.不知道该将如何变形；2. 对于没有余弦定理的整体认识。

知识点

三角函数中的恒等变换应用
填空题 本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

9.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为分）作为样本（样本容量为）进行统计．按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图，但由于不慎丢失了部分数据．已知得分在的有人，在的有2人，由此推测频率分布直方图中的           ．

正确答案

0.03

解析

由题意得: ,所以

考查方向

本题主要考查统计中的频率分布直方图的知识，意在考查考生对于图像的理解能力。

解题思路

根据频率分布直方图各个小矩形的面积和为1即可求得答案。

易错点

不知道频率分布分布直方图的性质导致出错。

知识点

频率分布直方图
1
题型：填空题
|
分值: 5分

11.已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是           ．

正确答案

解析

先根据题意作出函数的图像，如图所示, 由函数有三个零点知道：函数与有三个不同的交点，由图像知，a的取值范围为。

考查方向

本题主要考查函数图像和性质，函数的零点等知

解题思路

1.根据函数的解析式做出其函数图像；2.利用树形结合的办法求出答案。

易错点

1。不会做函数的图像，2：不会转化题中的条

件：函数有三个零点。

知识点

二次函数的零点问题
1
题型：填空题
|
分值: 5分

12.如图，是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全相同，均为等边三角形与矩形的组合，俯视图为圆，若已知该几何体的表面积为，则           ．

正确答案

解析

由该几何体的三视图可知，几何体上面是一个圆锥，下面是一个圆柱，所以，所以。

考查方向

本题主要考查几何体的三视图，圆柱、圆锥侧面积的求法，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

1.先根据三视图判断出原来的几何体的形状；2.利用求表面积的公式解方程即可。

易错点

1.不会根据三视图还原原来的几何体；2.不会计算该几何体的体积。

知识点

由三视图还原实物图
1
题型：填空题
|
分值: 5分

10.二项式的展开式中常数项是           ．（用数字作答）

正确答案

7

解析

展开式的通项公式为，令，所以展开式的常数项为。

考查方向

本题主要考查利用二项式定理的展开式求特定项等知识，意在考查考生运算求解能力。

解题思路

1.先写出二项展开式的通项并化简；2.令x的系数为0，即可求得答案。

易错点

不会化简展开式的通项

知识点

求二项展开式的指定项或指定项的系数
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13.若曲线与直线（），所围成封闭图形的面积为，则           ．

正确答案

解析

由题意得，所以。

考查方向

本题主要考查定积分的有关知识，意在考查考生的数形结合及其运算求解能力。

解题思路

根据定积分的几何意义直接求得答案。

易错点

1.不会将题中图形的面积转化为定积分求解；2.找不到的原函数是谁。

知识点

定积分的计算利用定积分求曲边梯形的面积
1
题型：填空题
|
分值: 5分

14.如图，在中，已知，,，点为边上一点，满足，点是上一点，满足，则           ．

正确答案

解析

由得.所以,.

考查方向

本题主要考查向量的线性运算、向量的模的运算等知识，意在考查考生的运算求解能力和树形结合的能力。

解题思路

1.先将向量用题中的向量表示出来；2.利用求模公式求出其长度。

易错点

1.在将BE用向量表示时由于运算出错；2.不会将求BE的长度转化为求向量的模的运算。

知识点

向量加减混合运算及其几何意义
简答题（综合题） 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 13分

设是等差数列，是各项都为正数的等比数列（），且，,已知，

19.求数列，的通项公式；

20.设， ,（），试比较与的大小.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），.

解析

（Ⅰ）设等差数列公差为，等比数列公比为

依题意：-------------------------2分

解得：，-----------------------------------------------4分

所以，.

考查方向

本题主要考查等比数列、等差数列基本量的求解，错位相减法求和等知识，意在考查考生运算求解能力和分析问题、解决问题的能力。

解题思路

问利用等差数列和等比数列的基本量求出其通项公式，

易错点

利用错位相减法求和求不对；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（Ⅱ） ，

①

②

①  ②得：，

又

当时，

当时，．

所以．

考查方向

本题主要考查等比数列、等差数列基本量的求解，错位相减法求和等知识，意在考查考生运算求解能力和分析问题、解决问题的能力。

解题思路

先利用错位相减法求和，然后做差比较与的大小。

易错点

不会比较与的大小。

1
题型：简答题
|
分值: 13分

已知函数的最小正周期为

15.确定的值；

16.求函数在区间上的最大值和最小值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）2；

解析

（Ⅰ）

因为最小正周期,

所以．

考查方向

本题主要考查三角函数的化简、求值，三角函数的图像和性质等知识，意在考查考生的转化与划归、运算求解能力。

解题思路

先将函数化简为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期即可求得答案；

易错点

的展开式中中间的符号写错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）最大值为1，最小值为．

解析

（Ⅱ）

在上是增函数，在是减函数，

，，，

故函数在区间上的最大值为1，最小值为．

考查方向

本题主要考查三角函数的化简、求值，三角函数的图像和性质等知识，意在考查考生的转化与划归、运算求解能力。

解题思路

先判断函数的增减性，然后即可求得最大值和最小值。

易错点

直接将端点值带入求解得到值域，没有考虑到函数的单调出错。

1
题型：简答题
|
分值: 13分

袋中装有4个黑球和3个白球，现在甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，每次一人只取1球，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用ξ表示终止时所需要的取球次数．

17.求甲第一次取球就取到白球的概率；

18.求随机变量ξ的概率分布和数学期望．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(Ⅰ)设“甲第一次取到白球”的事件为A，则P(A)＝P(ξ＝1)．

因为事件“ξ＝1”，

所以P(A)＝P(ξ＝1)＝

考查方向

本题主要考查随机变量的分布列、期望等知识，意在考查考生理解题意、分析问题解决问题的能力。

解题思路

问直接利用公式求解即可，

易错点

不能够理解题意或题意理解错误；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

(Ⅱ)由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4，5

考查方向

本题主要考查随机变量的分布列、期望等知识，意在考查考生理解题意、分析问题解决问题的能力。

解题思路

先写出随机变量的取值，然后求其取各个值的概率，进而可以得到分布列和期望。

易错点

随机变量取各个值的概率求错。

1
题型：简答题
|
分值: 13分

如图，已知在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱）中，，，．

21.求证：平面.

22.求与平面所成的角的的正弦值；

23.求二面角的正弦值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略；

解析

以为原点，所在直线分别为

轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

,.

,

又因为

所以，平面.

考查方向

本题主要考查立体几何中的线面的位置关系、直线与平面所成的角、二面角等知识，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

建立空间直角坐标系，写出所需要的各个点的坐标，然后即可证明，

易错点

在建立坐标系时坐标写错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ）设为平面的一个法向量．

由，，

得取，则．

又

设与平面所成的角为，则,

即与平面所成的角的的正弦值．

考查方向

本题主要考查立体几何中的线面的位置关系、直线与平面所成的角、二面角等知识，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

先求平面的一个法向量，然后带入线面角的公式即可；

易错点

记错公式导致结果出错，主要是求正弦余弦弄不明白。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）

解析

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的一个法向量为

设为平面的一个法向量,

由，，，

得取，则．

设与所成角为，则，

所以二面角的正弦值为．

考查方向

本题主要考查立体几何中的线面的位置关系、直线与平面所成的角、二面角等知识，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

分别求平面法向量和平面的法向量,然后带入公式即可。

易错点

无

1
题型：简答题
|
分值: 14分

已知椭圆：（）的离心率，左顶点与右焦点的距离

24.求椭圆的方程；

25.过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点， 为定点，当△的面积最大时，求l的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）

解析

（Ⅰ）由得：，①

由得，②

由①②得：，，，

椭圆的方程为．

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，方程思想的应用，意在考查考生运算求解、分析问题解决问题的能力。

解题思路

根据椭圆的基本信息求解即可，

易错点

不会构造函数

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ）过右焦点斜率为的直线：，

联立方程组：

消元得：

设交点

则，

，

点到直线的距离，

所以△的面积

令，则，

记，单调递增， ，所以最大值为，

此时，，l的方程：．

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，方程思想的应用，意在考查考生运算求解、分析问题解决问题的能力。

解题思路

设所求的直线方程，然后联立消元得到两根之和与之积，后构建△的面积，最后利用基本不等式求出最值。

易错点

不会利用换元求面积的最值。

1
题型：简答题
|
分值: 14分

设函数.

26.若处的切线斜率为，求的值；

27.当时，求的单调区间；

28.若，求证：在时，．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）

解析

（Ⅰ）若处的切线斜率为，

，

得．

考查方向

本题主要考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间等知识，意在考查考生分析问题、解决问题等综合解决问题的能力。

解题思路

根据导数的几何意义求解，

易错点

不清楚；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）的单调减区间为，单调增区间为 ;

解析

(Ⅱ)由

当时，令 解得：

当变化时，随变化情况如下表：

由表可知：在上是单调减函数，在上是单调增函数

所以，当时，的单调减区间为，单调增区间为

考查方向

本题主要考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间等知识，意在考查考生分析问题、解决问题等综合解决问题的能力。

解题思路

先求导，然后判断单调性后即可得到单调区间；

易错点

不清楚；

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(3)略

解析

（Ⅲ）当时，要证，即证

令，只需证

由指数函数及幂函数的性质知：在上是增函数

又  ∴

在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点

设的零点为,则即

由的单调性知：

当时，，为减函数

当时，，为增函数，

所以当时，

又，等号不成立∴

考查方向

本题主要考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间等知识，意在考查考生分析问题、解决问题等综合解决问题的能力。

解题思路

先将要求的函数变形为，然后判断其单调性即可证明。

易错点

不会构造函数解决问题，当所要的函数正负不确定时，不知道应该设零点解决。

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