理科数学西城区2015年高三试卷

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填空题
单选题
简答题

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试卷目录

1、填空题

2、单选题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

11．已知函数，则函数在处的切线方程为_________；在上的单调递增区间为___________．

正确答案

；

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

分值: 5分

12．若函数为奇函数，则的值为___________，满足的实数的取值范围是________．

正确答案

1；

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

分值: 5分

9．在中，若，则__________．

正确答案

解析

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知识点

任意角的概念

题型：填空题

分值: 5分

10．设，，，则从大到小的顺序为_________．

正确答案

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

分值: 5分

13．如图，线段，点分别在轴和轴的非负半轴上运动．以为一边，在第一象限内作矩形，．设为原点，则的取值范围是______．

正确答案

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知识点

空间几何体的结构特征

题型：填空题

分值: 5分

14．对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质P．

（1）下列函数中具有性质P的有___________．

①

②

③，

④

（2）若函数具有性质P，则实数的取值范围是___________．

正确答案

（1） ①②④，（2）

解析

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知识点

二元二次方程表示圆的条件

单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

2．下列函数中，在定义域内是减函数的是（）

正确答案

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知识点

函数单调性的判断与证明

题型：单选题

分值: 5分

5．“”是“”成立的（）

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

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知识点

充要条件的判定

题型：单选题

分值: 5分

8．已知集合，令，表示集合中元素的个数．关于有下列四个命题：

①的最大值为；

②的最大值为；

③的最小值为；

④的最小值为．

其中，正确的是（）

A①③

B①④

C②③

D②④

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

3．已知点P是函数的图像C的一个对称中心，若点P到图像C的对称轴距离的最小值为，则的最小正周期是（）

A2π

Bπ

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

4．已知向量则下列向量可以与垂直的是（）

正确答案

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知识点

空间几何体的结构特征

题型：单选题

分值: 5分

1．已知集合，，若，则的取值范围为（）

正确答案

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知识点

集合的含义

题型：单选题

分值: 5分

7．数列中，，（其中），则使得成立的的最小值为（）

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式分组转化法求和

题型：单选题

分值: 5分

6．已知数列的通项公式，则数列的前项和的最小值是（）

正确答案

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知识点

错位相减法求和

简答题（综合题）本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 13分

15．设．命题是减函数；命题对任意恒成立．若为真，为假，试求的取值范围．

正确答案

P真： Q真：

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知识点

命题的真假判断与应用对数函数的单调性与特殊点不等式恒成立问题

题型：简答题

分值: 13分

16．如图，已知点，直线与函数的图象交于点，与轴交于点，记的面积为．

（I）求函数的解析式；

（II）求函数的最大值。

正确答案

（I）由已知

所以的面积为.

（II）解：

由得，

函数与在定义域上的情况下表：

所以当时，函数取得最大值.

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知识点

指数函数的图像与性质

题型：简答题

分值: 13分

17．在△中，已知，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求△的面积．

正确答案

（Ⅰ）解：由，得．

所以，

即．

因为，所以，

所以．

（Ⅱ）解：由，，得，.

所以 .

由正弦定理得，所以 .

所以 △的面积.

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知识点

任意角的概念

题型：简答题

分值: 14分

18．已知函数．

（Ⅰ）若，求证：当时，；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）求证：．

正确答案

（Ⅰ）易证

（Ⅱ）当时，在单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减

（Ⅲ）要证，两边取以为底的对数，即只需证明

由（Ⅰ）可知，，分别取，

得到

将上述个不等式相加，得

从而结论成立.

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知识点

简单复合函数的导数

题型：简答题

分值: 14分

19．已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线:的距离为．

（Ⅰ）求抛物线的方程;

（Ⅱ）设点为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线,其中为切点，求直线的方程，并证明直线过定点．

（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点的直线交抛物线于两点，过点分别作抛物线的切线，求交点满足的轨迹方程．

正确答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）直线：定点

（Ⅲ）点满足的轨迹方程：

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知识点

抛物线的定义及应用

题型：简答题

分值: 13分

20．已知数列的首项其中，令集合．

（Ⅰ）若是数列中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）当时，求集合中元素个数的最大值．

正确答案

解：（I）27,9,3；8,9,3；6,2,3.

（II）若被3除余1，则由已知可得,；

若被3除余2,则由已知可得,,；

若被3除余0，则由已知可得,；

所以，

所以

所以，对于数列中的任意一项，“若，则”.

因为，所以.

所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）

若,则；若,则,若,则,

由递推关系易得.

（III）集合中元素个数的最大值为21.

由已知递推关系可推得数列满足：

当时，总有成立，其中.

下面考虑当时，数列中大于3的各项：

按逆序排列各项，构成的数列记为，由（I）可得或9，

由（II）的证明过程可知数列的项满足：

，且当是3的倍数时，若使最小，需使，

所以，满足最小的数列中，或7，且，

所以，所以数列是首项为或的公比为3的等比数列，

所以或，即或，

因为，所以，当时，的最大值是6，

所以，所以集合重元素个数的最大值为21.

解析

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知识点

元素与集合关系的判断由数列的前几项求通项数列与函数的综合

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