理科数学西城区2015年高三试卷

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填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。

11．已知函数，则函数在处的切线方程为_________；在上的单调递增区间为___________．

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12．若函数为奇函数，则的值为___________，满足的实数的取值范围是________．

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9．在中，若，则__________．

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10．设，，，则从大到小的顺序为_________．

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13．如图，线段，点分别在轴和轴的非负半轴上运动．以为一边，在第一象限内作矩形，．设为原点，则的取值范围是______．

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14．对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质P．

（1）下列函数中具有性质P的有___________．

①

②

③，

④

（2）若函数具有性质P，则实数的取值范围是___________．

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单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

2．下列函数中，在定义域内是减函数的是（）

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5．“”是“”成立的（）

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

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8．已知集合，令，表示集合中元素的个数．关于有下列四个命题：

①的最大值为；

②的最大值为；

③的最小值为；

④的最小值为．

其中，正确的是（）

A①③

B①④

C②③

D②④

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3．已知点P是函数的图像C的一个对称中心，若点P到图像C的对称轴距离的最小值为，则的最小正周期是（）

A2π

Bπ

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4．已知向量则下列向量可以与垂直的是（）

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1．已知集合，，若，则的取值范围为（）

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7．数列中，，（其中），则使得成立的的最小值为（）

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6．已知数列的通项公式，则数列的前项和的最小值是（）

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简答题（综合题）本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．设．命题是减函数；命题对任意恒成立．若为真，为假，试求的取值范围．

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16．如图，已知点，直线与函数的图象交于点，与轴交于点，记的面积为．

（I）求函数的解析式；

（II）求函数的最大值。

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17．在△中，已知，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求△的面积．

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18．已知函数．

（Ⅰ）若，求证：当时，；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）求证：．

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19．已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线:的距离为．

（Ⅰ）求抛物线的方程;

（Ⅱ）设点为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线,其中为切点，求直线的方程，并证明直线过定点．

（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点的直线交抛物线于两点，过点分别作抛物线的切线，求交点满足的轨迹方程．

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20．已知数列的首项其中，令集合．

（Ⅰ）若是数列中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）当时，求集合中元素个数的最大值．

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