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3. 等于( )
正确答案
解析
知识点
4.图中,为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,
为该题的最终得分,当
时,
等于( )
正确答案
解析
根据提供的该算法的程序框图,该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分.根据,不满足
,故进入循环体,输入
,判断
与
,
哪个数差距小,差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分.因此由
,解出
=8.故选C.
知识点
9.下列命题中正确的有( )
①设有一个回归方程=2—3x,变量x增加一个单位时,y平均增加3个单位;
②命题P:“”的否定
P:“
”;
③设随机变量X服从正态分布N(0,1),若P(X>1)=p,则P(-1<X<0)=-p;
④在一个2×2列联表中,由计算得k2=6.679,则有99%的把握确认这两个变量间有关系.
本题可以参考独立性检验临界值表
正确答案
解析
①变量x增加一个单位时,y平均减少3个单位,所以错误。②正确。③,正确。④正确,所以选C.
知识点
2.函数的图象( )
正确答案
解析
∵余弦函数是偶函数,
∴函数是偶函数,故关于y轴对称,故选B.
知识点
5.长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5,若它的八个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是( )
正确答案
解析
易知长方体外接球的半径为,所以外接球的表面积为
。
知识点
7.对于函数,若存在常数
,使得
取定义域内的每一个值,都有
,则称
为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是 ( )
正确答案
解析
对于函数,若存在常数
,使得
取定义域内的每一个值,都有
,则称
为准偶函数,∴函数的对称轴是x=a,a≠0,
选项B、C、D函数没有对称轴;函数f(x)=cos(x+1),有对称轴,且x=0不是对称轴,选项A正确.
知识点
1.若全集U=R,集合A={x|x2+x﹣2≤0},B={y|y=log2(x+3),x∈A},则集合A∩(∁UB)=( )
正确答案
解析
A={x|x2+x﹣2≤0}={x|﹣2≤x≤1},
∵B={y|y=log2(x+3),x∈A},由于函数y=log2(x+3)为增函数,
∴B={y|0≤y≤2},
∵全集U=R
∴∁UB={y|y<0或y≥2},
∴A∩∁UB={x|﹣2≤x<0}.
故选:A.
知识点
8.下面命题中假命题是( )
正确答案
解析
A根据指数函数的性质可知,∀x∈R,3x>0,∴A正确.
B当α=β=0时,满足sin(α+β)=sinα+sinβ=0,∴B正确.
C当m=1时,幂函数为f(x)=x3,且在(0,+∞)上单调递增,∴C正确.
D命题“∃x∈R,x2+1>3x”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”,∴D错误.
故选:D.
知识点
10.如图,在棱长为1正四面体S﹣ABC,O是四面体的中心,平面PQR∥平面ABC,设SP=x(0≤x≤1),三棱锥O﹣PQR的体积为V=f(x),其导函数y=f(x)的图象大致为( )
正确答案
解析
设O点到底面PQR距点0的高为h,底面PQR的面积为s,
∴三棱锥O﹣PQR的体积为V=f(x)=sh,当点P从S到A的过程为底面积S一直再增大,高先减少再增大,当底面经过点O时,高为0,
∴体积先增大,后减少,再增大,
故选:C
知识点
6.已知P是△ABC所在平面内一点,,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是 ( )
正确答案
解析
由得
,设BC边中点为D,则
,P为AD中点
,所以黄豆落在
内的概率是
,故选D.
知识点
11.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=,则f(2013)的值为 .
正确答案
﹣3
解析
由分段函数可知,当x>0时,f(x)=f(x﹣1)﹣f(x﹣2),
∴f(x+1)=f(x)﹣f(x﹣1)=f(x﹣1)﹣f(x﹣2)﹣f(x﹣1),
∴f(x+1)=﹣f(x﹣2),
即f(x+3)=﹣f(x),
∴f(x+6)=f(x),即当x>0时,函数的周期是6.
∴f(2013)=f(335×6+3)=f(3)=﹣f(0)=﹣log2(8﹣0)=﹣log28=﹣3,
故答案为:﹣3.
知识点
14.设动点在棱长为1的正方体
的对角线
上,记
。当
为钝角时,则
的取值范围是 。
正确答案
解析
由题设可知,以、
、
为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz,
则有,
,
,
,则
,得
,所以
,
显然不是平角,所以
为钝角等价于
,即
,即
,解得
,因此
的取值范围是
。
知识点
12.顶点在原点,经过圆的圆心且准线与
轴垂直的抛物线方程为 .
正确答案
解析
因为圆的圆心坐标为,设抛物线方程为
,将圆心坐标代入得a=2,所以所求抛物线的方程为
.
知识点
13.如图,在△ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,<,
>=60°,则
= .
正确答案
解析
如图所示,
根据题意,O为BC中点,
∴=
(
+
),
=
(
+2
•
+
)
=(12+2×1×3×cos60°+32)=
;
∴||=
.故答案为:
.
知识点
15.若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围________.
正确答案
解析
|2x-1|+|x+2|=,当且仅当x=
时取等号,因此函数y=|2x-1|+|x+2|的最小值是
.所以
,即2a2+a-1≤0,解得
,即实数a的取值范围是
.
知识点
17.已知的面积为
,且
.
(1)求;
(2)求求
周长的最大值.
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)∵△的面积为
,且
,∴
,
∴,∴
为锐角,且
,
∴,所以
.
(2)
所以周长为
==
,所以
,
,所以
所以周长最大值为.
另解:由余弦定理可得:
又因为,所以
所以:当且仅当
时取到等号.
知识点
19.某工厂生产甲,乙两种芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为合格品,小于82为次品.现随机抽取这两种芯片各100件进行检测,检测结果统计如下:
(1)试分别估计芯片甲,芯片乙为合格品的概率;
(2)生产一件芯片甲,若是合格品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件芯片乙,若是合格品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(1)的前提下,
(i)记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润,求随机变量X的分布列;
(ii)求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率.
正确答案
见解析。
解析
(1)芯片甲为合格品的概率约为,
芯片乙为合格品的概率约为.
(2)(ⅰ)随机变量X的所有取值为90,45,30,-15
;
;
;
.
所以,随机变量X的分布列为:
(ⅱ)设生产的5件芯片乙中合格品n件,则次品有5﹣n件.
依题意,得 50n﹣10(5﹣n)≥140,解得 .所以 n=4,或n=5.
设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A,
则 .
知识点
20.给定椭圆(
),称圆
为椭圆
的“伴随圆”,已知椭圆
过点
,离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆
交于
两点,与其“伴随圆”交于
两点,当
时,
求面积的最大值.
正确答案
见解析。
解析
(1)
(2)
,令
,当
时
知识点
16.已知数列满足下列条件:
(1)求的通项公式;
(2)设的前
项和为
,求证:对任意正整数
,均有
正确答案
见解析。
解析
(1)由 ①
得 ②
①—②得
即
因此,
由①,及得
,于是
因此,是以
为首项,2为公比的等比数列,
所以即
(2)由(1)得因为
,所以对任意正整数
,
因为
所以当时,
当时,显然有
综上,对任意正整数,均有
知识点
18.如图,在三棱锥中,
平面
,
(1)平面平面
;
(2)为
的延长线上的一点.若二面角
的大小为
,求
的长.
正确答案
见解析。
解析
(1)在中,
由余弦定理,得
经计算,得所以
,故
因为平面
,所以
又因为
,所以
平面
又因为平面
,故平面
平面
.
(2)取的中点
,连结
因为,所以
又因为平面平面
,
平面平面
,
平面
,
所以平面
。
过作
于
,连
,则
于是是二面角
的平面角,
因此,
又,所以
设
,
由得
.因此,
。
即解得
所以
知识点
21.已知函数.
(1)当时,求
在
的最小值;
(2)若存在单调递减区间,求
的取值范围;
(3)求证:.
正确答案
见解析。
解析
(1),定义域为
.
,
在
上是增函数.
.
(2) 因为
因为若存在单调递减区间,所以
有正数解.
即有
的解
当时,明显成立 .
②当时,
开口向下的抛物线,
总有
的解;
③当时,
开口向上的抛物线,
即方程有正根.
因为,
所以方程有两正根.
当时,
;
,解得
.
综合①②③知:.
(3)(法一)根据(1)的结论,当时,
,即
.
令,则有
,
.
,
.
(法二)当时,
.
,
,即
时命题成立.
设当时,命题成立,即
.
时,
.
根据(1)的结论,当时,
,即
.
令,则有
,
则有,即
时命题也成立.
因此,由数学归纳法可知不等式成立.