理科数学松江区2013年高三试卷

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试卷目录

1、填空题

2、单选题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 4分

4．若函数是函数的反函数，则___________。

正确答案

解析

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知识点

不等式的性质

题型：填空题

分值: 4分

5．已知向量与的夹角为,,,若与垂直，则实数_________.

正确答案

解析

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知识点

顺序结构

题型：填空题

分值: 4分

3．关于的不等式（）的解集为_____________。

正确答案

解析

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知识点

分式不等式的解法

题型：填空题

分值: 4分

7．若为锐角，且，则____________。

正确答案

解析

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知识点

同角三角函数间的基本关系三角函数的化简求值两角和与差的正弦函数角的变换、收缩变换

题型：填空题

分值: 4分

6．已知数列为无穷等比数列，且满足，，则数列所有项的和为_________。

正确答案

解析

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知识点

等差数列的性质及应用

题型：填空题

分值: 4分

9．过双曲线的左焦点的弦两点都在左支上，为右焦点，且的周长为30，则（）。

正确答案

解析

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知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

分值: 4分

8．二项式展开式中的常数项为________。

正确答案

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知识点

三角函数中的恒等变换应用

题型：填空题

分值: 4分

11．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其十位数比个位数大的概率是____________。

正确答案

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知识点

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

题型：填空题

分值: 4分

12．设是定义在上且周期为的函数，在区间上，，其中，若，则的值为___。

正确答案

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 4分

13．对任意，函数满足，设，数列的前项的和为，则（）．

正确答案

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知识点

导数的加法与减法法则

题型：填空题

分值: 4分

14．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：

① 到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；

② 到两点的“折线距离”相等的点的集合是一条直线；

③ 到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线；

④ 到两点的“折线距离”之和为4的点的集合是一个六边形．

其中正确的命题是____________（写出所有正确命题的序号）

正确答案

①②③④

解析

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知识点

数量积的坐标表达式

题型：填空题

分值: 4分

1．对于集合、，定义运算，若，，则_________

正确答案

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知识点

交、并、补集的混合运算

题型：填空题

分值: 4分

2．若复数满足，（其中为虚数单位），则__________。

正确答案

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知识点

复数代数形式的混合运算复数求模

题型：填空题

分值: 4分

10．若关于的方程组有唯一的一组实数解,则实数的值为______.

正确答案

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知识点

函数零点的判断和求解

单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

16．设．都是非零向量，则下列四个条件：①；②；③；④。

则其中可作为使成立的充分条件的有（）

A个

B个

C个

D个

正确答案

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知识点

三角函数中的恒等变换应用

题型：单选题

分值: 5分

18．已知点．若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：

① ；

② ；

③ ．

其中，型曲线的个数是 ( )．

正确答案

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

分值: 5分

17．已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线平行，则实数等于（）

正确答案

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知识点

两条直线平行与倾斜角、斜率的关系双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

分值: 5分

15．函数的零点个数为（）

正确答案

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知识点

函数零点的判断和求解

简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 14分

20．如图，为一个等腰三角形形状的空地，腰的长为(百米)，底的长为(百米)．现决定在该空地内筑一条笔直的小路(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等．面积分别为和.

（1）若小路一端为的中点，求此时小路的长度；

（2）求的最小值。

正确答案

（1） ∵ E为AC中点，∴ AE＝CE=

∵ ＋3＜＋4，∴ F不在BC上．

若F在AB上，则AE＋AF＝3－AE＋4－AF＋3，∴ AE＋AF＝5.

∴ AF＝＜4.

在△ABC中，cosA＝.

在△AEF中，EF2＝AE2＋AF2－2AE·AFcosA＝＋－2×××＝，

∴ EF＝即小路一端E为AC的中点时小路的长度为(百米)．

(2) 若小道的端点E、F点都在两腰上，如图，设CE＝x，CF＝y，

则x＋y＝5，

若小道的端点E、F分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上，

设AE＝x，AF＝y，则x＋y＝5，

答：最小值是.

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知识点

圆与圆的位置关系及其判定

题型：简答题

分值: 18分

23．已知是函数的图象上的任意两点，点在直线上，且.

（1）求+的值及+的值；

（2）已知，当时，，设，为数列的前项和，若存在正整数，使得不等式成立，求和的值.

（3）在（2）的条件下，设，求所有可能的乘积的和．

正确答案

解：（1）∵点在直线上，设.又，即，，∴

①当时，=，；

②当时，， +=

==；

综合①②得，+.

（2）由（1）知，当时, .

∴，，

∴时，+++ ，①

，②

①＋②得，,则.

又时，满足上式， ∴.

，=.

，，

∴，为正整数，∴，

当时，，∴，∴.

（3），.

将所得的积排成如下矩阵：

，设矩阵的各项和为.

在矩阵的左下方补上相应的数可得

矩阵中第一行的各数和，

矩阵中第二行的各数和，

矩阵中第行的各数和，

从而矩阵中的所有数之和为.

所以

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知识点

空间图形的公理

题型：简答题

分值: 16分

22．定义非零向量的“相伴函数”为（），向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）。记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为。

（1）已知，求证：；

（2）求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围；

（3）已知点满足条件：且，向量的“相伴函数” 在处取得最大值。当点运动时，求的取值范围。

正确答案

（1）

函数的相伴向量，

（2）

，

的取值范围为

（3）的相伴函数，

其中

当即时取得最大值

为直线的斜率，由几何意义知

令，则

当时，

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知识点

两角和与差的正弦函数二倍角的正切向量的模

题型：简答题

分值: 12分

19．已知为等差数列，且，。

（1）求数列的通项公式；

（2）记的前项和为，若．．成等比数列，求正整数的值。

正确答案

解：（1）由，可得：即

代入，可得：

（2）

化简可得：解得（舍去）

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知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

分值: 14分

21．已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点。

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于、两点，若点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围。

正确答案

（1）与轴、轴交点为和

，，

椭圆方程为：

（2）设直线的方程为：（）

可得：

可得：即

设，，则，

化简得：可得：，

取值范围为

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导数的乘法与除法法则

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