理科数学松江区2013年高三试卷

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填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

4．若函数是函数的反函数，则___________。

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5．已知向量与的夹角为,,,若与垂直，则实数_________.

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3．关于的不等式（）的解集为_____________。

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7．若为锐角，且，则____________。

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6．已知数列为无穷等比数列，且满足，，则数列所有项的和为_________。

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9．过双曲线的左焦点的弦两点都在左支上，为右焦点，且的周长为30，则（）。

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8．二项式展开式中的常数项为________。

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11．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其十位数比个位数大的概率是____________。

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12．设是定义在上且周期为的函数，在区间上，，其中，若，则的值为___。

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13．对任意，函数满足，设，数列的前项的和为，则（）．

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14．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：

① 到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；

② 到两点的“折线距离”相等的点的集合是一条直线；

③ 到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线；

④ 到两点的“折线距离”之和为4的点的集合是一个六边形．

其中正确的命题是____________（写出所有正确命题的序号）

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1．对于集合、，定义运算，若，，则_________

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2．若复数满足，（其中为虚数单位），则__________。

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10．若关于的方程组有唯一的一组实数解,则实数的值为______.

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单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

16．设．都是非零向量，则下列四个条件：①；②；③；④。

则其中可作为使成立的充分条件的有（）

A个

B个

C个

D个

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18．已知点．若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：

① ；

② ；

③ ．

其中，型曲线的个数是 ( )．

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17．已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线平行，则实数等于（）

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15．函数的零点个数为（）

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简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

20．如图，为一个等腰三角形形状的空地，腰的长为(百米)，底的长为(百米)．现决定在该空地内筑一条笔直的小路(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等．面积分别为和.

（1）若小路一端为的中点，求此时小路的长度；

（2）求的最小值。

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23．已知是函数的图象上的任意两点，点在直线上，且.

（1）求+的值及+的值；

（2）已知，当时，，设，为数列的前项和，若存在正整数，使得不等式成立，求和的值.

（3）在（2）的条件下，设，求所有可能的乘积的和．

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22．定义非零向量的“相伴函数”为（），向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）。记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为。

（1）已知，求证：；

（2）求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围；

（3）已知点满足条件：且，向量的“相伴函数” 在处取得最大值。当点运动时，求的取值范围。

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19．已知为等差数列，且，。

（1）求数列的通项公式；

（2）记的前项和为，若．．成等比数列，求正整数的值。

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21．已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点。

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于、两点，若点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围。

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