• 理科数学 松江区2013年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题4分,共56分。把答案填写在题中横线上。
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4.若函数是函数的反函数,则___________。

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5.已知向量的夹角为,,,若垂直,则实数_________.

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3.关于的不等式)的解集为_____________。

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6.已知数列为无穷等比数列,且满足,则数列所有项的和为_________。

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7.若为锐角,且,则____________。

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9.过双曲线的左焦点的弦两点都在左支上,为右焦点,且的周长为30,则(   )。

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8.二项式展开式中的常数项为________。

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11.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其十位数比个位数大的概率是____________。

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12.设是定义在上且周期为的函数,在区间上,,其中,若,则的值为___。

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13.对任意,函数满足,设,数列的前项的和为,则 (    ) .

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14.在平面直角坐标系中,定义为两点之间的“折线距离”.在这个定义下,给出下列命题:

① 到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形;

② 到两点的“折线距离”相等的点的集合是一条直线;

③ 到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线;

④ 到两点的“折线距离”之和为4的点的集合是一个六边形.

其中正确的命题是____________(写出所有正确命题的序号)

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1.对于集合,定义运算,若,则_________

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2.若复数满足,(其中为虚数单位),则__________。

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10.若关于的方程组有唯一的一组实数解,则实数的值为______.

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单选题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

15.函数的零点个数为(  )

A

B

C

D

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1

16.设都是非零向量,则下列四个条件:①;②;③;④

则其中可作为使成立的充分条件的有(   )

A

B

C

D

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1

18.已知点.若曲线上存在两点,使为正三角形,则称型曲线.给定下列三条曲线:

其中,型曲线的个数是 (      ).

A

B

C

D

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1

17.已知抛物线上一点到其焦点的距离为,双曲线 的左顶点为,若双曲线一条渐近线与直线平行,则实数等于(    )

A

B

C

D

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简答题(综合题) 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

19.已知为等差数列,且

(1)求数列的通项公式;

(2)记的前项和为,若成等比数列,求正整数的值。

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20.如图,为一个等腰三角形形状的空地,腰的长为(百米),底的长为(百米).现决定在该空地内筑一条笔直的小路(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等.面积分别为.

(1) 若小路一端的中点,求此时小路的长度;

(2) 求的最小值。

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1

21.已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点

(1)求椭圆的方程;

(2)过椭圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于两点,若点在以线段为直径的圆的外部,求的取值范围。

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23. 已知是函数的图象上的任意两点,点在直线上,且.

(1)求+的值及+的值;

(2)已知,当时,,设为数列的前项和,若存在正整数,使得不等式成立,求的值.

(3)在(2)的条件下,设,求所有可能的乘积的和.

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22.定义非零向量的“相伴函数”为),向量称为函数的“相伴向量”(其中为坐标原点)。记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为

(1)已知,求证:

(2)求(1)中函数的“相伴向量”模的取值范围;

(3)已知点满足条件:,向量的“相伴函数” 在处取得最大值。当点运动时,求的取值范围。

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