理科数学 热门试卷

解：（1）在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，

∴，∴

又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，

同理可得

∵，∴

∵平面ABC，∴PA⊥BC．

（2）

如图所示取PC的中点G，

连结AG，BG，

∵PF:FC=3:1，∴F为GC的中点

又D、E分别为BC、AC的中点，

∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F，

∴面ABG∥面DEF．

即PC上的中点G为所求的点．

（3）由（2）知G这PC的中点，连结GE，

∴GE⊥平面ABC，过E作EH⊥AB于H，连结GH，则GH⊥AB

∴∠EHG为二面角G-AB-C的平面角．

∵        又

∴     又

∴

∴二面角G-AB-C的平面角的正切值为．

（1）对任意的正数均有且．

又

，

又是定义在上的单增函数，．

当时，，．，．

当时，，

．

为等差数列，，．

（2）假设存在满足条件，

即对一切恒成立．

令，

，

故，

，单调递增

，．

．

解：（I）∵为偶函数 

即恒成立；  

又

又其图象上相邻对称轴之间的距离为π    

（II）∵原式

又

即， 故原式

（Ⅰ）如图，设点的坐标为，

则，

，，即．

∴所求的轨迹是除去顶点的抛物线

（解法一）

（Ⅱ）对函数求导得，．

设切点坐标为，则过该切点的切线的斜率是

该切线方程是．

又设点的坐标为，

切线过点，有，

化简，得．

设、两点的坐标分别为、

则、为方程的两根，

．

因此，当时，直线与轴重合，当时，直线与轴平行

（Ⅲ） ．

点的坐标为．

又．

直线的方程为：，即．

当时，方程（）恒成立，

对任意实数，直线恒过定点，定点坐标为．

（解法二）

（Ⅱ）设点的坐标为

利用切点弦直线方程的结论可得出直线的方程为

即

由 得．

．

．

因此，当时，直线与轴重合，当时，直线与轴平行

（Ⅲ） 由（Ⅱ）得知直线的方程为，即．

后面解法同解法一．

（1），

∴当时，，此时单调递减

当时，，此时单调递增

∴的极小值为

（2）的极小值为1，即在上的最小值为1，

∴ ，

令，，  

当时，，在上单调递增 

∴

∴在（1）的条件下，

（3）假设存在实数，使（）有最小值3，

① 当时，在上单调递减，，（舍去）

所以，此时无最小值． 

②当时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件．

③ 当时，在上单调递减，，（舍去）

所以，此时无最小值．

综上，存在实数，使得当时有最小值3．