2015年高考真题理科数学 (安徽卷)

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
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预测试卷

单选题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

2.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）

正确答案

解析

由选项可知，B,C项均不是偶函数，故排除B，C，A,D项是偶函数，但D项与x轴没有交点，即D项的函数不存在零点，故选A.

考查方向

1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.

解题思路

根据函数的奇偶性和函数零点的相关概念判断，结合选项依次判断。

易错点

函数的奇偶性理解错误，忽略函数零点的意义。

知识点

偶函数

题型：单选题

分值: 5分

3.设，则是成立的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

由，解得，易知，能推出，但不能推出，故是成立的充分不必要条件，选A.

考查方向

1.指数运算；2.充要条件的概念.

解题思路

先利用指数函数的运算法则，然后判断是什么样的条件。

易错点

充分条件和必要条件混淆

知识点

充要条件的判定

题型：单选题

分值: 5分

4.下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（）

正确答案

解析

由题意，选项的焦点在轴，故排除，项的渐近线方程为，即，故选C.

考查方向

1.双曲线的渐近线.

解题思路

根据选项逐一求解

易错点

计算错误，对渐近线方程形式记忆混淆

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

分值: 5分

5.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）

A若，垂直于同一平面，则与平行

B若，平行于同一平面，则与平行

C若，不平行，则在内不存在与平行的直线

D若，不平行，则与不可能垂直于同一平面

正确答案

解析

由A选项,，垂直于同一平面，则，可以相交、平行，故A不正确；由B选项，，可以平行、重合、相交、异面，故B选项不正确；由C选项，，不平行，但平面内会存在平行于的直线，如平行于，交线的直线；D选项，其逆否命题为“若与垂直于同一平面，则，平行是真命题，故D项正确，所以选D

考查方向

1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.

解题思路

根据选项逐一进行判断

易错点

平面和直线的位置关系混淆，考虑问题不全面

知识点

平面与平面平行的判定与性质直线、平面垂直的综合应用

题型：单选题

分值: 5分

7.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）

正确答案

解析

由题意，该四面体的直观图如下:,是直角三角形，,是等边三角形

则,，所以四面体的表面积,故选B

考查方向

1.复数的运算；2.共轭复数.

解题思路

先根据三视图还原成直观图，然后根据立体几何相关性质求解。

易错点

立体感不强，三视图还原成直观图错误

知识点

由三视图还原实物图

题型：单选题

分值: 5分

10.已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当

时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）

正确答案

解析

由题意，,,所以，则，而当时，，所以，所以当取得最大值时，比较，，的大小，只需判断2，-2,0与最近的最高点处对称轴的距离大小距离越大，值越小，所以，当时，

当时，，所以，故选A

考查方向

1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.

解题思路

先根据给出的已知条件，求出三角函数的解析式，接着判断函数的最值。

易错点

三角函数的图象和性质掌握不好，综合能力弱

知识点

正弦函数的图象

题型：单选题

分值: 5分

1.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

解析

由题意，其对应的点坐标为，位于第二象限，故选B.

考查方向

1.复数的运算；2.复数的几何意义.

解题思路

先化简，再根据复数的几何意义做判断

易错点

复数的运算错误，复数的几何意义理解的不透彻

知识点

复数的基本概念复数代数形式的混合运算

题型：单选题

分值: 5分

6.若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准

差为（）

正确答案

解析

设样本数据，，，的标准差为，则，即方差，而数据，，，的方差，所以其标准差为.故选C.

考查方向

1.样本的方差与标准差的应用.

解题思路

根据题意和相关公式分别求解。

易错点

样本的方差和标准差公式记忆错误，不理解题意

知识点

等差数列的判断与证明

题型：单选题

分值: 5分

8.是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列

结论正确的是（）

正确答案

解析

如图，

由题意，，故，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，所以，故选D.

考查方向

1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.

解题思路

先根据向量相关性质把有向线段用坐标的形式表示出来，然后利用垂直关系求得。

易错点

计算错误，向量的数量积表示错误

知识点

正弦函数的奇偶性

题型：单选题

分值: 5分

9.函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（）

A，，

B，，

C，，

D，，

正确答案

解析

由及图象可知，，则，当时，，所以；当，，所以

考查方向

1.函数的图象与应用.\

解题思路

先根据图像和函数相关性质、单调性、奇偶性、拐点等性质进行判断参数的符号。

易错点

数形结合思想掌握不好，函数相关性态求解有问题，

知识点

导数的乘法与除法法则

填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

11. 的展开式中的系数是 .（用数字填写答案）

正确答案

解析

由题意，令，得，则的系数是.

考查方向

1.二项式定理的展开式应用.

解题思路

先利用公式展开，然后找到次数为5的项，进而求出系数。

易错点

二项式展开式公式记忆混淆，找系数时次数有遗漏项

知识点

求二项展开式的指定项或指定项的系数

题型：填空题

分值: 5分

12.在极坐标中，圆上的点到直线距离的最大值是 .

正确答案

解析

由题意可知，转换为直角坐标方程为，即；直线转换为直角坐标方程为，则圆上到直线的距离最大值是通过圆心的直线，设园的直线的距离为，圆的半径为，则圆到直线距离的最大值为

考查方向

1.极坐标方程与平面直角坐标方程的转化；2.圆上的点到直线的距离.

解题思路

先将极坐标转换成直角坐标下的方程形式，然后利用点到熟悉的圆锥曲线的求距离的方法求解

易错点

极坐标转换成直角坐标失败，不会求点到线的距离

知识点

两圆的公切线条数及方程的确定

题型：填空题

分值: 5分

13.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的为 .

正确答案

解析

由题意，程序框图循环如下：①；②；③

；④，此时，所以输出.

考查方向

1.程序框图的应用.

解题思路

根据顺序结构判断是否进入循环，判断循环输出，进而求出最后输出的数值。

易错点

流程图读不懂，在判断流程时出现错误

知识点

循环结构

题型：填空题

分值: 5分

14.已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 .

正确答案

解析

由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和

考查方向

1.等比数列的性质；2.等比数列的前项和公式.

解题思路

先根据一直条件求出等比数列的首项和公比，进而利用公式求前n项和。

易错点

等比数列及其前N项和求解错误，公式记忆不牢

知识点

由递推关系式求数列的通项公式

题型：填空题

分值: 5分

15.设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的

是 .（写出所有正确条件的编号）

①；②；③；④；⑤.

正确答案

①③④⑤

解析

令，求导得，当时，，所以单调递增，且至少存在一个数使，至少存在一个数使，所以必有一个零点，即方程仅有一根，故④⑤正确；当时，若，则，易知，在上单调递增，在上单调递减，所以，

，要使方程仅有一根，则或者

，解得或，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.

考查方向

1函数零点与方程的根之间的关系；2.函数的单调性及其极值.

易错点

函数和方程的关系找不出来，不会利用导数判断函数有无根的情况。

知识点

简单复合函数的导数

简答题（综合题）本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

16.在中，,点D在边上，，求的长.

正确答案

解析

设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得

，

所以.

又由正弦定理得.

由题设知，所以.

在中，由正弦定理得.

考查方向

1.正弦定理、余弦定理的应用.

解题思路

设出的内角所对边的长分别是，由余弦定理求出的长度，再由正弦定理求出角的大小，在中.利用正弦定理即可求出的长度.

易错点

正弦定理、余弦定理运用错误，计算错误

知识点

三角函数中的恒等变换应用

题型：简答题

分值: 12分

设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.

19.求数列的通项公式；

20.记，证明.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）

解析

（Ⅰ）解：，曲线在点处的切线斜率为.

从而切线方程为.令，解得切线与轴交点的横坐标.

考查方向

1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式.

解题思路

（Ⅰ）对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线在点处的切线斜率为.从而可以写出切线方程为.令.解得切线与轴交点的横坐标.

易错点

求导错误，不会联系导数和曲线之间的关系。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）.

解析

（Ⅱ）证：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知

当时，.

当时，因为，

所以.

综上可得对任意的，均有.

考查方向

1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式.

解题思路

（Ⅱ）要证，需考虑通项，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路如下：先表示出，求出初始条件当时，.当时，单独考虑，并放缩得，所以

，综上可得对任意的，均有.

易错点

证明不等式成立时，找不到合理适当的放缩不等式

题型：简答题

分值: 13分

如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F.

21.证明：

22.求二面角余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（Ⅰ）证明：由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又面，面，于是面，又面，而面面，所以.

解题思路

（Ⅰ）证明：依据正方形的性质可知，且，，从而为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理知面，再由线面平行的性质定理知.

易错点

找不到线面平行和线线平行的关系。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ）因为四边形，，均为正方形，所以，且，以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量建立，如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标.而点为的中点，所以点的坐标为.

设面的法向量.而该面上向量，由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取.设面的法向量，而该面上向量，由此同理可得.所以结合图形知二面角的余弦值为.

考查方向

1.线面平行的判定定理与性质定理；2.二面角的求解.

解题思路

因为四边形，，均为正方形，所以，且，可以建以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量的平面直角坐标系，写出相关的点的坐标，设出面的法向量.由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取.同理的法向量.所以结合图形知二面角的余弦值为.

易错点

找不到二面角的平面角,计算能力弱.

题型：简答题

分值: 12分

已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

17.求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率

18.已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所

需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）

解析

（Ⅰ）记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件.

解题思路

（Ⅰ）依据题目所给的条件可以先设“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件.得出.

易错点

计算事件发生的概率错误

分布列表示不出来，求相应的概率时错误，不会求数学期望。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）.

解析

（Ⅱ）的可能取值为.

故的分布列为

考查方向

1.概率；2.随机变量的分布列与期望.

解题思路

（Ⅱ）的可能取值为.依此求出各自的概率，列出分布列，求出期望.

易错点

分布列表示不出来，求相应的概率时错误，不会求数学期望。

题型：简答题

分值: 13分

设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.

23.求E的离心率e；

24.设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（I）

解析

（Ⅰ）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得，故.

考查方向

1.椭圆的离心率；2.椭圆的标准方程；3.点点关于直线对称的应用.

解题思路

（Ⅰ）由题设条件，可得点的坐标为，利用，从而，进而得，算出.

易错点

椭圆方程相关性质、概念、公式记忆错误，计算能力弱

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（Ⅱ）由题设条件和（Ⅰ）的计算结果可得，直线的方程为，点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.又点在直线上，且,从而有解得，所以，故椭圆的方程为.

考查方向

1.椭圆的离心率；2.椭圆的标准方程；3.点点关于直线对称的应用.

解题思路

由题设条件和（Ⅰ）的计算结果知，直线的方程为，得出点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.利用点在直线上，以及，解得，所以，从而得到椭圆的方程为.

易错点

圆锥曲线的相关性质、概念、公式记忆错误，计算能力弱

题型：简答题

分值: 13分

设函数.

25.讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

26.记，求函数在上的最大值D；

27.在（Ⅱ）中，取，求满足时的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）极小值为

解析

（Ⅰ），.

，.

因为，所以.

①当时，函数单调递增，无极值.

②当时，函数单调递减，无极值.

③当，在内存在唯一的，使得.

时，函数单调递减；时，函数单调递增.

因此，，时，函数在处有极小值.

考查方向

1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.

解题思路

（Ⅰ）将代入为，.

求导得，.因为，所以.按的范围分三种情况进行讨论：①当时，函数单调递增，无极值.②当时，函数单调递减，无极值.③当，在内存在唯一的，使得.时，函数单调递减；时，函数单调递增.因此，，时，函数在处有极小值.

易错点

函数求导错误，分类讨论能力弱，计算能力弱

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

：

（Ⅱ）时，，

当时，取，等号成立，

由此可知，函数在上的最大值为.

考查方向

1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.

解题思路

当时，依据绝对值不等式可知，从而能够得出函数在上的最大值为.

易错点

绝对值不等式性质运用错误，计算错误，不会合理放缩不等式

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）1.

解析

（Ⅲ），即，此时，从而.

取，则，并且.

由此可知，满足条件的最大值为1.

考查方向

1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.

解题思路

（Ⅲ）当，即，此时，从而.依据式子特征取，则，并且.由此可知，满足条件的最大值为1

易错点

平均值不等式的性质，计算能力弱

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

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解题思路

易错点

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考查方向

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易错点

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解题思路

易错点

知识点

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

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解题思路

易错点

知识点

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

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