- 真题试卷
- 模拟试卷
- 预测试卷
2.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
正确答案
解析
由选项可知,B,C项均不是偶函数,故排除B,C,A,D项是偶函数,但D项与x轴没有交点,即D项的函数不存在零点,故选A.
考查方向
解题思路
根据函数的奇偶性和函数零点的相关概念判断,结合选项依次判断。
易错点
函数的奇偶性理解错误,忽略函数零点的意义。
知识点
3.设,则
是
成立的( )
正确答案
解析
由,解得
,易知,
能推出
,但
不能推出
,故
是
成立的充分不必要条件,选A.
考查方向
解题思路
先利用指数函数的运算法则,然后判断是什么样的条件。
易错点
充分条件和必要条件混淆
知识点
4.下列双曲线中,焦点在轴上且渐近线方程为
的是( )
正确答案
解析
由题意,选项的焦点在
轴,故排除
,
项的渐近线方程为
,即
,故选C.
考查方向
解题思路
根据选项逐一求解
易错点
计算错误,对渐近线方程形式记忆混淆
知识点
5.已知,
是两条不同直线,
,
是两个不同平面,则下列命题正确的是( )
正确答案
解析
由A选项,,
垂直于同一平面,则
,
可以相交、平行,故A不正确;由B选项,
,
可以平行、重合、相交、异面,故B选项不正确;由C选项,
,
不平行,但
平面内会存在平行于
的直线,如
平行于
,
交线的直线;D选项,其逆否命题为“若
与
垂直于同一平面,则
,
平行是真命题,故D项正确,所以选D
考查方向
解题思路
根据选项逐一进行判断
易错点
平面和直线的位置关系混淆,考虑问题不全面
知识点
7.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )
正确答案
解析
由题意,该四面体的直观图如下:,
是直角三角形,
,
是等边三角形
则,
,所以四面体的表面积
,故选B
考查方向
解题思路
先根据三视图还原成直观图,然后根据立体几何相关性质求解。
易错点
立体感不强,三视图还原成直观图错误
知识点
10.已知函数(
,
,
均为正的常数)的最小正周期为
,当
时,函数取得最小值,则下列结论正确的是( )
正确答案
解析
由题意,,
,所以
,则
,而当
时,
,所以
,所以当
取得最大值时,比较
,
,
的大小,只需判断2,-2,0与最近的最高点处对称轴的距离大小距离越大,值越小,所以,当
时,
当时,
,所以
,故选A
考查方向
解题思路
先根据给出的已知条件,求出三角函数的解析式,接着判断函数的最值。
易错点
三角函数的图象和性质掌握不好,综合能力弱
知识点
1.设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( )
正确答案
解析
由题意,其对应的点坐标为
,位于第二象限,故选B.
考查方向
解题思路
先化简,再根据复数的几何意义做判断
易错点
复数的运算错误,复数的几何意义理解的不透彻
知识点
6.若样本数据,
,
,
的标
准
差为
,则数据
,
,
,
的标准
差为( )
正确答案
解析
设样本数据,
,
,
的标准差为
,则
,即方差
,而数据
,
,
,
的方差
,所以其标准差为
.故选C.
考查方向
解题思路
根据题意和相关公式分别求解。
易错点
样本的方差和标准差公式记忆错误,不理解题意
知识点
8.是边长为
的等边三角形,已知向量
,
满足
,
,则下列
结论正确的是( )
正确答案
解析
如图,
由题意,,故
,故
错误;
,所以
,又
,所以
,故
错误;设
中点为
,则
,且
,所以
,故选D.
考查方向
解题思路
先根据向量相关性质把有向线段用坐标的形式表示出来,然后利用垂直关系求得。
易错点
计算错误,向量的数量积表示错误
知识点
9.函数的图象如图所示,则下列结论成立的是( )
正确答案
解析
由及图象可知,
,则
,当
时,
,所以
;当
,
,所以
考查方向
解题思路
先根据图像和函数相关性质、单调性、奇偶性、拐点等性质进行判断参数的符号。
易错点
数形结合思想掌握不好,函数相关性态求解有问题,
知识点
11. 的展开式中
的系数是 .(用数字填写答案)
正确答案
解析
由题意,令
,得
,则
的系数是
.
考查方向
解题思路
先利用公式展开,然后找到次数为5的项,进而求出系数。
易错点
二项式展开式公式记忆混淆,找系数时次数有遗漏项
知识点
12.在极坐标中,圆上的点到直线
距离的最大值是 .
正确答案
解析
由题意可知,转换为直角坐标方程为
,即
;直线
转换为直角坐标方程为
,则圆上到直线的距离最大值是通过圆心的直线,设园的直线的距离为
,圆的半径为
,则圆到直线距离的最大值为
考查方向
解题思路
先将极坐标转换成直角坐标下的方程形式,然后利用点到熟悉的圆锥曲线的求距离的方法求解
易错点
极坐标转换成直角坐标失败,不会求点到线的距离
知识点
13.执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的为 .
正确答案
解析
由题意,程序框图循环如下:①;②
;③
;④
,此时
,所以输出
.
考查方向
解题思路
根据顺序结构判断是否进入循环,判断循环输出,进而求出最后输出的数值。
易错点
流程图读不懂,在判断流程时出现错误
知识点
14.已知数列是递增的等比数列,
,则数列
的前
项和等于 .
正确答案
解析
由题意,,解得
或者
,而数列
是递增的等比数列,所以
,即
,所以
,因而数列
的前
项和
.
考查方向
解题思路
先根据一直条件求出等比数列的首项和公比,进而利用公式求前n项和。
易错点
等比数列及其前N项和求解错误,公式记忆不牢
知识点
15.设,其中
均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的
是 .(写出所有正确条件的编号)
①;②
;③
;④
;⑤
.
正确答案
①③④⑤
解析
令,求导得
,当
时,
,所以
单调递增,且至少存在一个数使
,至少存在一个数使
,所以
必有一个零点,即方程
仅有一根,故④⑤正确;当
时,若
,则
,易知,
在
上单调递增,在
上单调递减,所以
,
,要使方程仅有一根,则
或者
,解得
或
,故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是①③④⑤.
考查方向
易错点
函数和方程的关系找不出来,不会利用导数判断函数有无根的情况。
知识点
16.在中,
,点D在
边上,
,求
的长.
正确答案
解析
设的内角
所对边的长分别是
,由余弦定理得
,
所以.
又由正弦定理得.
由题设知,所以
.
在中,由正弦定理得
.
考查方向
解题思路
设出的内角
所对边的长分别是
,由余弦定理求出
的长度,再由正弦定理求出角
的大小,在
中.利用正弦定理即可求出
的长度.
易错点
正弦定理、余弦定理运用错误,计算错误
知识点
设,
是曲线
在点
处的切线与x轴交点的横坐标.
19.求数列的通项公式;
20.记,证明
.
正确答案
(1)
解析
(Ⅰ)解:,曲线
在点
处的切线斜率为
.
从而切线方程为.令
,解得切线与
轴交点的横坐标
.
考查方向
解题思路
(Ⅰ)对题中所给曲线的解析式进行求导,得出曲线在点
处的切线斜率为
.从而可以写出切线方程为
.令
.解得切线与
轴交点的横坐标
.
易错点
求导错误,不会联系导数和曲线之间的关系。
正确答案
(2).
解析
(Ⅱ)证:由题设和(Ⅰ)中的计算结果知
.
当时,
.
当时,因为
,
所以.
综上可得对任意的,均有
.
考查方向
解题思路
(Ⅱ)要证,需考虑通项
,通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路如下:先表示出
,求出初始条件当
时,
.当
时,单独考虑
,并放缩得
,所以
,综上可得对任意的
,均有
.
易错点
证明不等式成立时,找不到合理适当的放缩不等式
如图所示,在多面体,四边形
,
均为正方形,
为
的中点,过
的平面交
于F.
21.证明:
22.求二面角余弦值.
正确答案
解析
(Ⅰ)证明:由正方形的性质可知,且
,所以四边形
为平行四边形,从而
,又
面
,
面
,于是
面
,又
面
,而面
面
,所以
.
解题思路
(Ⅰ)证明:依据正方形的性质可知,且
,,从而
为平行四边形,则
,根据线面平行的判定定理知
面
,再由线面平行的性质定理知
.
易错点
找不到线面平行和线线平行的关系。
正确答案
(2)
解析
(Ⅱ)因为四边形,
,
均为正方形,所以
,且
,以
为原点,分别以
为
轴,
轴,
轴单位正向量建立,如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标
.而
点为
的中点,所以
点的坐标为
.
设面的法向量
.而该面上向量
,由
得
应满足的方程组
,
为其一组解,所以可取
.设面
的法向量
,而该面上向量
,由此同理可得
.所以结合图形知二面角
的余弦值为
.
考查方向
解题思路
因为四边形,
,
均为正方形,所以
,且
,可以建以
为原点,分别以
为
轴,
轴,
轴单位正向量的平面直角坐标系,写出相关的点的坐标,设出面
的法向量
.由
得
应满足的方程组
,
为其一组解,所以可取
.同理
的法向量
.所以结合图形知二面角
的余弦值为
.
易错点
找不到二面角的平面角,计算能力弱.
已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
17.求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率
18.已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所
需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望)
正确答案
(1)
解析
(Ⅰ)记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件.
.
解题思路
(Ⅰ)依据题目所给的条件可以先设“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件.得出
.
易错点
计算事件发生的概率错误
分布列表示不出来,求相应的概率时错误,不会求数学期望。
正确答案
(2).
解析
(Ⅱ)的可能取值为
.
.
.
.
故的分布列为
.
考查方向
解题思路
(Ⅱ)的可能取值为
.依此求出各自的概率
,列出分布列,求出期望
.
易错点
分布列表示不出来,求相应的概率时错误,不会求数学期望。
设椭圆E的方程为
,点O为坐标原点,点
A的坐标为
,点B的坐标为
,点M在线段AB上,满足
,直线OM的斜率为
.
23.求E的离心率e;
24.设点C的坐标为,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为
,求E的方程
正确答案
(I)
解析
(Ⅰ)由题设条件知,点的坐标为
,又
,从而
,进而得
,故
.
考查方向
解题思路
(Ⅰ)由题设条件,可得点的坐标为
,利用
,从而
,进而得
,算出
.
易错点
椭圆方程相关性质、概念、公式记忆错误,计算能力弱
正确答案
解析
(Ⅱ)由题设条件和(Ⅰ)的计算结果可得,直线的方程为
,点
的坐标为
,设点
关于直线
的对称点
的坐标为
,则线段
的中点
的坐标为
.又点
在直线
上,且
,从而有
解得
,所以
,故椭圆
的方程为
.
考查方向
1.椭圆的离心率;2.椭圆的标准方程;3.点点关于直线对称的应用.
解题思路
由题设条件和(Ⅰ)的计算结果知,直线的方程为
,得出点
的坐标为
,设点
关于直线
的对称点
的坐标为
,则线段
的中点
的坐标为
.利用点
在直线
上,以及
,解得
,所以
,从而得到椭圆
的方程为
.
易错点
圆锥曲线的相关性质、概念、公式记忆错误,计算能力弱
设函数.
25.讨论函数在
内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;
26.记,求函数
在
上的最大值D;
27.在(Ⅱ)中,取,求
满足
时的最大值.
正确答案
(Ⅰ)极小值为
解析
(Ⅰ),
.
,
.
因为,所以
.
①当时,函数
单调递增,无极值.
②当时,函数
单调递减,无极值.
③当,在
内存在唯一的
,使得
.
时,函数
单调递减;
时,函数
单调递增.
因此,,
时,函数
在
处有极小值
.
考查方向
解题思路
(Ⅰ)将代入
为
,
.
求导得,
.因为
,所以
.按
的范围分三种情况进行讨论:①当
时,函数
单调递增,无极值.②当
时,函数
单调递减,无极值.③当
,在
内存在唯一的
,使得
.
时,函数
单调递减;
时,函数
单调递增.因此,
,
时,函数
在
处有极小值
.
易错点
函数求导错误,分类讨论能力弱,计算能力弱
正确答案
解析
:
(Ⅱ)时,
,
当时,取
,等号成立,
当时,取
,等号成立,
由此可知,函数在
上的最大值为
.
考查方向
解题思路
当时,依据绝对值不等式可知
,从而能够得出函数
在
上的最大值为
.
易错点
绝对值不等式性质运用错误,计算错误,不会合理放缩不等式
正确答案
(Ⅲ)1.
解析
(Ⅲ),即
,此时
,从而
.
取,则
,并且
.
由此可知,满足条件
的最大值为1.
考查方向
解题思路
(Ⅲ)当,即
,此时
,从而
.依据式子特征取
,则
,并且
.由此可知,
满足条件
的最大值为1
易错点
平均值不等式的性质,计算能力弱