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理科数学 德州市2016年高三第一次联合考试
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理科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2、填空题
11
12
13
14
15
3、简答题
16
17
18
19
20
21
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单选题 本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1.定义集合，若集合集合，则集合的子集个数为(     )

A

B3

C4

D无数个

正确答案

C

解析

,所以集合的子集个数为个.

考查方向

本题主要考查新定义问题、集合的运算、子集的个数等问题，意在考查考生对于新定义的理解能力。

解题思路

1.先根据题中给出的新定义求出；2.根据子集的个数求出答案。

易错点

1.不理解题中给出的新定义；2.记不住子集的个数是多少个导致出错（忘记空集）

知识点

元素与集合关系的判断
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2. 为虚数单位，复数的共轭复数为(     )

A1

Bi

C-1

D-i

正确答案

A

解析

，所以复数的共轭复数1.

考查方向

本题主要考查复数四则运算及共轭复数的概念等知识，意在考查考生的运算求解能力.

解题思路

1.先用复数的运算法则得到；2.然后得到其共轭复数为1。

易错点

1. 不会求；2.不知道实数的共轭复数是实数本身。

知识点

复数的基本概念复数代数形式的混合运算
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4. 命题；命题是”关于 的不等式的解集是实数集的充分必要条件，则下面结论正确的是（   ）

A是假命题

B是真命题

C是假命题

D是假命题

正确答案

C

解析

对于命题， 因此命题是真命题；

对于命题，”关于 的不等式的解集是实数集的充分必要条件是或，即，所以是”关于 的不等式的解集是实数集的充分不必要条件，因此命题是假命题；是假命题；是真命题.

考查方向

本题主要考查充要条件，简易逻辑等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和转化与化归的能力．

解题思路

1.先判断命题p，q的真假；2.利用复合命题真假的判断方法判断即可。

易错点

1.不会判断命题p的真假；2.不知道的解集是实数集对应a的取值范围是什么

知识点

命题的真假判断与应用含有逻辑联结词命题的真假判断
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的中位数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x＋y的值为(　　)

A168

B169

C8

D9

正确答案

D

解析

由题意得，甲班学生成绩的中位数为83，则＝83－80＝3，乙班学生成绩的平均数是86，则⇒，故x＋y＝9.

考查方向

本题主要考查茎叶图、中位数、平均数等知识，意在考查考生对于数据的处理能力和运算求解能力。

解题思路

1.先根据甲班的中位数求出x=3;2.利用平均数求出，即可得到答案。

易错点

1.不会读取茎叶图中的信息；2.运算求解出错。

知识点

茎叶图
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5. 已知变量满足约束条件若目标函数 (其中)仅在点(1，1)处取得最大值，则的取值范围为 (     )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由约束条件表示的可行域如图所示，作直线l：ax＋y＝0，过点(1，1)作l的平行线l′，则直线l′介于直线x＋2y－3＝0与直线y＝1之间，

因此，－＜－a＜0，即0＜a＜.

考查方向

本题主要考查线性规划，直线的斜率等知识，意在考查考生的数形结合能力和转化与化归的能力。

解题思路

1.先作出可行域； 2. 作直线l：ax＋y＝0，过点(1，1)作l的平行线l′，则直线l′介于直线x＋2y－3＝0与直线y＝1之间，即可得到答案。

易错点

1.可行域画错； 2.不会将题中给出的条件目标函数 (其中)仅在点(1，1)处取得最大值转化；

知识点

其它不等式的解法
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6． 设 为正数， ，则 (    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由得.

又

即，所以.

由不等式成立的条件，得，所以

考查方向

本题主要考查基本不等式的知识，意在考查考生的转化能力和化归的能力.

解题思路

1.先根据基本不等式转化题中给出的条件；后得到；2.后根据基本不等式成立的条件即可得到答案。

易错点

1.看不出与之间的内在联系是什么；2.不会变形。

知识点

利用基本不等式求最值平均值不等式
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7. 如图是函数在区间上的图象，为了得到的图象，只要将函数的图象上所有的点(　　)

A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

B向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变

C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

D向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变

正确答案

D

解析

由图象可知A＝1，T＝－＝π，∴ω＝＝2.

∵图象过点，且在函数的单调递减区间上，

∴sin＝0，∴

∴φ＝＋2kπ，k∈Z.   ∴＝sin＝sin.

故将函数= sin向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sin x的图象．

考查方向

本题主要考查已知三角函数的图像求解析式和三角函数的图象性质及图象变换等知识，意在考查考生读图、识图的能力和图像变换的能力。

解题思路

1.先根据图像求出＝sin＝sin.2.根据图像变换到向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变得到y＝sin x，即可得到答案。

易错点

1.不会根据图像求解析式中的φ＝＋2kπ，k∈Z.2.在将＝sin的图像平移不注意对x而言，而误选B.

知识点

角的变换、收缩变换
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8. 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（   ）

A18

B24

C36

D72

正确答案

C

解析

由于均分8人，所以甲、乙两个部门各4人。完成这件事情分两类：第一类，甲部门有两名电脑编程人员，有种不同的分配方案；第二类，甲部门有一名电脑编程人员，有种不同的分配方案。故共有36种不同的分配方案.选C

考查方向

本题主要考查由限制条件的排列组合问题的解法，意在考查考生的分类讨论思想和理解问题解决问题的能力.

解题思路

1.先根据甲部门有几名电脑编程人员分为两类；

2.然后分别求每一类由多少种不同的分配方案，然后相加即可。

易错点

1.不知道该如何进行分配导致混乱；

2.意识不到两个部门的人员组成是什么样的。

知识点

排列、组合及简单计数问题
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9. 如图，菱形的边长为2，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为(     )

A3

B

C6

D9

正确答案

D

解析

由平面向量的数量积的几何意义知，等于与在方向上的投影之积,所以

考查方向

本题主要考查平面向量的数量积和向量的线性运算等知识，意在考查考生的转化与化归和运算求解能力.

解题思路

1.先将所求的函数的最大值的情况找到；2.利用平面向量基本定理将，后带入题中给出的数据计算即可。

易错点

1.不知道最大是什么情况；2.不会将所求的向量用已知的向量去表示。

知识点

向量的几何表示平面向量数量积的运算
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10．已知且，函数设函数的最大值为,最小值为,则 (     )．

A

B

C

D

正确答案

A

解析

设则为奇函数，所以

所以

考查方向

本题主要考查函数的奇偶性、对数的运算性质等知识，意在考查考生的运算求解能力和转化能力。

解题思路

1.先将函数化简为两个奇函数和一个常数函数的和的形式；2.利用奇函数在对称的区间上单调性相同得到后即可得到。

易错点

1.不知道将函数转化为若干奇函数的和的形式，导致无法处理题中给出的函数；2.不知道是奇函数，导致找不到解决问题的突破点。

知识点

函数单调性的判断与证明函数性质的综合应用导数的几何意义
填空题 本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

11．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为          .

正确答案

2500

解析

考查方向

本题主要考查程序框图，等差数列求和等知识，意在考查考生的运算求解能力和逻辑推理能力.

解题思路

根据程序框图发现是一个等差数列前50项的和，后利用等差数列求和公式求和即可。

易错点

1.程序运行不完，导致求成前49项的和；2．不能发现是和等差数列的前n项和有关。

知识点

程序框图
1
题型：填空题
|
分值: 5分

12. 已知在正方体 中，点 是棱 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为        .

正确答案

解析

以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则,.

平面，则是平面的一个法向量.

设直线 与平面 所成角为，则.

考查方向

本题主要考查直线与平面所成的角，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力.

解题思路

1.建立空间直角坐标系，写出所需各点的坐标；2.求平面的法向量和直线的方向向量后带入公式求解即可。

易错点

1.直线与平面所成的角的公式记错，导致求成；2.利用向量法求点的坐标时出错。

知识点

线面角和二面角的求法
1
题型：填空题
|
分值: 5分

14．椭圆的右焦点为，双曲线的一条渐近线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率为 ____________.

正确答案

解析

不妨设双曲线的一条渐近线的渐近线为，记椭圆的左焦点为，依题意得四边形为矩形，是正三角形，，，椭圆的离心率为.

考查方向

本题主要考查椭圆的定义、几何性质，双曲线的定义及简单几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力和转化的能力.

解题思路

1.先求出双曲线的渐近线方程；2.根据得到四边形为矩形，是正三角形，，，后利用椭圆的定理即可得到其离心率。

易错点

1.对于题中给出的条件不知道该如何使用；2.考虑不到椭圆的定义导致运算很复杂。

知识点

椭圆的定义及标准方程双曲线的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13．若，则关于的不等式的解集为___________

正确答案

解析

根据绝对值的意义，表示数轴上的对应点到和的对应点的距离之和，故最小值为，所以对满足故关于的不等式的解集为.

考查方向

本题主要考查绝对值不等式的几何意义，绝对值三角不等式等知识，意在考查考生的数形结合能力和转化与化归的能力。

解题思路

1.先根据绝对值的几何意义得到的最小值为，2.所以所求不等式的解集即可得到。

易错点

1.不会将题中要求的结构与题中给出的结构之间建立联系；2.对于解集为空集存在怀疑。

知识点

绝对值不等式
1
题型：填空题
|
分值: 5分

15．对于函数给出定义：

设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.

某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算=                .

正确答案

2016

解析

,,,得.

,所以的“拐点”即对称中心为，所以.

设，

则，

两式相加得.

考查方向

本题主要考查给定信息的处理能力，导数, 函数的对称性，倒序相加求和等知识，意在考查考生理解问题解决问题的能力.

解题思路

1.先根据题中给出的信息求出的拐点；2.根据倒序相加法求出所求的式子的值。

易错点

1.不理解题中给出的新概念拐点是什么导致无法入手；2.不会根据对称中心转化为倒序相加求和。

知识点

函数性质的综合应用数列与函数的综合
简答题（综合题） 本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

在中，角所对的边分别为，.

16.求角的大小；

17.若，的面积为，求及的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1) ;

解析

（Ⅰ）

即

又，

考查方向

本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等知识，意在考查考生的运算求解能力和转化与化归能力.

解题思路

根据题中给出等式求出进而求出角C；

易错点

对于正弦定理的反复转化不明白。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)

解析

（Ⅱ）

由正弦定理，得

且

，由正弦定理得：

解得

考查方向

本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等知识，意在考查考生的运算求解能力和转化与化归能力.

解题思路

先根据余弦定理求出后利用正弦定理得到后利用面积相等得到等量关系求解即可。

易错点

不知道该如何使用的面积为这一条件；

1
题型：简答题
|
分值: 12分

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝3，BC＝2AB＝2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．

20.若，在折叠后的线段上是否存在一点，且，

使得∥平面ABEF?若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；

21.求三棱锥A－CDF的体积的最大值，并求此时二面角E－AC－F的余弦值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（Ⅰ）因为平面平面，平面∩平面,

所以平面，又平面,

所以

在折起过程中，,同时∩，

所以平面

以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

若时，则各点坐标如下：，, , .

可得平面的法向量．

因为，所以

所以,

故.

则,解得.

所以线段上存在一点，且，使得∥平面ABEF.

考查方向

本题主要考查空间线面平行与垂直的判定与性质，几何体的体积，二面角等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力.

解题思路

先根据题中给出的条件证明平面，然后建立空间直角坐标系求解即可；

易错点

1.不知道折叠前后变的量和不变的量有哪些?2.不会根据题中的条件找到建立坐标系的条件。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ）设，所以，,

所以，

所以当时，有最大值，且最大值为.

可得, , ，.

所以,,,.

设平面的一个法向量为,

则,即.

取，则,

设平面的一个法向量为,

则，即

同理可得

所以

所以二面角E﹣AC﹣F的余弦值为.

考查方向

本题主要考查空间线面平行与垂直的判定与性质，几何体的体积，二面角等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力.

解题思路

设出变量后得到函数，然后求其最大值后得到想x的值，然后按照空间向量的知识求解即可。

易错点

1.不知道折叠前后变的量和不变的量有哪些?2.不会根据题中的条件找到建立坐标系的条件。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

2016年上半年，股票投资人袁先生同时投资了甲、乙两只股票，其中甲股票赚钱的概率为，赔钱的概率是；乙股票赚钱的概率为，赔钱的概率为.对于甲股票，若赚钱则会赚取5万元，若赔钱则损失4万元；对于乙股票，若赚钱则会赚取6万元，若赔钱则损失5万元.

18.求袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率；

19.试求袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票的总收益的分布列和数学期望.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（Ⅰ）袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率为

考查方向

本题主要考查相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列及期望等知识，意在考查考生的应用能力及其理解问题的能力.

解题思路

直接根据题意求即可；

易错点

1.对于题中给出的信息处理出错；2.对于随机变量取值对应的概率出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（（2）的分布列为

解析

（Ⅱ）用万元表示袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票的总收益，则的所有可能取值为

所以，的分布列为

的数学期望为

考查方向

本题主要考查相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列及期望等知识，意在考查考生的应用能力及其理解问题的能力.

解题思路

先设出随机变量后写出其取值，然后求其取各个值的概率列分布列带入期望公式即可。

易错点

1.对于题中给出的信息处理出错；2.对于随机变量取值对应的概率出错。

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知数列的前和为，且；数列是公比大于1的等比数列，且满足，.

22.分别求数列，的通项公式；

23.若，求数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），；

解析

（Ⅰ）时，

时，，

又因为，所以.

设等比数列的公比为，

由已知，即，

解得，或（舍去，因为）

所以，

考查方向

本题主要考查已知数列的前n项和求通项公式、等差数列及等比数列，并项法求和，错位相减法求和等知识，意在考查考生的运算求解能力和分类讨论的思想方法.

解题思路

先利用已知数列的前n项和求通项公式求出，利用等比数列基本量求出；

易错点

1.不会利用数列的前n项和求通项公式；2.对于数列不知道该用什么方法求和或错位相减求和求错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ），

设数列的前项和为，数列的前项和为.

当为偶数时，

当为奇数时，

-

           1

则      2

1-2得

所以

所以，

考查方向

本题主要考查已知数列的前n项和求通项公式、等差数列及等比数列，并项法求和，错位相减法求和等知识，意在考查考生的运算求解能力和分类讨论的思想方法.

解题思路

先由第（1）问得到，后利用分组求和和错位相减求和即可。

易错点

1.不会利用数列的前n项和求通项公式；2.对于数列不知道该用什么方法求和或错位相减求和求错。

1
题型：简答题
|
分值: 13分

抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.

24.求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

25.设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；

26.当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）焦点坐标为，准线方程为；

解析

（Ⅰ）由抛物线的方程（）得，,

焦点坐标为，准线方程为．

考查方向

本题主要考查抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

根据抛物线的几何性质直接得到即可；

易错点

无

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）略；

解析

（Ⅱ）证明：设直线的方程为，直线的方程为．

点和点的坐标是方程组的解．将②式代入①式得，于是，故　③

又点和点的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得．于是，故．

由已知得，，则．　　⑥----------------6分

设点的坐标为，由，则．

将③式和⑥式代入上式得，即．

∴线段的中点在轴上．-

考查方向

本题主要考查抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

1

先根据条件求出A,B的横坐标后带入求出M的横坐标即可得到答案；

易错点

不会求解点A,B的坐标，运算量大；

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）

解析

（Ⅲ）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为．

由③式知，代入得．

将代入⑥式得，代入得．

因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为

，．

于是，，

．

因为钝角且、、三点互不相同，故必有．

求得的取值范围是或．

又点的纵坐标满足，故当时，；当时，．即

考查方向

本题主要考查抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

先求出抛物线的方程，然后根据第（2）问求出点A,B的坐标，然后将∠PAB为钝角转化为向量求解即可。

易错点

不会转化题中给出的条件∠PAB为钝角，导致做不出正确答案。

1
题型：简答题
|
分值: 14分

已知函数.

27. 判断函数在上的单调性；

28. 若恒成立, 求整数的最大值；

29.求证：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）上是减函数；

解析

（Ⅰ）

 上是减函数

考查方向

本题主要考查函数的单调性，函数的最值，恒成立问题的转化，构造新函数，证明不等式等知识，意在考查考生综合解决问题的能力.

解题思路

直接求导后判断出后即可得到答案；

易错点

导后的函数不会变形为，导致不会判断其正负；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

3；

解析

（Ⅱ），即的最小值大于.

令，则上单调递增,

又 ，存在唯一实根, 且满足

，

当时，当时，

∴，故正整数的最大值是3

考查方向

本题主要考查函数的单调性，函数的最值，恒成立问题的转化，构造新函数，证明不等式等知识，意在考查考生综合解决问题的能力.

解题思路

先分离参数后变为，下面求函数的最小值即可；

易错点

无

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）略

解析

（Ⅲ）由(Ⅱ)知，∴-

令, 则

∴

∴

考查方向

本题主要考查函数的单调性，函数的最值，恒成立问题的转化，构造新函数，证明不等式等知识，意在考查考生综合解决问题的能力.

解题思路

根据第（2）问放缩，然后构造题中给出的不等式即可。

易错点

不会利用放缩法得到，进而导致没有思路求第（3）问。

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