理科数学 西城区2016年高三期末试卷
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设集合,集合,若,则实数的取值范围是(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

因为集合,集合,且,所以,解得,即实数的取值范围是;所以选A选项。

考查方向

本题主要考查了集合的运算,在近几年的各省高考题中出现的频率较高,常与函数的定义域、值域、不等式的解集等知识交汇命题.

解题思路

1.判定的关系;

2.解不等式

易错点

本题易在求集合A的补集时出现错误,易忽视“大于”的否定是“不大于”,而不是“小于”.

知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.下列函数中,值域为的偶函数是(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

因为的值域为,所以排除选项A;因为,即是奇函数,所以排除选项B;因为的值域为,所以排除选项D;因为的值域为,且,即为偶函数,所以选C选项。

考查方向

本题主要考查了函数的值域和函数的奇偶性。

解题思路

通过逐一验证函数的值域和奇偶性进行排除得到答案。

易错点

本题易在判定选项D的值域时出现错误,易忽视,而不是

知识点

函数的值域函数奇偶性的判断
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.在数列中,“对任意的”是“数列为等比数列”的(   )

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

当数列的通项为时,满足,但数列不是等比数列,即“对任意的”不是“数列为等比数列”的充分条件;当数列为等比数列时,由等比中项得到,即“对任意的”是“数列为等比数列”的必要条件,即“对任意的”是“数列为等比数列”的必要不充分条件;所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了充分条件、必要条件的判定,在近几年各省的高考题中出现的频率较高,常与函数的单调性、奇偶性、不等式的性质或解集、立体几何、解析几何、数列、概率等知识交汇命题.

解题思路

1.举特例(),说明即“对任意的”不是“数列为等比数列”的充分条件;

2.再由等比中项,判定“对任意的”是“数列为等比数列”的必要条件;

3.下结论。

易错点

本题易在判定是否为充分条件时出现错误,易忽视”数列为常数列0“的情形。

知识点

充要条件的判定等比数列的基本运算
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6. 设满足约束条件 若的最大值与最小值的差为7,则实数(     )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

化成,作出可行域和目标函数基准直线(如图所示),

当直线向左上方平移时,直线轴上的截距增大,即增大;显然,由图象,得当直线过点时,取得最大值,当直线过点时,取得最小值;由题意,得,解得所以选C选项。

考查方向

本题主要考查了简单的线性规划问题.

解题思路

1.作出表示的可行域和目标函数的基准直线

2.由图象判定最优解与最优点;

3.作差,求值.

易错点

本题易在作可行域时出现错误,易忽视当无可行域的情形。

知识点

其它不等式的解法
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8. 如图,正方形的边长为6,点分别在边上,且.如果对于常数,在正方形的四条边上,有且只有6个不同的点P使得成立,那么的取值范围是(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

轴,轴建立直角坐标系(如图所示),则

(1)若点上,设,所以,所以,因为,所以,所以当时有唯一解,当时有两解;

(2)若点上,设,所以,所以,因为,所以,所以当时有唯一解,当时有两解;

(3)若点上,设,所以,所以,因为,所以,所以当时有唯一解,当时有两解;

(4)若点上,设,所以,所以,因为,所以,所以当时有唯一解,当时有两解;

综上所述,的取值范围是

考查方向

本题主要考查了平面向量数量积的运算,在近几年的各省的高考题中出现的频率较高,常与三角函数、数列、解析几何等知识交汇命题.

解题思路

1.建立直角坐标系,写出点的坐标;

2.分别讨论点上,得到关于的二次函数;

3.逐段得到的范围及相应的解;

4.整合讨论结果,得到所求范围。

易错点

本题易在对的取值范围出现错误,易忽视

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.设命题p:“若,则”,命题q:“若,则”,则(   )

A”为真命题

B”为假命题

C”为假命题

D以上都不对

正确答案

B

解析

,则,故命题为假命题;当,则,故命题为假命题;由真值表可以判定为假命题,为假命题,所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了简单命题与复合命题的真假判定,在近几年各省的高考题中出现的频率较高,常与函数的单调性、奇偶性、不等式的性质或解集、立体几何、解析几何、数列、概率等知识交汇命题.

解题思路

1.判定简单命题为假命题,为假命题;

2.由真值表判定复合命题的真假。

易错点

本题易在判定命题的真假时出现错误,易忽视异号的情形。

知识点

命题的真假判断与应用
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体的表面积是(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由三视图,可知该几何体的直观图如图所示,面与面均是边长为2的正方形,面积为4,面是边长为1,2的矩形,面积为2,面是全等的直角梯形,两底为1,2,高为2,面积为,面是一个矩形,一边为2,另一边为,面积为;所以该几何体的表面积为

考查方向

本题主要考查了几何体的三视图和几何体的表面积.

解题思路

1.根据几何体的三视图,画出该几何体的直观图;

2.分别判定几何体各面的形状求其面积;

3.求和,即得该几何体的表面积。

易错点

本题易在求侧面的面积时出现错误,易忽视是直角边为1,2的直角三角形。

知识点

组合几何体的面积、体积问题简单空间图形的三视图
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7. 某市乘坐出租车的收费办法如下:

相应系统收费的程序框图如图所示,其中(单位:千米)为行驶里程,(单位:元)为所收费用,用[x]表示不大于x的最大整数,则图中①处应填(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意,得,即

结合程序框图,得选项D满足条件;所以选D选项.

考查方向

本题主要考查了程序框图的条件结构,程序框图的考查在近几年的高考题中程序的频率较高,常与数列的定义域、值域、不等式的解集等知识交汇命题.

解题思路

1.由收费标准的文字叙述,得到关于的分段函数表达式;

2.根据分段函数填写程序框图。

易错点

本题易在“对于其中不足千米的部分”理解出现错误,易忽视“四舍五入”的收费标准.

知识点

程序框图
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

9. 已知复数满足,那么____.

正确答案

解析

由题意,得,所以

考查方向

本题主要考查了复数的四则运算.

解题思路

由题意,得,所以

易错点

本题易在分母实数化时出现错误,易忽视分母的共轭复数.

知识点

复数代数形式的乘除运算
1
题型:填空题
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分值: 5分

10.在中,角ABC所对的边分别为abc. 若,则____.

正确答案

解析

因为,所以,又因为,所以由余弦定理,得

,所以

考查方向

本题主要考查了余弦定理的应用.

解题思路

1.由三角形的“等角对等边”得到

2.由余弦定理求得

易错点

本题易在计算结果时出现错误,要加强计算的准确性.

知识点

余弦定理
1
题型:填空题
|
分值: 5分

11.双曲线C的渐近线方程为_____;设为双曲线C的左、右焦点,PC上一点,且,则____.

正确答案

解析

因为双曲线C的焦点在轴上,且,所以该双曲线的渐近线方程为;因为,所以点在双曲线的左支上,则有双曲线的定义,得,解得

考查方向

本题主要考查了双曲线的渐近线方程和双曲线的定义的应用.

解题思路

因为双曲线C的焦点在轴上,且,所以该双曲线的渐近线方程为;因为,所以点在双曲线的左支上,则有双曲线的定义,得,解得

易错点

本题易在判定点在双曲线的左支上时出现错误,易忽视

知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型:填空题
|
分值: 5分

12.如图,在中,,点的中点,以为直径的半圆与分别相交于点,则____; ____.

正确答案

解析

作出圆的另外半圆,连接,因为是圆的切线,是圆的割线,由切割线定理,得,即,即,解得;因为是圆的直径,所以,在中,由射影定理,得,两式相比,得

考查方向

本题主要考查了圆的切割线定理、直角三角形的射影定理的应用.

解题思路

作出圆的另外半圆,连接,因为是圆的切线,是圆的割线,由切割线定理,得,即,即,解得;因为是圆的直径,所以,在中,由射影定理,得,两式相比,得

易错点

本题易在利用切割线定理求时出现错误,易忽视,而不是

知识点

与圆有关的比例线段
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察,要求每个兴趣小组的带队教师至多2人,但其中甲教师和乙教师均不能单独带队,则不同的带队方案有____种。(用数字作答)

正确答案

54

解析

第一类,把甲乙看成一个整体,和另外的3人分配到3个小组中,有种不同的分配方案;第二类,先把另外的3人分配到3个小组,再把甲乙分配到其中2个小组中,有种不同的分配方案;根据分类计数原理得共有种不同的分配方案.

考查方向

本题主要考查了排列、组合的实际应用.

解题思路

1.把甲乙看成一个整体,和另外的3人分配到3个小组中;

2.先把另外的3人分配到3个小组,再把甲乙分配到其中2个小组中;

3.根据分类计数原理进行求解.

易错点

本题易在把甲乙看成一个整体时出现错误,易出现“”的错误结果。

知识点

排列、组合及简单计数问题
1
题型:填空题
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分值: 5分

14. 某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系 且该食品在的保鲜时间是16小时.

已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论:

①该食品在的保鲜时间是8小时;

②当时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少;

③到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内;

④到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间.

其中,所有正确结论的序号是____.

正确答案

①④

解析

因为某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系 且该食品在的保鲜时间是16小时.所以,即,解得,所以;因为当时,,所以①正确;因为当时,保鲜时间恒为64小时,当时,该食品的保鲜时间t随着增大而逐渐减少,所以②错误;由图象,得:当到此日12时,温度超过12度,此时的保鲜时间不超过1小时,所以到了此日13时,甲所购买的食品不在保鲜时间内,到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间;所以③错误,④正确;所以所有正确结论的序号是①④.

考查方向

本题主要考查了命题真假的判定与应用以及函数模型的应用.

解题思路

因为某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系 且该食品在的保鲜时间是16小时.所以,即,解得,所以;因为当时,,所以①正确;因为当时,保鲜时间恒为64小时,当时,该食品的保鲜时间t随着增大而逐渐减少,所以②错误;由图象,得:当到此日12时,温度超过12度,此时的保鲜时间不超过1小时,所以到了此日13时,甲所购买的食品不在保鲜时间内,到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间;所以③错误,④正确;所以所有正确结论的序号是①④.

易错点

本题易在判定在的变换规律时出现错误,易忽视“当时,保鲜时间恒为64小时”。

知识点

命题的真假判断与应用函数的图象
简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

15.已知函数

(Ⅰ)求的最小正周期和单调递增区间;

(Ⅱ)设,若函数为奇函数,求的最小值。

正确答案

(Ⅰ);(Ⅱ)

解析

试题分析:本题属于三角函数的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)直接按步骤来求,(2)要注意三角恒等变换的正确性;

(Ⅰ)

所以函数的最小正周期

所以函数的单调递增区间为

(注:或者写成单调递增区间为

(Ⅱ):由题意,得

因为函数为奇函数,且

所以,即

所以

解得,验证知其符合题意.

又因为

所以的最小值为

考查方向

本题主要考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质,三角函数的性质的考查主要分以下几类:

1.三角函数的定义域,

2.三角函数的单调性与最值,

3.三角函数的周期性,

4.三角函数的奇偶性或对称性.

解题思路

本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质,解题步骤如下:1.利用二倍角公式和配角公式将函数化成;2.利用正弦函数的周期公式求得函数的周期;3.利用整体思想和三角函数的单调性求其单调递增区间;4.由函数是奇函数,得到,再求角的取值。

易错点

1、第一问中的单调递增区间易错误写成集合的形式,或丢掉“”的注明;

2、第二问中易利用错误得到

知识点

函数奇偶性的性质三角函数的周期性及其求法正弦函数的单调性三角函数中的恒等变换应用
1
题型:简答题
|
分值: 14分

19.已知椭圆C:的离心率为,点在椭圆C上。

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点O为圆心的圆,满足此圆与相交两点(两点均不在坐标轴上),且使得直线 的斜率之积为定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由。

正确答案

(Ⅰ)

(Ⅱ)

解析

试题分析:本题属于解析几何的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)直接按照步骤来求,(2)要注意直线不存在斜率的特殊情况,(3)要注意计算结果去正确性

(Ⅰ)解:由题意,得

又因为点在椭圆上,

所以

解得

所以椭圆C的方程为

(Ⅱ)结论:存在符合条件的圆,且此圆的方程为

证明如下:

假设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为

当直线的斜率存在时,设的方程为

由方程组  得

因为直线与椭圆有且仅有一个公共点,

所以,即

由方程组  得

,则

设直线 的斜率分别为

所以

代入上式,得

要使得为定值,则,即,验证符合题意.

所以当圆的方程为时,圆与的交点满足为定值

当直线的斜率不存在时,由题意知的方程为

此时,圆的交点也满足

综上,当圆的方程为时,圆与的交点满足斜率之积为定值

考查方向

本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系的考查主要分以下几类:

1.直线与圆锥曲线的公共点个数问题,

2.弦长问题,

3.中点弦问题.

解题思路

本题考查直线与椭圆的位置关系,解题步骤如下:

1.利用待定系数法求出椭圆的标准方程;

2.假设存在,设出圆的方程与直线方程;

3.联立直线与椭圆的方程,化简得到关于的一元二次方程,利用判别式为0求得的关系;

4.联立直线与圆的方程,化简得到关于的一元二次方程,利用平面向量的数量积求解;

5.讨论直线斜率不存在的情况,得到结论。

易错点

1、第二问中,联立直线与圆的方程得到关于关于的一元二次方程后,要注意验证判别式为正值;

2、第二问中,不要忘记“直线无斜率”的特殊情况。

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型:简答题
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分值: 13分

16.甲、乙两人进行射击比赛,各射击4局,每局射击10次,射击命中目标得1分,未命中目标得0分。 两人4局的得分情况如下:

(Ⅰ)若从甲的4局比赛中,随机选取2局,求这2局的得分恰好相等的概率;

(Ⅱ)如果,从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局,记这2局的得分和为,求的分布列和数学期望;

(Ⅲ)在4局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,写出的所有可能取值.(结论不要求证明)

正确答案

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ)

解析

试题分析:本题属于概率与统计的基本问题,题目的难点是逐渐由易到难,(1)直接按照步骤来求,(2)要注意正确求出每个变量对应的概率,(3)要注意利用离散型随机变量的分布列的性质验证分布列的正确性。

(Ⅰ):记 “从甲的4局比赛中,随机选取2局,且这2局的得分恰好相等”为事件

由题意,得

所以从甲的4局比赛中,随机选取2局,且这2局得分恰好相等的概率为

(Ⅱ):由题意,的所有可能取值为

所以的分布列为:

所以

(Ⅲ)的可能取值为

考查方向

本题主要考查了离散型随机变量的分布列、期望与方差,离散型随机变量的分布列大体有以下几类:

1.两点分布,

2.二项分布,超几何分布.

解题思路

本题考查离散型随机变量的分布列、期望与方差,解题步骤如下:

1.利用古典概型的概率公式进行求解;

2.写出随机变量的所有可能取值,分别求出每个变量对应的概率;

3.列表得到随机变量的分布列;

4.根据数学期望公式求其期望;

5.列出可能取值。

易错点

第二问中每个随机变量的概率不完全正确,导致结果错误。

知识点

古典概型的概率离散型随机变量及其分布列、均值与方差众数、中位数、平均数极差、方差与标准差
1
题型:简答题
|
分值: 14分

17.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,侧面底面,, 分别为的中点,点在线段上。

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)若的中点,求证:平面

(Ⅲ)如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,求的值。

正确答案

(Ⅰ)证明略;

(Ⅱ)证明略;

(Ⅲ)

解析

试题分析:本题属于立体几何的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)直接按照步骤来求,(2)要注意判定定理的条件要全

(Ⅰ)证明:在平行四边形中,因为

所以

分别为的中点,得

所以

因为侧面底面,且

所以底面

又因为底面

所以

又因为平面平面

所以平面

(Ⅱ)证明:因为的中点,分别为的中点,

所以

又因为平面平面

所以平面

同理,得平面

又因为平面平面

所以平面平面

又因为平面

所以平面

(Ⅲ):因为底面,所以两两垂直,故以

分别为轴、轴和轴,如下图建立空间直角坐标系,

所以

,则

所以

易得平面的法向量

设平面的法向量为

, 得

因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等,

所以,即

所以

解得,或(舍).

考查方向

本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的转化、空间向量在立体几何中的运用;空间中线面位置关系的证明值域有以下几类:

1.线线间的平行或垂直,

2.面面间的平行或垂直,

3.线面间的平行或垂直;

空间向量在立体几何中的运用,主要分以下几类:

1.利用空间向量求异面直线的角,

2.利用空间向量求直线与平面所成的角,

3.利用空间向量求二面角,

4.利用空间向量求点到平面的距离.

解题思路

本题考查立体几何问题,解题步骤如下:

1.利用线面垂直的判定定理进行证明;

2.利用三角形的中位线得到线线平行,利用线面平行的判定定理得到线面平行;

3.利用面面平行的判定定理进行证明;

4.建立空间直角坐标系,利用三点共线设点,求出平面的法向量;5.利用两角相等求得比值。

易错点

1、第一、二问中,利用判定定理证明时,条件不全; 

2、第三问中写点的坐标出现错误。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
1
题型:简答题
|
分值: 13分

18.已知函数,函数,其中

(Ⅰ)如果函数处的切线均为,求切线的方程及的值;

(Ⅱ)如果曲线有且仅有一个公共点,求的取值范围。

正确答案

(Ⅰ)

(Ⅱ),或

解析

试题分析:本题属于导数的应用的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)直接按照步骤来求,(2)要注意作差构造新函数

(Ⅰ):求导,得

由题意,得切线l的斜率,即,解得

又切点坐标为,所以切线l的方程为

(Ⅱ):设函数

“曲线有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一

个零点”.

求导,得

① 当时,

,得,所以单调递增.

又因为,所以有且仅有一个零点,符合题意.

②当时,

变化时,的变化情况如下表所示:

所以上单调递减,在上单调递增,

所以当时,

有且仅有一个零点,符合题意.

③ 当时,

,解得

变化时,的变化情况如下表所示:

所以上单调递减,在上单调递增,

所以当时,

因为,且上单调递增,

所以

又因为存在

所以存在使得

所以函数存在两个零点,1,与题意不符.

综上,曲线有且仅有一个公共点时,的范围是,或

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的零点,导数作为一种工具,其应用主要分以下几类:

1.利用导数研究函数的单调性,

2.利用导数研究函数的极值、最值,

3.利用导数研究函数的零点个数,

4.利用导数研究不等式恒成立问题.

解题思路

本题考查导数的几何意义、导数在研究函数的应用,解题步骤如下:

1.求导,利用导数的几何意义得到等式,求出值和切线方程;

2.作差构造函数,将问题转化为函数有且只有一个零点;

3.求导,通过导函数的符号研究函数的单调性与极值;

4.通过研究极值的符号得到答案.

易错点

忽视新函数的定义域

知识点

函数零点的判断和求解导数的几何意义直线的一般式方程
1
题型:简答题
|
分值: 13分

20.在数字的任意一个排列A中,如果对于,有,那么就称为一个逆序对. 记排列A中逆序对的个数为

时,在排列B:3, 2, 4, 1中,逆序对有,则

(Ⅰ)设排列  3, 5, 6, 4, 1, 2,写出的值;

(Ⅱ)对于数字1,2,n的一切排列A,求所有的算术平均值;

(Ⅲ)如果把排列A:中两个数字交换位置,而其余数字的位置保持不变,那么就得到一个新的排列,求证:为奇数。

正确答案

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ)证明略。

解析

试题分析:本题属于新定义题目的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)直接按照步骤来求,(2)要注意分类讨论思想的应用

(Ⅰ)

(Ⅱ):考察排列 与排列

因为数对中必有一个为逆序对(其中),

且排列D中数对共有个,

所以

所以排列的逆序对的个数的算术平均值为

而对于数字1,2,n的任意一个排列A,都可以构造排列A1,且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为

所以所有的算术平均值为

(Ⅲ)证明:①当,即相邻时,

不妨设,则排列

此时排列与排列A相比,仅多了一个逆序对

所以

所以为奇数.

②当,即不相邻时,

假设之间有m个数字,记排列A

先将向右移动一个位置,得到排列A1

由①,知的奇偶性不同,

再将向右移动一个位置,得到排列A2

由①,知的奇偶性不同,

以此类推,共向右移动m次,得到排列Am

再将向左移动一个位置,得到排列Am+1

以此类推,共向左移动m+1次,得到排列A2m+1

即为排列

由①,可知仅有相邻两数的位置发生变化时,排列的逆序对个数的奇偶性发生变化,

而排列A经过次的前后两数交换位置,可以得到排列

所以排列A与排列的逆序数的奇偶性不同,

所以为奇数.

综上,得为奇数。

考查方向

本题主要考查了新定义的研究,对新定义问题的考查注意分以下几类:

1.与集合相关的新定义,

2.与数列相关的新定义,

3.与函数相关的新定义;与计数原理相关的新定义.

解题思路

本题考查新定义问题的考查,解题步骤如下:

1.直接写出的值;

2.考查考察排列 与排列中的数对个数;

3.研究排列与逆序的个数,进而求其平均值;

4.分情况讨论研究“仅有相邻两数的位置发生变化”

易错点

1、第二问中,对“逆序”理解不透彻,导致错误;

2、第三问中,不要忽视对的关系和的是否相邻进行讨论。

知识点

数列与函数的综合排列、组合的实际应用

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