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2017年高考真题 理科数学 (北京卷)
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理科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
2、填空题
9
10
11
12
13
14
3、简答题
15
16
17
18
19
20
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单选题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1.若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB=

A{x|–2x–1}

B{x|–2x3}

C{x|–1x1}

D{x|1x3}

正确答案

A

解析

集合与集合的公共部分为，故选A．

考查方向

本题主要考查集合的交集运算.

解题思路

利用数轴图求出交集即可.

易错点

对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2.若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是

A(–∞，1)

B(–∞，–1)

C(1，+∞)

D(–1，+∞)

正确答案

B

解析

，对应的点在第二象限，解得：

故选B．

考查方向

本题主要考查复数的乘法运算和复数的几何意义.

解题思路

利用复数的乘法运算化为a+bi的形式，再结合第二象限的点的特征，可求出a的范围.

易错点

深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的概念和得数的几何表示——复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点（a、b）及向量 是一一对应的，在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想，如纯虚数与虚轴上的点对应，实数与实轴上的点对应，复数的模表示复数对应的点到原点的距离

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4.若x，y满足  x≤3，

x + y ≥2，则x + 2y的最大值为

y≤x，

A1

B3

C5

D9

正确答案

D

解析

设，则，由下图可行域分析可知，在处取得最大值，代入可得，故选D．

考查方向

本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．

解题思路

画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．

易错点

解线性规划问题的基本方法是图解法。当B>0时，动直线在y轴上的截距越大，目标函数值越大，截距越小，目标函数值越小；反之，当B<0时，动直线在y轴上截距越大，目标函数值越小，截距越小，目标函数值越大。其中的系数的符号是解题的关键，也是同学们经常忽略的地方

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5.已知函数，则

A是奇函数，且在R上是增函数

B是偶函数，且在R上是增函数

C是奇函数，且在R上是减函数

D是偶函数，且在R上是减函数

正确答案

A

解析

奇偶性：的定义域是，关于原点对称，

由可得为奇函数．

单调性：函数是上的增函数，函数是上的减函数，根据单调性的运算，增函数减去减函数所得新函数是增函数，即是上的增函数．综上选A

考查方向

本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．

解题思路

由已知得f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，为减函数，结合“增”-“减”=“增”可得答案．

易错点

函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x都有，则为奇函数；如果对定义域内任意x都有，则为偶函数，如果对定义域内存在使，则不是奇函数；如果对定义域内存在使，则不是偶函数。

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为

A3

B2

C2

D2

正确答案

B

解析

如下图所示，在四棱锥中，最长的棱为，

所以，故选B．

考查方向

立体几何求图形中的距离问题研究．

解题思路

根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．

易错点

在由三视图还原空间几何体时，要根据三个视图综合考虑，根据三视图的规则，可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为实线。在还原几何体形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为

A2

B

C

D

正确答案

C

解析

当时，成立，进入循环，此时，；

当时，成立，继续循环，此时，；

当时，成立，继续循环，此时，；

当时，不成立，循环结束，输出．

故选C．

考查方向

本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

解题思路

由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

易错点

对循环结构中控制条件理解存在偏差

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6.设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

由于，是非零向量，“存在负数，使得．”根据向量共线基本定理可知与共线，由于，所以与方向相反，从而有，所以是充分条件。反之，若，与方向相反或夹角为钝角时，与可能不共线，所以不是必要条件。综上所述，可知”是“”的充分不必要条件，所以选A．

考查方向

本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

解题思路

，为非零向量，存在负数，使得，所以与方向相反，可得

．反之不成立，非零向量与的夹角为钝角，满足

，而不成立．即可判断出结论．

易错点

对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是

（参考数据：lg3≈0.48）

A1033

B1053

C1073

D1093

正确答案

D

解析

由于，

所以，故选D．

考查方向

本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题．

解题思路

根据对数的性质：，可得：，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．

易错点

对数的运算性质

填空题 本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

9.若双曲线的离心率为，则实数m=_______________.

正确答案

2

解析

∵双曲线的离心率为

∴

∴

∵，，

∴

考查方向

本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．

解题思路

利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．

易错点

双曲线中a,b,c之间的关系.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

10.若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=__________.

正确答案

1

解析

∵是等差数列，，，

∴公差

∴

∵为等比数列，，

∴公比

∴

故

考查方向

本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．

解题思路

利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．

易错点

等差等比数列的通项公式

1
题型：填空题
|
分值: 5分

13.能够说明“设a，b，c是任意实数.若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________.

正确答案

，，

解析

由题意知，，均小于，所以找到任意一组负整数，满足题意即可．

考查方向

本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．

解题思路

设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一

易错点

无

1
题型：填空题
|
分值: 5分

11.在极坐标系中，点A在圆，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为        .

正确答案

1

解析

把圆改写为直角坐标方程，化简为，它是以为圆心，1为半径的圆。画出图形，连结圆心与点，交圆于点，此时取最小值，点坐标为，．

考查方向

本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，难度不大．

解题思路

先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．

易错点

极坐标方程与直角坐标方程的互化

1
题型：填空题
|
分值: 5分

12.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称。若，=      .

正确答案

解析

∵因为角和角的终边关于轴对称

∴，

∴

考查方向

本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题

解题思路

根据角的对称得到，，以及两角差的余弦公式即可求出

易错点

两角差的余弦公式

1
题型：填空题
|
分值: 5分

14.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标学科&网分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。

①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________。

②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________。

正确答案

①   ②

解析

①设线段的中点为，则，其中．

因此只需比较，，三个点纵坐标的大小即可．

②由题意，，，故只需比较三条直线，，的斜率即可．

考查方向

本题考查的知识点是函数的图象，分析出和的几何意义，是解答的关键．

解题思路

（1）若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Qi=Ai的综坐标+Bi的综坐标；进而得到答案．
（2）若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi为AiBi中点与原点连线的斜率；进而得到答案．

易错点

“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案

简答题（综合题） 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 13分

15.在△ABC中， =60°，c= a.

（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）若a=7,求△ABC的面积.

正确答案

(1)   (2)

解析

（1）

由正弦定理得：

（2）

为锐角

由得：

又

考查方向

本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题

解题思路

（1）根据正弦定理即可求出答案，

（2）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．

易错点

在利用正弦定理求角时，由于正弦函数在[0，π]内不严格单调，所以角的个数可以不唯一，这时应借助已知条件加以验证，务必做到不漏解、不多解.

1
题型：简答题
|
分值: 14分

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.

(I)求证：M为PB的中点；

(II)求二面角B-PD-A的大小；

(III)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。

正确答案

(1)见解析  (2) （3）

解析

（1）取、交点为，连结．

∵面

面

面面

∴

在中，为中点

∴为中点

（2）方法一：

取中点为，中点为，连结，

∵，∴

又面面

面面

∴面

以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标

可知，，，

易知面的法向量为

且，

设面的法向量为

可知

∴

由图可知二面角的平面角为锐角

∴二面角大小为

方法二：

过点作，交于点，连结

∵平面，∴，

∴平面，∴，

∴即为二面角的平面角

，可求得

∴

（3）方法一：

点，

∴

由（2）题面的一个法向量

设与平面所成角为

∴

方法二：

记，取中点，连结，，

取中点，连，易证点是中点，∴

∵平面平面，，

∴平面

∴平面

连结，，

∴

∵，，，由余弦定理知

∴，∴

设点到平面的距离为，

又，求得

记直线与平面所成角为

∴

考查方向

本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题

解题思路

（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；

（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B-PD-A的大小；

（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

易错点

空间角的求解往往与几何体的结构特征综合在一起进行考查，所以应该首先考虑定义法，即利用定义作出空间角的平面角，然后再求解。作出线面角与二面角的平面角大多要利用直线和平面垂直，所以首先要结合几何体的结构特征，寻找线面垂直关系，如果几何体中的线面垂直关系比较明显，可直接利用定义法去求解；如果线面垂直关系不明显，则可以考虑利用向量法求解。

1
题型：简答题
|
分值: 14分

18.已知抛物线C：y2=2px过点P(1,1).过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B，其中O为原点.

（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.

正确答案

(1) 抛物线焦点为，准线方程为 (2)略

解析

（1）由抛物线过点，代入原方程得，

所以，原方程为．

由此得抛物线焦点为，准线方程为．

（2）法一：

∵轴

设，根据题意显然有

若要证为中点

只需证即可，左右同除有

即只需证明成立

其中

当直线斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线斜率存在且不为零．

设直线

联立有，

考虑，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以．

由韦达定理可知：……①，  ……②

将①②代入上式，有

即，所以恒成立

∴为中点，得证．

法二：

当直线斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线斜率存在且不为零．

设为点，过的直线方程为，设，显然，均不为零．

联立方程得，

考虑，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以．

由韦达定理可知：……①，  ……②

由题可得横坐标相等且同为，且，在直线上，

又在直线：上，所以，若要证明为中点，

只需证，即证，即证，

将代入上式，

即证，即，

将①②代入得，化简有恒成立，

所以恒成立，

所以为中点．

考查方向

本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，属于中档题．

解题思路

（1）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；（2）设过点的直线方程为，，根据韦达定理得到，根据中点的定义即可证明．

易错点

解决直线与圆锥曲线位置关系时，常规的方法是设出直线方程，然后与圆锥曲线方程联立，转化为方程的根与系数间的关系问题求解，因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在，②消元后的方程是否为一元二次方程，③一元二次方程是否有实根。

1
题型：简答题
|
分值: 13分

17.为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组个50名，一组服药，另一组不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标xy和的学科.网数据，并制成下图，其中“·”表示服药者，“+”表示为服药者.

（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；

（Ⅱ）从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；

（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）

正确答案

(Ⅰ)   (Ⅱ)1（Ⅲ）从图中服药者和未服药者指标数据的离散程度观察可知，服药者的方差大

解析

（1）50名服药者中指标的值小于60的人有15人，故随机抽取1人，此人指标 的值小于60的概率为

（2）的可能取值为：0，1，2

，，

0

1

2

（3）从图中服药者和未服药者指标数据的离散程度观察可知，服药者的方差大。

考查方向

本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

解题思路

（1）由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率．

（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．

易错点

解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同时发生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决 实际问题的能力

1
题型：简答题
|
分值: 13分

19.已知函数f(x)=excosx−x.

（Ⅰ）求曲线y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.

正确答案

(Ⅰ)   (Ⅱ) 时，有最大值；时，有最小值

解析

（Ⅰ）∵

∴

∴

∴在处的切线方程为，即．

（Ⅱ）令

∵时，

∴在上单调递减

∴时，，即

∴在上单调递减

∴时，有最大值；

时，有最小值．

考查方向

本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．

解题思路

（Ⅰ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；

（Ⅱ）求出f（x）的导数，再令，求出g（x）的导数，可得g（x）在区间的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．

易错点

一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件

1
题型：简答题
|
分值: 13分

20.设{an}和{bn}是两个等差数列，记

cn=max{b1–a1n,b2–a2n,…,bn–ann}(n=1,2,3,…)，

其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数．

（Ⅰ）若an=n，bn=2n–1，求c1,c2,c3的值，并证明{cn}是等差数列；

（Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，；或者存在正整数m，使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列．

正确答案

(Ⅰ) 见解析 (Ⅱ)见解析

解析

（Ⅰ）易知，，且，，．

∴，

，

．

下面我们证明，对且，都有．

当且时，

∵且，

∴．

因此，对且，，则．

又∵，

故对均成立，从而为等差数列．

（2）设数列与的公差分别为，，下面我们考虑的取值．

对，，…，，

考虑其中任意项（且），

下面我们分，，三种情况进行讨论．

（1）若，则

①若，则

则对于给定的正整数而言，

此时，故为等差数列．

②若，则

则对于给定的正整数而言，．

此时，故为等差数列．

此时取，则是等差数列，命题成立．

（2）若，则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数．

故必存在，使得当时，

则当时，（，）．

因此，当时，．

此时，故从第项开始为等差数列，命题成立．

（3）若，则此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数．

故必存在，使得当时，

则当时，（，）

因此，当时，．

此时

令，，

下面证明对任意正数，存在正整数，使得当时，．

①若，则取（表示不大于的最大整数）

当时，

，

此时命题成立．

②若，则取

当时，

．

此时命题也成立．

因此，对任意正数，存在正整数，使得当时，．

综合以上三种情况，命题得证．

考查方向

本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．

解题思路

（1）分别求得，，且，，，代入即可求得c1，c2，c3；由（，则，则，则．又∵，故对均成立

（2）由

，分类讨论，，三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得…是等差数列；设对任意正整数M，存在正整数m，使得，

，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当时，

易错点

无

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知道啦