理科数学 2013年高三试卷
精品
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单选题 本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.设全集U为实数集R,,则图中阴影部分所表示的集合是(      )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.已知双曲线的一条渐近线方程为,则此双曲线的离心率为(      )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

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知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.设为等差数列,公差为其前项和,若,则(      )

A18

B20

C22

D24

正确答案

B

解析

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知识点

由数列的前几项求通项
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.已知是非零向量,且满足,则的夹角是(      )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

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知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点. 若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=(      )

A

B

C4

D

正确答案

B

解析

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知识点

抛物线的定义及应用
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.函数的图象大致是(      )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

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知识点

函数的图象与图象变化
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.已知函数.若存在实数,使得,则的取值范围是(      )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.已知复数满足, 则(      )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

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知识点

虚数单位i及其性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.已知命题p:,命题q:,则(      )

A命题是假命题

B命题是真命题

C命题是假命题

D命题是真命题

正确答案

D

解析

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知识点

四种命题及真假判断
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.学校准备从5位报名同学中挑选3人,分别担任校运会中跳高、跳远和铅球3个不同项目比赛的志愿者.已知其中同学甲不能担任跳高比赛的志愿者,则不同的安排方法共有(      )

A24种

B36种

C48种

D60种

正确答案

C

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知识点

随机事件的关系
填空题 本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

12.在△中,内角的对边分别为,已知,则__________。

正确答案

解析

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知识点

任意角的概念
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.(其中)的展开式中,的系数相等,则__________。

正确答案

7

解析

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知识点

任意角的概念
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动.设顶点的轨迹方程是,则在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为__________。

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 5分

11.执行如图所示的程序框图,输出的值为__________。

正确答案

0

解析

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知识点

流程图的概念
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.观察下列各等式:,…,则的末四位数字为__________。

正确答案

3125

解析

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知识点

不等式的性质
简答题(综合题) 本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

16.已知函数

(I)求函数的最小正周期和值域;

(II)若为第二象限角,且,求的值.

正确答案

解:(Ⅰ )因为

所以函数的周期为,值域为

(Ⅱ )因为

所以 ,即

因为

又因为为第二象限角, 所以

所以原式

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 12分

18.如图,在四棱锥E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=1200

(1)求证:平面ADE⊥平面ABE ;

(2)求二面角A—EB—D的大小的余弦值.

正确答案

(1)证明:取BE的中点O,AE的中点F

连OC,OF,DF,则2OFBA

∵ AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,∴ 2CD BA,

∴ OFCD,∴ OC∥FD

∵  BC=CE,∴ OC⊥BE,又AB⊥平面BCE,从而

∴ OC⊥平面ABE,  ∴  FD⊥平面ABE.

从而平面ADE⊥平面ABE.

(2)取BE的中点O,连OC.∵BC=CE, ∴ OC⊥BE

又AB⊥平面BCE,∴ OF⊥平面BCE.

故可以O为原点建立如图空间直角坐标系O-xyz,

由已知条件有:, 

设平面BDE的法向量为

则由·

· 可取

∵ 平面ABE的法向量可取为

∴ 二面角A—EB—D的余弦值为=

∴ 二面角A—EB—D的余弦值为

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知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
|
分值: 12分

19.等差数列的各项均为正数,,前n项和为为等比数列,,且

(1)求

(2)求

正确答案

:解:(1)设的公差为的公比为

为正数,.

依题意有,  

 解得(舍去)    

(2)

所以

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知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:简答题
|
分值: 14分

20.已知函数处取得极值.

(I)求满足的关系式;

(II)若,求函数的单调区间;

(III)若,函数,若存在,使得成立,求的取值范围.

正确答案

:解:(Ⅰ),     由 得

(Ⅱ)函数的定义域为

由(Ⅰ)可得

,则

时,

所以单调递增区间为,单调递减区间为

(Ⅲ)当时,上为增函数,在为减函数,

所以的最大值为

因为函数上是单调递增函数,所以的最小值为

所以上恒成立.

 要使存在,使得成立,

只需要,即,所以

又因为,   所以的取值范围是

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 12分

17.某市医疗保险实行定点医疗制度,按照“就近就医、方便管理”的原则,参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A,B,C三家社区医院,并且他们对社区医院的选择是相互独立的.

(I)求甲、乙两人都选择A社区医院的概率;

(II)求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率;

(III)设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.

正确答案

解:(Ⅰ )设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件,那么

所以甲、乙两人都选择A社区医院的概率为

(Ⅱ )设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件,那么

所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是

(Ⅲ )依题意,

所以ξ的分布列为.即

所以

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知识点

随机事件的关系
1
题型:简答题
|
分值: 13分

21.已知椭圆的左右焦点分别是,直线与椭圆交于两点.当时,M恰为椭圆的上顶点,此时△的周长为6.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设椭圆的左顶点为A,直线与直线分别相交于点,问当变化时,以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,说明理由.

正确答案

:解:(I)当时,直线的倾斜角为,所以:

解得:,所以椭圆方程是:

(II)当时,直线,此时,

点坐标是

据此可得,故以为直径的圆过右焦点,被轴截得的弦长为6.

由此猜测当变化时,以为直径的圆恒过焦点,被轴截得的弦长为定值6. 

证明如下:设点点的坐标分别是,则直线的方程是:

,所以点的坐标是,同理,点的坐标是

由方程组 得到:

所以:, 

从而:

=0,

所以:以为直径的圆一定过右焦点,被轴截得的弦长为定值6.

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程

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