理科数学抚州市2016年高三第一次联合考试

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1.复数的共轭复数对应的点在复平面内位于（）

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

解析

，所以，其在复平面内对应的点为位于第一象限，故选A。

考查方向

本题主要考查复数的四则运算、共轭复数的概念以及复数的几何表示等知识，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

先利用复数的除法将化简，然后求出其共轭复数；找到其在复平面上对应的点即可。

易错点

没有注意到共轭复数这个条件导致选错。

知识点

复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的乘除运算

题型：单选题

分值: 5分

2. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N ＝3，则输出i ＝（）

正确答案

解析

，第一步，第二步，，第三步，，第四步，，第五步，，第六步，，第七步，；是，跳出循环，输出，故选C。

考查方向

本题主要考查程序框图和对数的运算法则，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

根据给出的程序框图循环执行，直到不符合条件跳出循环。

易错点

无法确定程序结束的条件导致出错。

知识点

程序框图

题型：单选题

分值: 5分

5. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）

正确答案

解析

根据三视图将几何体放到正方体中，发现原几何体是由图中菱形的平面截得下边的部分。

由图知，该几何体的体积是正方体体积的一半，所以其体积为，故选B。

考查方向

本题主要考查三视图问题，主要考查正方体的切割、几何体体积等知识，意在考查考生的空间想象能力和分析问题、解决问题的能力。

解题思路

1、将几何体放到长方体中考虑；

2、得到原来的几何体后求出其体积即可。

易错点

1.无法根据三视图还原成直观图；

2.不会计算得到几何体的体积。

知识点

组合几何体的面积、体积问题简单空间图形的三视图

题型：单选题

分值: 5分

8.已知实数满足，则的最大值是（）

正确答案

解析

作出线性约束条件表示的可行域

为图中直线的上方，的右方，的下方的区域，可变形为表示焦点在x轴上的抛物线，其中当其过A(1,3)时，z最大为9。故选D。

考查方向

本题主要考查线性规划，抛物线方程等知识，意在考查考生的数形结合能力和转化与化归的能力。

解题思路

1.先作出可行域；

2.在可行域中找到的最值。

易错点

1.可行域画错；

2.不能将表示成抛物线方程的形式。

知识点

其它不等式的解法

题型：单选题

分值: 5分

10.某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为（）

正确答案

解析

从12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题取到选择题才取法有中，其中既取到选择题又取到填空题的情况有两大类，一是取到一道选择题，此情况的取法有种，二是取到二道选择题，此情况的取法有种，所以在取到选择题时解答题也取到的概率为，故选C。

考查方向

本题主要考查古典概型、排列组合等知识，意在考查考生的分类讨论思想和解应用题的能力。

解题思路

1.先求任选3道题，取到选择题的解法有多少种；

2.然后求任选的3道题中既有选择题又有解答题的选法有多少种，最后带到古典概型的概率公式中即可。

易错点

1.分类不全，分类没有明确的标准，分类重复等；

2.对于各类情况的算法出错。

知识点

计数原理的应用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

题型：单选题

分值: 5分

3.设集合，则等于（）

正确答案

解析

集合,所以集合B中，所以，集合，从而或，所以，故选B。

考查方向

本题主要考查集合的交并补运算，集合的表示形式，分式不等式的解法，函数的值域等知识，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

1.先解出集合A，然后解出集合B，进而求出B的补集；

2.利用数轴求出。

易错点

1. 解不等式解错；

2. 的值域求错，集合B中务求定义域导致出错。

知识点

交、并、补集的混合运算其它不等式的解法

题型：单选题

分值: 5分

4.函数的图像的一个对称中心为（）

正确答案

解析

,令，得，当时，得到其一个对称中心为，故选C。

考查方向

本题主要考查三角函数的化简，三角函数图象的性质等知识，意在考查考生对于三角函数的掌握程度。

解题思路

1.先将变形为一个角的一个三角函数的形式；

2.利用对称中心的坐标公式求出对称中心。

易错点

1.误认为对称中心的纵坐标为0，导致误选B；

2.不将化简直接带到公式中求解。

知识点

余弦函数的对称性三角函数中的恒等变换应用

题型：单选题

分值: 5分

6.在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N（－1,1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）

A1 193

B1 359

C2 718

D3 413

正确答案

解析

由正态分布N(－1,1)可知，，所以图中阴影部分为，而，所以，所以阴影部分的面积为0.1359，所以由几何概型的概率公式得落入阴影部分的点的个数的估计值为*10000=1359个。故选B.

考查方向

本题主要考查正态分布、几何概型等知识，意在考查考生对于正态分布和几何概率的理解。

解题思路

1.先利用正态分布求出阴影部分的面积；

2.利用几何概型的概率公式估计落入阴影部分的点的个数即可。

易错点

1.不理解正态分布的知识导致无法入手；

2.对于几何概型的面积不理解导致出错。

知识点

正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

题型：单选题

分值: 5分

7.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若,则的值是（）

正确答案

解析

由得，所以，所以，所以，故选D。

考查方向

本题主要考查等差数列、等比数列的性质，三角函数的化简与求值，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

1.先利用等差数列、等比数列的性质求出，然后接着用此性质求和的值；

2.将结果带入求解即可。

易错点

1.将等差数列和等比数列的性质弄混导致出现混乱；

2.三角函数的化简出错。

知识点

三角函数的化简求值等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用

题型：单选题

分值: 5分

9.在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 cos 2B＋cosB＝1－cos AcosC 则（）

Aa，b，c 成等差数列

Ba，b，c 成等比数列

Ca，2b，3c 成等差数列

Da，2b，3c 成等比数列

正确答案

解析

由cos 2B＋cosB＝1－cos AcosC

得到sin 2B=cos Acos C－cos（A＋C）

所以sin 2B=cos Acos C－cos AcosC＋sinAsinC

所以sin 2B=sinAsinC

由正弦定理得，b2 = ac，所以a，b，c 成等比数列，故选B。

考查方向

本题主要考查等比中项、同角三角函数的基本关系、两角和与差的余弦公式、正弦定理等知识，意在考查考生的运算推理能力。

解题思路

1.先利用三角函数中的公式将cos 2B＋cosB＝1－cos AcosC化简；

2.利用正弦定理得到边之间的关系即可。

易错点

1.对于题中cos 2B＋cosB＝1－cos AcosC的化简不会入手；

2.对于三角函数的化简出错

知识点

三角形中的几何计算等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明

题型：单选题

分值: 5分

12.已知，又，若满足的有四个，则的取值范围为( )

正确答案

解析

令，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，又由于，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以时对应的x由三个，时对应的x由一个，时对应的x由一个，时对应的x由二个；设，所以，设的根为,所以共有四个解，所以，所以，解得，故选A。

考查方向

本题主要考查利用导数求函数的单调性，二次函数的图像和性质等知识，意在考查考生树形结合、转化化归，综合解决问题的能力。

解题思路

1.先求出的单调性以及函数值在各段对应x的个数；

2.根据的有四个得到的函数值一个在内，另一个在内，进而得到答案。

易错点

1.无法做出的图像；

2. 满足的有四个不会逆推。

知识点

函数零点的判断和求解

题型：单选题

分值: 5分

11.双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2 ,则双曲线的离心率是( )

正确答案

解析

由题意得直线的方程为，即，以A1A2为直径的圆内切于菱形以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2 可知圆心到直线的距离等于a，所以，化简得，两边同除以得到，所以，故选C。

考查方向

本题主要考查双曲线的性质，直线与圆的位置关系等知识，意在考查考生树形结合、综合处理问题的能力。

解题思路

1.先将直线的方程表示出来，找到以A1A2为直径的圆的圆心和半径；

2.根据直线与圆相切得到，进而可求出离心率。

易错点

不会转化题中的条件：以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B22.在由求解离心率的运算中出错。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

15.已知P,A,B,C是球O球面上的四点，是正三角形，三棱锥的体积为，且,则球O的表面积为______________.

正确答案

解析

由是正三角形，知道三棱锥为正三棱锥，所求球心O在底面的高线所在的直线上；设底面边长为a，过P做面于O点，由是正三角形知，由知，，所以，，设球O的半径为R，则在中，由勾股定理得，所以球O的表面积为。

考查方向

本题主要考查正三棱锥的定义，体积，球的表面积等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

1.先根据条件判断出三棱锥为正三棱锥，根据体积求出底面边长和高；

2.将球心和半径所在的平面提出来，利用平面几何的知识求解。

易错点

1.无法根据条件判断出三棱锥为正三棱锥；

2.不能确定球心O所在位置

知识点

圆方程的综合应用

题型：填空题

分值: 5分

14.正中，在方向上的投影为，且,则________.

正确答案

解析

设正的边长为a，则，所以；以BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则，因为，所以，所以。

考查方向

本题主要考查平面向量共线、向量的投影、数量积等知识，意在考查考生对于向量的掌握情况。

解题思路

1.先利用在方向上的投影为求出三角形的边长；

2.构建平面直角坐标系，将所需向量用坐标的形式表示出来，然后求解。

易错点

1. 在方向上的投影为不理解或求错边长；

2.不能构建平面直角坐标系解决问题。

知识点

空间向量的夹角与距离求解公式

题型：填空题

分值: 5分

16.下列说法中所有正确的序号是________

①、

②、若

③、

④、数列的最大项为

正确答案

①③④

解析

对于①，为真是指p,q均为真，为真是指p,q一真则真，所以①正确；

对于②，，所以，而解得，故②不正确；

对于③，由题意知，将题中条件两边平方得到，因为，所以，又，故③正确；

对于④，，令，所以在上单调递减，所以在上单调递减，所以当时，取到最大值为，故④正确。

考查方向

本题主要考查简易逻辑、基本不等式、数列的单调性等知识，意在考查考生综合处理问题和运算求解的能力。

解题思路

逐个判断真假即可。

易错点

1. ②中很容易选错，③感觉无从下手；

2.对于④的单调性不能很好的利用对勾函数的单调性导致无法判断。

知识点

充要条件的判定

题型：填空题

分值: 5分

13.设，则的展开式中各项系数和为_________.

正确答案

解析

=，令中x=1得到其展开式中各项系数和为。

考查方向

本题主要考查定积分、二项式定理中的各项系数和等知识，意在考查考生的运算求解能力。

解题思路

1.求定积分的值；

2.令x=1得到展开式中各项系数和。

易错点

1. 的原函数不会求解，导致n求不出来；

2.不会求二项式展开式中各项系数和

知识点

定积分的计算二项式系数的和或各项系数的和问题

简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

17．已知数列的前项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：．

正确答案

（1）

（2）略

解析

（1）∵，令，得，

∵，∴，

两式相减，得，整理

，

∴数列是首项为，公比为的等比数列

∴，∴

（2）∵

∴

考查方向

本题主要考查与之间的关系，求数列的通项公式、列项相消法求和等知识，意在考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力、及综合运用知识解决问题的能力。

解题思路

1.第（1）问先从构造一个等式后两式相减得到，然后构造等比数列，进而求出；

2.第（2）问先将通项公式裂成两项差的形式，然后利用列项相消法求和后即可得到答案。

易错点

1.不会将题中的条件转化为递推公式；

2.不会构造等比数列；

3.第（2）问不会将通项公式裂成两项差的形式，导致无法求和。

知识点

等比数列的性质及应用

题型：简答题

分值: 12分

18. 已知正方形的边长为，、、、分别是边、、、的中点．

（1）在正方形内部随机取一点，求满足的概率；

（2）从、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为，求随机变量的分布列与数学期望．

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）这是一个几何概型，点构成的区域是正方形的内部，．满足的点构成的平面区域是以为圆心，1为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分，。所以的概率为

（2）从、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成条不同的线段，其中长度为的线段有条，长度为的线段有条，长度为的线段有条，长度为的线段有条，长度为的线段有条。

所以所有可能的取值为，，，，

且，，

，，

所以随机变量的分布列为：

随机变量的数学期望为

考查方向

本题主要考查几何概型、离散型随机变量的分布列、期望等知识，意在考查考生的应用能力。

解题思路

1.先利用几何概型的概率公式求出满足的概率；

2.先求随机变量的取值，然后求其取各个值的概率，列出分布列，带入期望公式求出期望。

易错点

1.第（1）问的概率求错；

2.第（2）问中随机变量取值的概率不会求。

知识点

直线与平面平行的判定与性质

题型：简答题

分值: 12分

19. 如图，在三棱柱中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，过作平面平行于，交AB于D点。

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值。

正确答案

（1）略

（2）

解析

（I)证：连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，则E为AC1中点

∵BC1∥平面A1CD，

∴DE∥BC1

∴ D为AB的中点

又∵，∴

(Ⅱ)

又∥ ，

又

法一：设BC的中点为O，的中点为，以O为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系

则，.

∴

平面的一个法向量

所以直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为

法二：取的中点，连结，则

∵面，故,

,面

延长、相交于点，连结，

则为直线与平面所成的角.

因为为的中点，故，又

即直线与平面所成的角的正弦值为.

法三：取的中点，连结，则

∵面，故,

,平面

取中点M，连结BM，过点M作，则平面，

连结BN，∵,

∴为直线与平面所成的角

∵,

即直线与平面所成的角的正弦值为

考查方向

本题主要考查空间线面位置关系及线面角的求解，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

1.先根据过作平面平行于，得到DE∥BC1，然后根据E为中点，证明D也为中点，最后利用三角形为正三角形得证；

2.先证明面，然后建立坐标系，写出个点坐标，然后根据公式求解。

易错点

1.第（1）问对于题中给定的条件过作平面平行于不会转化；

2.第（2）问找不到线面垂直的条件导致无法建坐标系。

知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：简答题

分值: 12分

20.已知顶点为原点O，焦点在轴上的抛物线，其内接的重心是焦点F，若直线BC的方程为。

（1）求抛物线方程；

（2）过抛物线上一动点M作抛物线切线，又且交抛物线于另一点N，

ME(E在M的右侧)平行于轴，若，求的值。

正确答案

（1）

（2）1

解析

（1）设抛物线的方程为，则其焦点为，，

联立，

∴，

，

又的重心为焦点F

代入抛物线中，

解得

故抛物线方程为………6分

（2）设，即切线

即，

又

∵，

即

考查方向

本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系扥基础知识，意在考查考生的计算能力及逻辑推理能力。

解题思路

1.第（1）问先设抛物线方程，然后利用待定系数法求出方程；

2.第（2）问先表示出切线l的方程，进而求出，然后利用斜率公式求出，最后发现，进而确定。

易错点

1.不知道重心坐标和A,B,C坐标间的关系，导致没有思路；

2.不会将角间的关系转化到直线斜率上表示导致无法下手。

知识点

函数的定义域及其求法

题型：简答题

分值: 12分

21. 已知函数，满足，且，为自然对数的底数.

（Ⅰ）已知，求在处的切线方程；

（Ⅱ）设函数，为坐标原点，若对于在时的图象上的任一点，在曲线上总存在一点，使得，且的中点在轴上，求的取值范围.

正确答案

（1）

（2）

解析

解：

（1），，，。在处的切线方程为：，即

（2），，，从而

设为在时的图象上的任意一点，则，的中点在轴上，的坐标为，，，所以，，.由于，所以

当时，恒成立，

当时，，令，则

，，，从而在上为增函数，由于时，，

考查方向

本题主要考查导数在研究函数性质中的应用、导数的几何意义、考查分离参数法，构造函数等知识，意在考查考生综合解决问题的能力。

解题思路

1.第（1）直接利用求导，导数的几何意义直接得到所求的切线方程；

2.第（2）问先设P点坐标后表示出Q点坐标带入中得到，后分离参数求出a的范围。

易错点

1.对于的表达式无法求出；

2.不会构造新函数导致不会求a的取值范围。

3.分类讨论的分类标准不会把握。

知识点

双曲线的几何性质

题型：简答题

分值: 10分

22.选修4-1：几何证明选讲

如图所示，AC为⊙O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点。

（Ⅰ）求证：DE∥AB；

（Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD

正确答案

（1）略；（2）略

解析

（Ⅰ）连接OE，因为D为弧BC的中点，E为BC的中点，所以OED三点共线。

因为E为BC的中点且O为AC的中点，所以OE∥AB，故DE∥AB。

（Ⅱ）因为D为弧BC的中点，所以∠BAD＝∠DAC，

又∠BAD＝∠DCB ∠DAC＝∠DCB．

又因为AD⊥DC，DE⊥CE △DAC∽△ECD

＝ AD·CD＝AC·CE

2AD·CD＝AC·2CE

2AD·CD＝AC·BC

考查方向

本题主要考查圆性质，三角形相似等知识，意在考查考生的分析转化能力与推理论证能力。

解题思路

1.第（1）问根据三角形的中位线证明出答案；

2.第（2）问先利用同弧、等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等证明△DAC∽△ECD，然后利用相似三角形的对应成比例，得到答案。

易错点

1.第（1）问没有发现D,E,O三点共线，导致无法证明；

2.不能发现BC，CE的关系。

知识点

对数函数的定义

理科数学 热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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