理科数学东莞市2013年高三试卷

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单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

1．已知复数，则复数（）

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2．下列函数中，既是偶函数、又在区间单调递增的函数是（）

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5．若实数满足则的最小值是（）

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8．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第9行第4个数（从左往右数）为（）

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7．离散型随机变量～（）

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3．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）

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4．函数在处的切线与坐标轴所围图形的面积是（）

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6．有四个关于三角函数的命题

其中假命题的是（）

A，

B，

C，

D，

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填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。

9．已知_______.

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10．已知向量，则

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11．（）展开式中的系数为10，则实数

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13．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点P（x，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为_______；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为________。

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选做题：第14、15题为选做题，只能选做其中的一题，两题全答的，只计算前一题的得分．

14．（几何证明选讲选做题）

如图，点是圆上的点,且,则对应的劣弧长为______.

15.（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是_________．

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12．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是________.

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简答题（综合题）本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在中，角所对的边分别为，且满足．

（I）求角的大小；

（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．

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18．在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，分别为的中点。

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

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21．已知数列和满足，且对任意都有，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）证明：．

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20．已知函数图象上一点处的切线方程为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；

（Ⅲ）令，若的图象与轴交于，（其中），的中点为，求证：在处的导数．

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16．已知是公差不为零的等差数列,成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项;

（Ⅱ）求数列的前n项和

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19．某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，（＞），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；

（Ⅱ）求，的值；

（Ⅲ）求数学期望ξ。

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