理科数学 热门试卷

（1）因三棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，

故B1C⊥BC1．…2分

又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，

故B1C⊥平面ABC1．                    5分

因B1C平面BCC1B1，

故平面ABC1⊥平面BCC1B1．                   7分

（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．

又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．

因DF平面ABC1，AC1平面ABC1，

故DF∥面ABC1．………10分

同理，EF∥面ABC1．

因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，

故平面DEF∥面ABC1．……………12分

因DE平面DEF，

故DE∥面ABC1．…14分

（1）方法一

依题意，c，a2b2+3，…………………………2分

由，解得b21(b2，不合，舍去)，从而a24．

故所求椭圆方程为：．

离心率e．……………………………5分

方法二

由椭圆的定义知，2a4，

即a2．……………………………………………2分

又因c，故b21．下略．

（2）①设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(x1，y1)，

于是k1k2．………8分

②方法一

由①知，k3k4k1k2，故x1x2．

所以，(x1x2)2(4y1y2)2，即(x1x2)2，

所以，4．……………………………11分

又2，故．

所以，OB2+OC2 5．…………14分

方法二

由①知，k3k4k1k2．

将直线yk3x方程代入椭圆中，得．……………………9分

同理，．

所以，4．……………11分

下同方法一．

（1）由图可知，A2，…………………………………… 2分

T，故，所以，f(x) ．…………………4分

又，且，故．

于是，f(x) ．……………7分

（2）由，得．………………………9分

所以，12分

=．…………………………………… 14分

（1）设，

在△中，，

即，……………………………2分

所以，，……4分

所以，当且仅当m=n=50时，取得最大值，此时△周长取得最大值．

当都为50 m时，△的周长最大． 6分

（2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．

过作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，

则分别为AB，CD的中点，

所以，由，得． 8分

在△中，．

又在△中，，故． 10分

所以，

，．…………12分

（一直没有交代范围扣2分）

令，，

，，

又y=及y=在上均为单调递减函数，

故在上为单调递减函数．

因＞0，故＞0在上恒成立，

于是，在上为单调递增函数．……… 14分

所以当时，有最大值，此时S有最大值为．

答：当时，梯形面积有最大值，且最大值为 m2．…16分

（1）当an时，bn．…………………………………2分

所以，Sn．………………………………4分

（2）满足条件的数列{an}存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=．

证明：在中，令n=1，得b3=b1．

设an=，则bn=．…………………………………………6分

由b3=b1，得．

若q=，则bn=0，满足题设条件．此时an=1和an=．…………………8分

若q，则，即q2 =1，矛盾．

综上，满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一是an=1，另一是an=．10分

（3）因1=a1≤a2≤…≤an≤…，故，0＜≤1，于是0＜≤1．

所以，≥0，n1，2，3，…．

所以，Snb1+b2+…+bn≥0．………………………………………………13分

又，

≤．

故，Snb1+b2+…+bn≤

＜2．

所以，0≤Sn＜2．…………………………………………………16分