理科数学 热门试卷

（1）由题设得，即．

又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．

由题设得，即．

又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）由（1）知，，．

所以，

．

【估分】12

（1）f（x）的定义域为（0，1）（1，+∞）．

因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增．

因为f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零点．

综上，f（x）有且仅有两个零点．

（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex上．

由题设知，即，故直线AB的斜率．

曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，

所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线．

【估分】12

（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．

（2）X=4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．

因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．

【估分】12

（1）由已知得，平面，平面，

故．

又，所以平面．

（2）由（1）知．由题设知≌，所以，

故，．

以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz，

则C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，，．

设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则

即

所以可取n=.

设平面的法向量为m=（x，y，z），则

即

所以可取m=（1，1，0）．

于是．

所以，二面角的正弦值为．

【估分】12

（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．

（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为．

由得．

记，则．

于是直线的斜率为，方程为．

由得

．①

设，则和是方程①的解，故，由此得．

从而直线的斜率为．

所以，即是直角三角形．

（ii）由（i）得，，所以△PQG的面积．

设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．

因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．

因此，△PQG面积的最大值为．

【估分】12

（1）因为在C上，当时，．

由已知得．

设为l上除P的任意一点．在中，，

经检验，点在曲线上．

所以，l的极坐标方程为．

（2）设，在中， 即．

因为P在线段OM上，且，故的取值范围是．

所以，P点轨迹的极坐标方程为 ．

【估分】10