理科数学 热门试卷

解：（1）

，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分

∴函数的最小正周期为.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分

（2）

，

由得， ，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分

当时， ，

∴或，

即或.

∴函数在上的零点是和.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分

解:（1）证明：取的中点，连接，

因为分别是的中点，所以且，

因为，所以且，所以,

又平面平面，所以平面.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分

（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，

则，

,

设平面的一个法向量为，则，

令，得，

同理可求平面的一个法向量为，

平面和平面为同一个平面，

所以二面角的余弦值为.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分

解（1）由题意可知， ，则，

解得，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分

（2），

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分

，

，得证┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分

解（1），椭圆方程为，

准圆方程为．                ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分

（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，

设过点且与椭圆相切的直线为，

所以由得.

因为直线与椭圆相切，

所以，解得，     ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分

所以方程为．

， ．           ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分

（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，

则： ，

当： 时，与准圆交于点，

此时为（或），显然直线垂直；

同理可证当： 时，直线垂直┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分

②当斜率存在时，设点，其中.

设经过点与椭圆相切的直线为，

所以由

得.

由化简整理得，

因为，所以有.

设的斜率分别为，因为与椭圆相切，

所以满足上述方程，

所以，即垂直．         ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分

综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.

所以线段为准圆的直径， ，

所以线段的长为定值．            ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12

解：（1）对， 恒成立

 ，对恒成立

令，则，

易知： 在上递减，在上递增.

 ，  的取值范围是┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分

（2）有两个零点，等价于与有两个不同的交点，

由 （1）知，  ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分

（3）证明：由（2）知：不妨设，

则， ，即

令，

，即为增函数

 ，即

因为，故

由，得

由（1）知在上递减，

故，即： ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分

解：（1）法一：，

∵且，

∴，当时取等号，即的最小值为，

∴，.

法二：∵，

∴，

显然在上单调递减，在上单调递增，

∴的最小值为，

∴，. ┅┅┅┅┅5分

（2）∵恒成立，∴恒成立，

当时，取得最小值，∴，

即实数的最大值为.…