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2.已知,则复数
在复平面上对应点位于( )
正确答案
解析
,所以
,所以
,所以在第四象限
考查方向
解题思路
先将复数的一般形式表示出来,然后确定其在复平面的位置
易错点
忽略这一等式
知识点
5.一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形,其尺寸如图,则该多面体的体积为( )
正确答案
解析
由三视图可知,该几何体是一个横放的直三棱柱,所以
代入数值可得,体积为48,所以选A
考查方向
解题思路
先根据三视图还原成空间几何体,再根据所给长度计算体积
易错点
立体感不强,计算错误
知识点
6. 已知,且
,函数
的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
,则
的值为( )
正确答案
解析
根据函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,可得
,所以
,
,且
,可得
,则
,故选B
考查方向
解题思路
先求出周期w,再由条件求出的值,从而求出
易错点
三角函数周期,同角三角函数转换错误。
知识点
7. 阅读如图所示的程序框图,若输入,则输出的
值是( )
正确答案
解析
第1次,,K=2,
第2次,,K=3;
…………
第n次,
所以当输入 时,程序运行了10次,输出的k值为11,所以选C
考查方向
解题思路
根据程序框图的流程,计算运行n次的结果,根据输入的数值,判断n满足的条件,从而求出输出的值
易错点
选择语句判断错误
知识点
9.若x,y满足且z=2x+y的最大值为4,则k的值为( )
正确答案
解析
所求区域如下图,可知B(2,0)点为最大值点,所以kx-y+3=0,代入直线可得2k+3=0,所以k=
考查方向
解题思路
根据已知的约束条件,画出满足约束条件的可行域,再用目标函数的几何意义求解K的值
易错点
可行域区域作图错误,找不到最佳点
知识点
10.球半径为
,球面上有三点
、
、
,
,
,则四面体
的体积是( )
正确答案
解析
球心O与A,B,C,三点构成的四面体如下图所示,所以底面ABC的面积为底乘以高,底为AB=
高为6,因为球的半径为13,所以圆心到面ABC的距离为12,所以底面面积为
所以体积为,所以选A
考查方向
解题思路
先根据题意作出四面体大致图形,然后利用体积公式求解
易错点
空间感不强;计算错误
知识点
1.设集合,
,全集
,则
( )
正确答案
解析
因为所以
,所以此题选择D.
考查方向
解题思路
根据题意,先确定集合M和N表示的x的范围,然后在求交集和补集
易错点
集合的基本概念理解不透彻
知识点
3.给定下列两个命题:
①“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件;
②“x
R,使sinx>0”的否定是“
x
R,使sinx
0”.
其中说法正确的是( )
正确答案
解析
对于命题1,由¬p为假可以推出p∨q为真,但由p∨q为真不能推出¬p为假的值,所以前者是后者的必要不充分条件,命题1正确。易得命题2也是正确的。所以选C
考查方向
解题思路
根据相关性质,逐一判断
易错点
对逻辑与命题理解不透彻;
知识点
4.下列函数中,既是偶函数,又在上是单调减函数的是( )
正确答案
解析
由函数的奇偶性及单调性的性质可知,B和D选项为偶函数,又知,D选项在上不是单调函数,所以此题选B.
考查方向
解题思路
根据函数单调性及奇偶性的性质,逐个选项判断
易错点
函数单调性判断错误,函数奇偶性判断错误
知识点
8.过双曲线(
)的左顶点
作斜率为
的直线
,若直线
与双曲线的两条渐近线分别相交于点
,
,且
,则双曲线的离心率为( )
正确答案
解析
由题意可知P(-1,0),所以直线L的方程为y=x+1,两条渐近线的方程为y=-bx或y=bx,所以可得Q点横坐标为,R点的横坐标为
,因为
所以,所以
,所以b=3,
C=,所以
,所以选B
考查方向
解题思路
先求出R和Q的横坐标,然后求出b的值,进而求出c,然后根据离心率公式答案可得
易错点
计算能力弱,离心率公式记混淆
知识点
11.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径的长度为( )
正确答案
解析
如图可知,CD=150,OD=100,,
在三角形CDO中,,代入数值,所以OC=
考查方向
解题思路
由余弦定理求OC的长度
易错点
计算错误;实际问题不能转换成数学模型
知识点
12.已知函数,若当
时,
恒成立,则实数
的取值范围是( )
正确答案
解析
,所以函数
为奇函数,又
,所以
恒成立等价于
因为,知,
,
,由
恒成立知;
,所以m的取值范围为
。
考查方向
解题思路
利用函数的性质将不等式恒成立转换成其他等价形式,由求得实数m的取值范围
易错点
求导错误,讨论参数取值范围时考虑不全面
知识点
某市规定,高中学生三年在校期间参加不少于小时的社区服务
才合格.教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据,按时间段
,
,
,
,
(单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.
19.求抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率;
20.从全市高中学生(人数很多)中任意选取3位学生,记为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数.试求随机变量
的分布列和数学期望
和方差
.
正确答案
见解析
解析
根据题意,参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为
(人),参加社区服务时间在时间段
小时的学生人数为
(人).所以抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生
人数为
人. 所以从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为
考查方向
解题思路
第1问根据样本数据估计总体数据,第2问先把所有可能的情况列出来,然后用频率求概率
易错点
数据收集整理出错
正确答案
见解析
解析
由19题可知,从全市高中生中任意选取1人,其参加社区服务时间不少于90小
时的概率为由已知得,随机变量
的可能取值为
.
所以;
;
;
.
随机变量的分布列为
因为~
,所以
考查方向
解题思路
第1问根据样本数据估计总体数据,第2问先把所有可能的情况列出来,然后用频率求概率
易错点
数据收集整理出错
已知抛物线(
)的焦点为
,过点
作直线
交抛物线
于
,
两点.椭圆
的中心在原点,焦点在
轴上,点
是它的一个顶点,且其离心率
.
23.分别求抛物线和椭圆
的方程;
24.经过,
两点分别作抛物线
的切线
,
,切线
与
相交于点
.证明:
.
正确答案
见解析
解析
由已知抛物线的焦点为
可得抛物线
的方程为
.
设椭圆的方程为
,半焦距为
.由已知可得:
,解得
.所以椭圆
的方程为:
.
考查方向
解题思路
第一问根据离心率及焦点求抛物线C和椭圆E的方程,第二问利用平面向量的数量积的坐标公式证明线段和线段垂直。
易错点
计算错误,利用平面向量证明线段垂直
正确答案
见解析
解析
显然直线的斜率存在,否则直线
与抛物线
只有一个交点,不合题意,
故可设直线的方程为
,
由, 消去
并整理得
∴
.
∵抛物线的方程为
,求导得
,
∴过抛物线上
两点的切线方程分别是
,
,
即,
,
解得两条切线的交点
的坐标为
,即
,
,
∴.
考查方向
解题思路
第一问根据离心率及焦点求抛物线C和椭圆E的方程,第二问利用平面向量的数量积的坐标公式证明线段和线段垂直。
易错点
计算错误,利用平面向量证明线段垂直
设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.
17.求数列{an}的通项公式;
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
第1问,根据Sn和an的关系判断出数列为等差数列,根据等比数列通项公式求通项,第2问结合第1问得到的结论,得到Bn的通项,进而求出bn的前n项和。
易错点
求数列通项公式错误
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
第1问,根据Sn和an的关系判断出数列为等差数列,根据等比数列通项公式求通项,第2问结合第1问得到的结论,得到Bn的通项,进而求出bn的前n项和。
易错点
求数列通项公式错误
如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为蓌形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC 的中点.
21.求证:AE⊥PD;
22.若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为,求二面角 E-AF-C的余弦值.
正确答案
见解析
解析
证明:由四边形为菱形,
,可得
为正三
角形.
因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.又BC∥AD,因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD,AE
平面ABCD,所以PA⊥AE.
而PA平面PAD,AD
平面PAD 且PA∩AD=A,
所以 AE⊥平面PAD,又PD平面PAD.所以 AE⊥PD.
考查方向
解题思路
第1问通过线面垂直证明线线垂直,第2问先找到二面角的平面角,然后在根据相关线段长求二面角的余弦值。
易错点
计算错误;空间直角坐标系建立错误
正确答案
见解析
解析
由21知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,设AB=2,AP=a,则A(
),B
,C
,D(
),P(
),E(
),F(
),
所以=
,且
=
为平面PAD的法向量,设直线PB与
平面PAD所成的角为θ,
由=|
<
,
>|=
=
=
解得 所以
=
,
=
设平面AEF的一法向量为m=(x1,y1,z1),则,因此
取
,则m=(0,2,-1),因为BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=
A,所以BD⊥平面AFC,
故
为平面AFC的一法向量.又
=
,
所以 =
.
因为二面角E-AF-C为锐角,所以所求二面角的余弦值为
考查方向
解题思路
第1问通过线面垂直证明线线垂直,第2问先找到二面角的平面角,然后在根据相关线段长求二面角的余弦值。
易错点
计算错误;空间直角坐标系建立错误
已知函数,
25.若函数在
上是减函数,求实数
的取值范围;
26.令,是否存在实数
,当
(
是自然常数)时,函数
的最小值是3,若存在,求出
的值;若不存在,说明理由;
27.当时,证明:
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
第1问利用导数求函数的单调区间,第2问利用分类讨论思想,讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。
易错点
求导数错误,参数的取值范围分类错误
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
第1问利用导数求函数的单调区间,第2问利用分类讨论思想,讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。
易错点
求导数错误,参数的取值范围分类错误
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
第1问利用导数求函数的单调区间,第2问利用分类讨论思想,讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。
易错点
求导数错误,参数的取值范围分类错误
选修4—1,几何证明选讲
圆的两弦
和
交于点
,
∥
,
交
的延长线于
点
,
切圆
于点
.
28.求证:△∽△
;
29.如果,求
的长.
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
利用辅助线,做出相似三角形,根据相似求出相关线段的长
易错点
辅助线,三角形相似条件找不准
正确答案
见解析
解析
∽
又因为
为切线,则
所以,
.
考查方向
解题思路
利用辅助线,做出相似三角形,根据相似求出相关线段的长
易错点
辅助线,三角形相似条件找不准
13.已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是
正确答案
-4
解析
圆的标准方程为:,所以弦心距为
,由弦长公式可得,2-a=2+4,所以a=-4
考查方向
解题思路
把圆的方程转化为标准形式,求出弦心距,再由条件根据弦长公式求得a的值
易错点
计算错误
知识点
14.将序号为1,2,3,4的四张电影票全部分给3人,每人至少一张.要求分给同一人的两张电影票连号,那么不同的分法种数为 .(用数字作答)
正确答案
18
解析
由题意可知,3人分4张票,且每人至少1张,至多两张,则2人一张,一人2张,且分的的票必须是连号,相当于将1、2、3、4这四个数用2个板子隔开,在三个空位插2个板,所以共有3种情况,再对应到3个人,有种情况,则共有18种情况
考查方向
解题思路
利用分步计算原理,由排列知识确定不同的分法数。
易错点
考虑情况不全
知识点
15.设,则二项式
展开式中的
项的系数为 .
正确答案
-160
解析
因为,所以
因为,所以12-3k=3,解得k=3,
所以,故填-160
考查方向
解题思路
根据微积分基本定理首先求出a的值,然后根据二项式的通项公式求出系数的值
易错点
计算错误,积分积不出来
知识点
16.已知数列满足
,其中
为
的前
项和,则
_______.
正确答案
解析
因为,,即
化简可得,
即有,可知该数列是首项为1,公差为2的等差数列所以
即,所以
考查方向
解题思路
由数列的通项和前n项和的关系,结合条件化简整理,再根据等差数列的定义和通项,即可得到Sn,进而求出答案
易错点
找不到通项与前n项和的关系,计算错误