2015年高考真题理科数学 (北京卷)

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单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

4．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

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7．如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）

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8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）

A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

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1．复数（）

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5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

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6．设是等差数列.下列结论中正确的是（）

A若，则

B若，则

C若，则

D若，则

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3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

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2．若，满足则的最大值为（）

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填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。

9．在的展开式中，的系数为．（用数字作答）

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11．在极坐标系中，点到直线的距离为______．

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10．已知双曲线的一条渐近线为，则_____．

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13．在中，点，满足，．若，则；．

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12．在中，，，，则．

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14．设函数

①若，则的最小值为_______；

②若恰有2个零点，则实数的取值范围是________．

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简答题（综合题）本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

已知函数．

15.求的最小正周期；

16.求在区间上的最小值．

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，两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

组：10，11，12，13，14，15，16

组：12，13，15，16，17，14，

假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的

人记为乙．

17.求甲的康复时间不少于14天的概率；

18.如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

19.当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

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如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，

，，，为的中点．

20.求证：；

21.求二面角的余弦值；

22.若平面，求的值．

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已知函数．

23.求曲线在点处的切线方程；

24.求证：当时，；

25.设实数使得对恒成立，求的最大值．

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已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．

26.求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；

27.设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

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已知数列满足：，，且．记集合．

28.若，写出集合的所有元素；

29.若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；

30.求集合的元素个数的最大值．

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