• 理科数学 南京市2011年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1. 已知集合,则集合A的子集的个数为__________

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2. 若复数为虚数单位)是纯虚数,则实数的值为___________

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3. 已知条件,条件,且的充分不必要条件,则的取值范围可以是_______

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4. 下图程序运行结果是_____________

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5. 下图是七位评委打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为___________。


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6. 在120°的二面角内放置一个小球,它与二面角的两个面相切于A、B两点,这两个点的距离AB=5, 则小球的半径为______________

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7. 函数的单调递增区间是___________

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8. 将直线沿轴向左平移1个单位,所得直线与圆相切,则实数的值为_________

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9. O是锐角ABC所在平面内的一定点,动点P满足:,,则动点P的轨迹一定通过ABC的______心。

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10. 对于使成立的所有常数M中,我们把M的最小值叫做的上确界,若,则的上确界为___________

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11. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在AB上,且AM=AB,点P在平面ABCD上,且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1,在平面直角坐标系xoy中,动点P的轨迹方程是_______


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12. 设函数,数列满足,则数列的通项=___________。     

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13. 函数f(x)是奇函数,且在[-1,1]是单调增函数,又f(-1)=-1, 则满足f(x)≤t2+2at+1对所有的x∈[-1,1]及a∈[-1,1]都成立的t的范围是__________。  

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14. 已知为坐标原点,,记中的最大值为M,当取遍一切实数时,M的取值范围是______________。   

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简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15. 已知函数f(x)=的定义域为A,值域为B。

(1)当a=4时,求集合A;

(2)当B=R时,求实数a的取值范围。

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16. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=BB1=a,直线B1C与平面ABC成30°角。


(1)求证:平面B1AC⊥平面ABB1A1

(2)求C1到平面B1AC的距离;

(3)求三棱锥A1-AB1C的体积。

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17. 某企业生产A、B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如左图, B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如右图 (注:利润与投资单位:万元)。

(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资(万元)的函数关系式;

(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?

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18. 已知△ABC的周长为6, 依次为a,b,c,成等比数列。

(1)求证:

(2)求△ABC的面积S的最大值;

(3)求的取值范围。

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19.已知点A(-1, 0)、B(1, 0),△ABC的周长为2+。记动点C的轨迹为曲线W。

(1)直接写出W的方程(不写过程);

(2)经过点(0, )且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q,是否存在常数k,使得向量与向量共线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由。

(3)设W的左右焦点分别为F1、 F2,点R在直线l:x-y+8=0上。当∠F1RF2取最大值时,求的值。

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20. 函数的定义域为{x| x ≠1},图象过原点,且

(1)试求函数的单调减区间;

(2)已知各项均为负数的数列前n项和为,满足,求证:

(3)设,是否存在,使得?若存在,求出,证明结论;若不存在,说明理由。

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21.四边形ABCD和四边形分别是矩形和平行四边形,其中点的坐标分别为A(-1,2),B(3,2),C(3,-2),D(-1,-2),(-1,0),(3,8),(3,4),(-1,-4)。求将四边形ABCD变成四边形的变换矩阵M。

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22.直线和曲线相交于A、B两点。求线段AB的长。

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23.设有3个投球手,其中一人命中率为q,剩下的两人水平相当且命中率均为,每位投球手均独立投球一次,记投球命中的总次数为随机变量为

(1)当时,求数学期望及方差

(2)当时,将的数学期望表示。

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24.已知正项数列中,对于一切的均有成立。

(1)证明:数列中的任意一项都小于1;

(2)探究的大小,并证明你的结论。

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