• 理科数学 南京市2012年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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2.已知x是实数,是纯虚数,则x的值是(    )

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3.根据如图所示的流程图,当输入的正整数n的值为5时,输出的an的值是(     )

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4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标,则点P在直线x+y=5下方的概率是(    )

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5.如图所示的茎叶图记录了某运动员在某赛季一些场次的得分,则该运动员的平均得分为(    )

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6.不等式lg(-x)<x+1的解集为(    )

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7.底面边长为2m,高为1m的正三棱锥的全面积为(    ) m2

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8.在等比数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn  若数列也是等比数列,则Sn等于(    )

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9.已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1,若f(x)的单调减区间是(0,4),则在曲线y=f(x)的切线中,斜率最小的切线方程是(    )

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10.若,且,则的最大值为(    )

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11.过双曲线(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若,则双曲线的离心率是(    )

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12.△ABC的面积为1,点D在AC上,DE//AB,连结BD, 设△DCE、△ABD、△BDE中面积最大者的值为y,则y的最小值为(    )

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13.在△ABC中,若a=2,b-c=1,△ABC的面积为,则=(    )

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14.已知使函数f(x)=x3-ax2-1(0≤a≤M0)存在整数零点的实数a恰有3个,则M0的取值范围是(    )

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1.已知集合A={x|x≥0},B={x|x<1},则A∩B=(    )

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简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15.已知函数f(x)=

(1)若f(x)=1,求的值;

(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足,求f(B)的取值范围。

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16.如图,已知BC是半径为1的半圆O的直径,A是半圆周上不同于B,C的点,F为的中点。梯形ACDE中,DE//AC,且AC=2DE,平面ACDE⊥平面ABC。

求证:

(1)平面ABE⊥平面ACDE;

(2)平面OFD//平面BAE 。

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17.如图,将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转得到正方形

根据平面几何知识,有以下两个结论:

②对任意均是全等三角形。

(1)设,将x表示为α的函数;

(2)试确定α,使正方形与正方形ABCD重叠部分面积最小,并求最小面积。

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18.已知椭圆C:(a>b>0)的离心率e=,椭圆C的上、下顶点分别为A1,A2,左、右顶点分别为B1,B2,左、右焦点分别为F1,F2.原点到直线A2B2的距离为

(1)求椭圆C的方程;

(2)过原点且斜率为的直线l,与椭圆交于E,F点,试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角,并写出理由;

(3)P是椭圆上异于A1,A2的任一点,直线PA1,PA2,分别交轴于点N,M,若直线OT与过点M,N的圆G相切,切点为T.证明:线段OT的长为定值,并求出该定值。

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19.设数列{an}是一个公差不为零的等差数列,且a5=6。

(1)当a3=3时,请在数列{an}中找一项am(m>5),使a3,a5,am成等比数列;

(2)当a3>1时,如果存在自然数m1,m2,…,mt,…,满足5<m1<m2<…<mt<…,且a3,a5,am,am,…,am,…构成一个等比数列,求a3的一切可能值;

(3)在(2)中的a3取最小正整数值时,求证:

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20.设f(x)是定义在[a,b]上的函数,用分点T:a=x0<x1<…<xi-1<xi <…<xn=b,将区间[a,b]任意划分成n个小区间,若存在常数M,使f(xi)-f(xi-1)|≤M恒成立,则称f(x)为[a,b]上的有界变差函数。

(1)判断函数f(x)=x+cosx在上是否为有界变差函数,并说明理由;

(2)定义在[a,b]上的单调函数f(x)是否一定为有界变差函数?若是,请给出证明;若不是,请说明理由;

(3)若定义在[a,b]上的函数f(x)满足:存在常数k,使得对于任意的x1,x2[a,b],| f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|。证明:f(x)为[a,b]上的有界变差函数。

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22.甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为,本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,此时比赛结束。设各局比赛相互之间没有影响。令X为本场比赛的局数,求X的概率分布和数学期望。

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23.设P1,P2,…,Pj为集合P={1,2,…,i}的子集,其中i,j为正整数。记aij为满足P1∩P2∩…∩Pj=(的有序子集组(P1,P2,…,Pj)的个数。

(1)求a22的值;

(2)求aij的表达式。

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21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.选修4—1:几何证明选讲

如图,AB为半圆O的直径,点C在半圆O上方,连结AC交半圆O于点D,过点C作线段AB的垂线CE,垂足为E。

求证:B,C,D,E四点共圆。

B.选修4—2:矩阵与变换

已知矩阵

(1)求矩阵MN;

(2)若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0,1),求点P的坐标。

C.选修4—4:坐标系与参数方程

在极坐标系中,设O为极点,点P为直线与圆的切点,求OP的长。

D.选修4—5:不等式选讲

已知:a,b,c都是正数,,求证:

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