2015年高考权威预测卷 理科数学 (全国新课标卷I)
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.已知实数x,y满足约束条件且目标函数z=2x+y的最大值是6,最小值是1,则的值是(  )

A1

B2

C3

D4

正确答案

D

解析

由题意得:作出目标函数2x+y=6,和2x+y=1,

则对应的平面区域如图:则B,C在直线ax+by+c=0上,

,解得,即C(1,﹣1),

,解得,即B(2,2),

则B,C在直线在直线ax+by+c=0上,∴BC的方程为3x﹣y﹣4=0,

即a=3,b=﹣1,c=﹣4,则=4,故选:D

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是(   )

A  

B100 

C92 

D84 

正确答案

B

解析

如图所示,原几何体为:

一个长宽高分别为6,3,6的长方体砍去一个三棱锥,底面为直角边分别为3,4直角三角形,高为4.因此该几何体的体积=3×6×6﹣=108﹣8=100.故选B.

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.执行右图程序框图,如果输入的均为2,则输出的S= (    )

A4

B

C6

D7

正确答案

D

解析

若x=t=2,

则第一次循环,1≤2成立,则M= ×2=2,S=2+3=5,k=2,
第二次循环,2≤2成立,则M= ×2=2,S=2+5=7,k=3,
此时3≤2不成立,输出S=7,
故选:D.

知识点

随机事件的关系
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.已知都是定义在上的函数,,且,且.若数列的前项和大于,则的最小值为(   )

A6

B7

C8

D9

正确答案

A

解析

,∴,∵

,即,∴

,∴,∴,∴,∴

∴数列为等比数列,∴,∴,即

所以的最小值为6。

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.已知抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M,若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=(  )

A 

B 

C 

D 

正确答案

D

解析

由抛物线C1:y=x2(p>0)得x2=2py(p>0),

所以抛物线的焦点坐标为F(0,).

﹣y2=1得a=,b=1,c=2.所以双曲线的右焦点为(2,0).

则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为

①.

设该直线交抛物线于M(),则C1在点M处的切线的斜率为

由题意可知=,得x0=,代入M点得M(

把M点代入①得:.解得p=.故选:D.

知识点

抛物线的定义及应用
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.若全集U=R,集合A={x|x2+x﹣2≤0},B={y|y=log2(x+3),x∈A},则集合A∩(∁UB)=(  )

A {x|﹣2≤x<0} 

B {x|0≤x≤1} 

C {x|﹣3<x≤﹣2}

D {x|x≤﹣3}

正确答案

A

解析

A={x|x2+x﹣2≤0}={x|﹣2≤x≤1},

∵B={y|y=log2(x+3),x∈A},由于函数y=log2(x+3)为增函数,

∴B={y|0≤y≤2},

∵全集U=R∴∁UB={y|y<0或y≥2},∴A∩∁UB={x|﹣2≤x<0}.故选:A.

知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.设是虚数单位,若复数为纯虚数,则实数的值为

A

B

C 

D

正确答案

A

解析

依题意.由复数为纯虚数可知,且,求得.故选

知识点

虚数单位i及其性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.设f(x)是定义在R上的奇函数,其f(x)=f(x-2),若f(x)在区间单调递减,则(   )

Af(x)在区间单调递增

Bf(x)在区间单调递增

Cf(x)在区间单调递减

Df(x)在区间单调递减

正确答案

D

解析

由f(x)=f(x﹣2),则函数的周期是2,

若f(x)在区间[2,3]单调递减,则f(x)在区间[0,1]上单调递减,

∵f(x)是定义在R上的奇函数,

∴f(x)在区间[﹣1,0]上单调递减,且f(x)在区间[1,2]上单调递减,

故选:D

知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级,每个年级2人,要求甲必须在高一年级,乙和丙均不能在高三年级,则不同的安排种数为 (    )

A18

B15

C12

D9

正确答案

D

解析

可以先排高三年级有种排法,再排高一年级有=3种排法,剩余的排在高二,所以一共有3×3=9种排法.

知识点

不等式的性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(  )

A

B 

C

D

正确答案

A

解析

如图,以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系E-xyz,设棱长为1,则A,B1,设AB1与平面ACC1A1所成的角为θ,EB1为平面ACC1A1的法向量.

则sinθ=|cos〈〉|=.

知识点

任意角的概念
1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.定义在R上的可导函数f(x)=x3+ax2+2bx+c,当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时,取得极小值,若(1﹣t)a+b+t﹣3>0恒成立,则实数t的取值范围为(  )

A(2,+∞)

B[2,+∞)

C(﹣∞,

D(﹣∞,]

正确答案

B

解析

∵f(x)=x3+ax2+2bx+c,

∴f′(x)=x2+ax+2b,

∵函数f(x)在区间(0,1)内取得极大值,在区间(1,2)内取得极小值,

∴f′(x)=x2+ax+2b=0在(0,1)和(1,2)内各有一个根,

f′(0)>0,f′(1)<0,f′(2)>0,

,在aOb坐标系中画出其表示的区域(不包括边界),如图:

若(1﹣t)a+b+t﹣3>0恒成立,可知a+b﹣3>t(a﹣1)恒成立,由可行域可知a<0,

可得t>=1+它的几何意义是表示点P(1,2)与可行域内的点A连线的斜率加1,当A(x,y)位于M(﹣1,0)时,最小,最小值为1;

则最小值为1+1=2,

的取值范围[2,+∞),

故选:B.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.已知向量是单位向量,若=0,且||+|﹣2|=,则|+2|的取值范围是(  )

A[1,3]

B[]

C[]

D [,3]

正确答案

D

解析

因为=0,且||+|﹣2|=,设单位向量=(1,0),=(0,1),=(x,y),则=(x﹣1,y),=(x,y﹣2),

即(x,y)到A(1,0)和B(0,2)的距离和为,即表示点(1,0)和(0,2)之间的线段,|+2|=表示(﹣2,0)到线段AB上点的距离,最小值是点(﹣2,0)到直线2x+y﹣2=0的距离所以|+2|min=,最大值为(﹣2,0)到(1,0)的距离是3,所以|+2|的取值范围是[,3];

故选:D.

知识点

向量的加法及其几何意义
填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.的展开式中的常数项等于  

正确答案

﹣160

解析

的展开式中的通项公式为Tr+1=•26﹣r•(﹣1)r•x3﹣r

令3﹣r=0,求得r=3,

故展开式中的常数项等于﹣23=﹣160,

故答案为:-160.

知识点

简单复合函数的导数
1
题型:填空题
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分值: 5分

14.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(其中φ为实数),若f(x)≤|f()|对x∈r恒成立,且sinφ<0,则f(x)的单调递增区间是  ;(k∈Z)

正确答案

[kπ+,kπ+]

解析

若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立,

则f()等于函数的最大值或最小值,

即2×+φ=kπ+,k∈Z,

则φ=kπ+,k∈Z,

又sinφ<0,

令k=﹣1,此时φ=﹣,满足条件sinφ<0,

令2x﹣∈[2kπ﹣,2kπ+],k∈Z,

解得x∈[kπ+,kπ+](k∈Z).

则f(x)的单调递增区间是[kπ+,kπ+](k∈Z).

故答案为:[kπ+,kπ+](k∈Z).

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.甲、乙、丙、丁四人商量去看电影。

甲说:乙去我才去;

乙说:丙去我才去;

丙说:甲不去我就不去;

丁说:乙不去我就不去。

最后有人去看电影,有人没去看电影,去的人是

正确答案

甲乙丙

解析

由题意,丙去,则甲乙去,丁不去,即可得出结论。

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.已知函数为自然对数的底数)的图像与直线的交点为,函数的图像与直线的交点为恰好是点到函数图像上任意一点的线段长的最小值,则实数的值是     

正确答案

2

解析

由已知得M(0,2a),N(a,0),因为,则g(x)在x=a处的切线斜率为,若恰好是点到函数图像上任意一点的线段长的最小值,则,解得a=2.

知识点

函数的概念及其构成要素
简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 14分

17.已知数列{an}前n项和为Sn,满足2Sn+ n2 = 3an-6,(n∈N*)

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求证:,(n≥2,n∈N*)

(3)设 ,(n≥2,n∈N*),求证:

正确答案

见解析。

解析

(1)由①得,当n=1时,=7,

时,②,

①-②得

,()

,()

+2=9,所以数列是首项为9公比为3的等比数列.

,∴

(2)由(1)可知

易知时,,∴

()

=

(3),(

,(x≥2)

在[2,+∞)上恒成立,

所以在[2,+∞)上单调递减,

则得

).

知识点

任意角的概念
1
题型:简答题
|
分值: 10分

21.已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程是

是参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程.

(1)判断直线与曲线的位置关系;

(2)设为曲线上任意一点,求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)直线 的普通方程为

曲线的直角坐标系下的方程为

圆心到直线的距离为

所以直线与曲线的位置关系为相离

(2)设

知识点

圆的标准方程
1
题型:简答题
|
分值: 10分

20.如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B和两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P。

(1)求证:AD∥EC;

(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长。

正确答案

见解析。

解析

(1)∵AC是⊙O1的切线,∴∠BAC=∠D,

又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC. 

(2)设BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2,

∴xy=12     ①

∴DE=9+x+y=16,

∵AD是⊙O2的切线,∴AD2=DB·DE=9×16,

∴AD=12. 

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
|
分值: 12分

18.直三棱柱中,,点D在线段AB上.

(1)若平面,确定D点的位置并证明;

(2)当时,求二面角的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:当D是AB的中点时, AC1∥平面B1CD.

连接 BC1交B1C与E

连接DE。又DE是三角形ABC1的中位线

所以DE //AC1

所以AC1∥平面B1CD

(2) 由 ,得AC⊥BC,

以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.

则B(6, 0, 0),A (0, 8, 0),A1(0, 8,8),B1(6, 0, 8).

设D(a, b, 0)(),

因为 点D在线段AB上,且, 即

所以

所以

平面BCD的法向量为

设平面B1CD的法向量为

, 得

所以

设二面角的大小为

所以二面角的余弦值为

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
|
分值: 14分

19.已知椭圆C:的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切。

(1)求椭圆的方程;

(2)设为椭圆上一点,若过点的直线与椭圆相交于不同的两点,且满足(O为坐标原点),求实数的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)由题意:以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为,

∴圆心到直线的距离

∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c, 代入*式得b=c=1 ∴

故所求椭圆方程为 

(2)由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,设

将直线方程代入椭圆方程得:

  

,

当t=0时,直线l的方程为y=0,此时t=0,成立,故,t=0符合题意。

将上式代入椭圆方程得:

整理得: 

综上所以t∈(-2,2)

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
|
分值: 10分

22.已知函数 f(x)=x2+4|x﹣a|(x∈R).

(1)存在实数x1、x2∈[﹣1,1],使得f(x1)=f(x2)成立,求实数a的取值范围;

(2)对任意的x1、x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤k成立,求实数k的最小值。

正确答案

见解析。

解析

(1)函数 f(x)=x2+4|x﹣a|=,由题意可得函数f(x)在[﹣1,1]上不单调,

当a≥1时,函数f(x)在[﹣1,1]上单调递减,不满足条件.

当a≤时,函数f(x)在[﹣1,1]上单调递增,不满足条件.

∴﹣1<a<1,此时,函数f(x)在[﹣1,a]上单调递减,在(a,1]上单调递增,

(2)∵对任意的x1、x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤k成立,

设函数f(x)在[﹣1,1]上的最大值为M(a),最小值为m(a),

当a≥1时,函数f(x)在[﹣1,1]上单调递减,M(a)=f(﹣1)=4a+5,m(a)=f(1)=4a﹣3.

当a≤时,函数f(x)在[﹣1,1]上单调递增,M(a)=f(1)=5﹣4a,m(a)=f(﹣1)=﹣4a﹣3.

∴﹣1<a<1,函数f(x)在[﹣1,a]上单调递减,在(a,1]上单调递增,m(a)=f(a)=a2,M(a)=max{f(1),f(﹣1)}={5﹣4a,5+4a}.

即当0<a<1时,M(a)=5+4a,当﹣1<a<0时,M(a)=5﹣4a.

综上可得,M(a)﹣m(a)=,由对任意的x1、x2∈[﹣1,1],|f(x1)﹣f(x2)|≤k恒成立,

可得k≥M(a)﹣m(a),

故当a≥1 或a≤﹣1时,k≥8;

当0≤a<1时,k≥﹣a2+4a+5=9﹣(a﹣2)2,由9﹣(a﹣2)2∈[5,8),可得k≥8;

当﹣1<a≤0时,k≥﹣a2﹣4a+5=9﹣(a+2)2,由9﹣(a+2)2∈[5,8),可得k≥8.

综合可得,k≥8。

知识点

函数的概念及其构成要素

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