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2.设变量满足约束条件
则目标函数
的最大值为( )
正确答案
解析
目标函数为四边形ABCD及其内部,其中,所以直线
过点B时取最大值3,选D
考查方向
解题思路
画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可.
易错点
解线性规划问题的基本方法是图解法。当B>0时,动直线在y轴上的截距越大,目标函数
值越大,截距越小,目标函数值越小;反之,当B<0时,动直线
在y轴上截距越大,目标函数
值越小,截距越小,目标函数值越大。其中
的系数
的符号是解题的关键,也是同学们经常忽略的地方
3.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为24,则输出
的值为( )
正确答案
解析
依次为 ,
,输出
,选C.
考查方向
解题思路
根据程序框图,进行模拟计算即可.
易错点
对循环结构中控制条件理解存在偏差
4.设,则“
”是“
”的( )
正确答案
解析
但
不满足
,
所以是充分不必要条件,选A.
考查方向
解题思路
运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质,化简两已知不等式,结合充分必要条件的定义,即可得到结论.
易错点
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性,所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。
5.已知双曲线的左焦点为
,离心率为
.若经过
和
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )
正确答案
解析
由题意得 ,选B.
考查方向
解题思路
由双曲线的离心率为,则双曲线为等轴双曲线,即渐近线方程为y=±x,根据直线的斜率公式,即可求得c的值,求得a和b的值,即可求得双曲线方程.
易错点
注意双曲线中a,b,c之间的关系
1.设集合,则
( )
正确答案
解析
,选B.
考查方向
解题思路
由并集概念求得A∪B,再由交集概念得答案.
易错点
对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”,对其本质的理解存在误区,常见的错误是不理解集合的表示法,忽视集合的代表元素。
6.已知奇函数在R上是增函数,
.若
,
,
,则a,b,c的大小关系为( )
正确答案
解析
奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0,f(x)>f(0)=0,且f′(x)>0,
∴g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)单调递增,且g(x)=xf(x)偶函数,
∴a=g(-log25.1)=g(log25.1),
则2<-log25.1<3,1<20.8<2,
由g(x)在(0,+∞)单调递增,则g(20.8)<g(log25.1)<g(3),
∴b<a<c,
故选C.
考查方向
解题思路
由奇函数f(x)在R上是增函数,则g(x)=xf(x)偶函数,且在(0,+∞)单调递增,则a=g(-log25.1)=g(log25.1),则2<-log25.1<3,1<20.8<2,即可求得b<a<c
易错点
无
7.设函数,
,其中
,
.若
,
,且
的最小正周期大于
,则( )
正确答案
解析
由题意,其中
,所以
,又
,所以
,所以
,
,由
得
,故选A.
考查方向
解题思路
由题意求得,再由周期公式求得
,最后由若
求得
值.
易错点
的求解是难点,注意其方法.
8.已知函数设
,若关于x的不等式
在R上恒成立,则a的取值范围是( )
正确答案
解析
当 时,关于x的不等式
在R上恒成立,
即为
即有
由的对称轴为
,可得
处取得最大值
-
由的对称轴为
,可得
处取得最小值
,
则①
当x>1时,关于x的不等式在R上恒成立,
即为,
即有
由(当且仅当
)取得最大值
;
由(当且仅当x=2>1)取得最小值2.
则②
由①②可得,-
综上.故选A.
考查方向
解题思路
讨论当x≤1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可,再由二次函数的最值求法,可得a的范围;讨论当x>1时,同样可得
再由基本不等式可得最值,可得a的范围,求交集即可得到所求范围.
易错点
与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题时,要注意分段函数是一个函数而不是几个函数,如果自变量取值不能确定,要对自变量取值进行分类讨论,同时还要关注分界点附近函数值变化情况。
9.已知,i为虚数单位,若
为实数,则a的值为 .
正确答案
解析
为实数,
则
考查方向
解题思路
运用复数的除法法则,结合共轭复数,化简,再由复数为实数的条件:虚部为0,解方程即可得到所求值.
易错点
要善于掌握化虚为实的转化方法,即设复数z=a+bi(a,b∈R),但有时给许多问题的求解带来不必要的运算困难,而若把握复数的整体性质运用整体运算的思想方法,则能事半功倍,同时要注意复数几何意义的应用
10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .
正确答案
解析
设正方体边长为 ,则
,
外接球直径为
考查方向
解题思路
根据正方体和球的关系,得到正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式进行计算即可.
易错点
熟记球的体积公式.
11.在极坐标系中,直线与圆
的公共点的个数为___________.
正确答案
2
解析
直线为 ,圆为
,因为
,所以有两个交点
考查方向
解题思路
把极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离d,与半径比较即可得出位置关系.
易错点
极坐标方程与直角坐标方程的互化.
13.在中,
,
,
.若
,
,且
,则
的值为___________.
正确答案
解析
,
则
考查方向
解题思路
根据题意画出图形,结合图形,利用
表示出,再根据平面向量的数量积
列出方程求出λ的值.
易错点
无
14.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有___________个.(用数字作答)
正确答案
解析
根据题意,分2种情况讨论:
①四位数中没有一个偶数数字,即在1、3、5、7、9种任选4个,组成一共四位数即可,
有A54=120种情况,即有120个没有一个偶数数字四位数;
②四位数中只有一个偶数数字,
在1、3、5、7、9种选出3个,在2、4、6、8中选出1个,有C53•C41=40种取法,
将取出的4个数字全排列,有A44=24种顺序,
则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数;
则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个;
故答案为:1080.
考查方向
解题思路
根据题意,要求四位数中至多有一个数字是偶数,分2种情况讨论:①、四位数中没有一个偶数数字,②、四位数中只有一个偶数数字,分别求出每种情况下四位数的数目,由分类计数原理计算可得答案.
易错点
注意不重不漏.
12.若,
,则
的最小值为___________.
正确答案
4
解析
,当且仅当
时取等号
考查方向
解题思路
两次利用基本不等式,即可求出最小值,需要注意不等式等号成立的条件是什么.
易错点
均值不等式≥2
(
)取等号的条件是“一正,二定,三相等”。
在解题过程中,务必要先检验取等号的三个条件是否成立。常规的解法是①如果积或和不是定值,设法构造“定值”;② 若是不能保证,可构造“正数”或利用导数求解;③若是等号不能成立,可根据“对勾函数”图象,利用单调性求解。
15.在中,内角
所对的边分别为
.已知
,
,
.
(Ⅰ)求和
的值;
(Ⅱ)求的值.
正确答案
(1) .
;(2)
解析
(Ⅰ)在△ABC中,∵,故由
,可得
由已知及余弦定理,有b2=a2+c2−2accosB=25+36−2×5×6×=13
∴,
由正弦定理,得
.
∴,
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)及,得
,∴
,
,
故.
考查方向
解题思路
(Ⅰ)由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB,再由余弦定理求得b,利用正弦定理求得sinA;
(Ⅱ)由同角三角函数基本关系式求得cosA,再由倍角公式求得sin2A,cos2A,展开两角和的正弦得答案.
易错点
在解三角形中,要注意挖掘题中的隐含条件,否则范围将扩大或缩小,导致错解
17.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值;
(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.
正确答案
(1)证明见解析(2) (3)
或
解析
(Ⅰ)证明:取AB中点F,连接MF、NF,
∵M为AD中点,∴MF∥BD,
∵BD⊂平面BDE,MF⊄平面BDE,∴MF∥平面BDE.
∵N为BC中点,∴NF∥AC,
又D、E分别为AP、PC的中点,∴DE∥AC,则NF∥DE.
∵DE⊂平面BDE,NF⊄平面BDE,∴NF∥平面BDE.
又MF∩NF=F.
∴平面MFN∥平面BDE,则MN∥平面BDE;
(Ⅱ)解:∵PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.
∴以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
∵PA=AC=4,AB=2,
∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),
则,
,
设平面MEN的一个法向量为,
由,得
,取z=2,得
.
由图可得平面CME的一个法向量为.
∴cos<>=
.
∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为,则正弦值为
;
(Ⅲ)解:设AH=t,则H(0,0,t),,
.
∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为,
∴|cos<>|=|
|=|
|=
.
解得:t=或t=
.
∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为,此时线段AH的长为
或
.
考查方向
解题思路
(Ⅰ)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF∥平面BDE,NF∥平面BDE.得到平面MFN∥平面BDE,则MN∥平面BDE;
(Ⅱ)由PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.可以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值,进一步求得正弦值;(Ⅲ)设AH=t,则H(0,0,t),求出
的坐标,结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长.
易错点
在解决有关该考点的具体问题时,易出现的问题主要有:(1)对空间线面关系考虑不全面,导致位置关系判断出错,漏掉直线在平面内的情况;(2)在利用空间线面平行与面面平行的性质定理证明空间平行关系时,往往忽略限制条件导致思维过程不严谨,导致误判
20.设,已知定义在R上的函数
在区间
内有一个零点
,
为
的导函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)设,函数
,求证:
;
(Ⅲ)求证:存在大于0的常数,使得对于任意的正整数
,且
满足
.
正确答案
(1)增区间是,
,减区间是
.(2)见解析(3)证明见解析
解析
(Ⅰ)由,可得
,
进而可得.令
,解得
,或
.
当x变化时,的变化情况如下表:
所以,的单调递增区间是
,
,单调递减区间是
.
(Ⅱ)证明:由,得
,
.
令函数H1(x)=g(x)(x﹣x0)﹣f(x),则H′1(x)=g′(x)(x﹣x0).
由(Ⅰ)知,当x∈[1,2]时,g′(x)>0,
故当x∈[1,x0)时,H′1(x)<0,H1(x)单调递减;
当x∈(x0,2]时,H′1(x)>0,H1(x)单调递增.
因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H1(x)>H1(x0)=﹣f(x0)=0,可得H1(m)>0即h(m)>0,
令函数H2(x)=g(x0)(x﹣x0)﹣f(x),则H′2(x)=g′(x0)﹣g(x).由(Ⅰ)知,g(x)在[1,2]上单调递增,故当x∈[1,x0)时,H′2(x)>0,H2(x)单调递增;当x∈(x0,2]时,H′2(x)<0,H2(x)单调递减.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H2(x)>H2(x0)=0,可得得H2(m)<0即h(x0)<0,.
所以,h(m)h(x0)<0.
(Ⅲ)证明:对于任意的正整数 ,
,且
,
令,函数
.
由(II)知,当时,
在区间
内有零点;
当时,
在区间
内有零点.
所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x1,则h(x1)=g(x1)(﹣x0)﹣f(
)=0.
由(Ⅰ)知g(x)在[1,2]上单调递增,故0<g(1)<g(x1)<g(2),
于是|﹣x0|=
≥
=
.
因为当x∈[1,2]时,g(x)>0,故f(x)在[1,2]上单调递增,
所以f(x)在区间[1,2]上除x0外没有其他的零点,而≠x0,故f(
)≠0.
又因为p,q,a均为整数,所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数,
从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.
所以.所以,只要取
,就有
.
考查方向
解题思路
(Ⅰ)求出函数的导函数,求出极值点,通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可.
(Ⅱ)由,推出
,
令函数H1(x)=g(x)(x-x0)-f(x),求出导函数H′1(x)利用(Ⅰ)知,推出h(m)h(x0)<0.
(Ⅲ)对于任意的正整数p,q,且,令m=
,函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m).
由(Ⅱ)知,当m∈[1,x0)时,当m∈(x0,2]时,通过h(x)的零点.转化推出|﹣x0|=
≥
=
.推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.然后推出结果.
易错点
对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻
16.从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.
(Ⅰ)设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量
的分布列和数学期望;
(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
正确答案
(1) (2)
解析
(Ⅰ)随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.
,
,
,
.
所以,随机变量的分布列为
随机变量的数学期望
.
(Ⅱ)设表示第一辆车遇到红灯的个数,
表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为
.
所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
考查方向
解题思路
(Ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,求出对应的概率值,
写出它的分布列,计算数学期望值;
(Ⅱ)利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值.
易错点
解答此类题常见的错误为①事件的概率不会求;②所求的事件概率不满足。对于②我们通常先求出一些简单事件的概率,如果某事件的概率不好求,在确保其它事件的概率正确的前提下,可用性质
求解。
18.已知为等差数列,前n项和为
,
是学 科.网首项为2的等比数列,且公比大于0,
,
,
.
(Ⅰ)求和
的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和
.
正确答案
(1).
.(2)
.
解析
(I)设等差数列的公差为
,等比数列
的公比为
.
由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q+q2-6=0.
又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n.
由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①.
由S11=11b4,可得a1+5d=16②,
联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.
所以,数列{an}的通项公式为an=3n-2,数列{bn}的通项公式为bn=2n.
(II)设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn,
由,
,有
,
故,
,
上述两式相减,得
得.
所以,数列的前
项和为
.
考查方向
解题思路
(Ⅰ)设出公差与公比,利用已知条件求出公差与公比,然后求解{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)化简数列的通项公式,利用错位相减法求解数列的和即可.
易错点
用错位相减法求和时项数处理不当
19.设椭圆的左焦点为
,右顶点为
,离心率为
.已知
是抛物线
的焦点,
到抛物线的准线
的距离为
.
(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(II)设上两点
,
关于
轴对称,直线
与椭圆相交于点
(
异于点
),直线
与
轴相交于点
.若
的面积为
,求直线
的方程.
正确答案
(1),
.(2)
,或
.
解析
(Ⅰ)解:设的坐标为
.依题意,
,
,
,解得
,
,
,于是
.
所以,椭圆的方程为,抛物线的方程为
.
(Ⅱ)解:直线l的方程为x=﹣1,设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),
联立方程组,解得点P(﹣1,﹣
),故Q(﹣1,
).
联立方程组,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=﹣
.
∴B(,
).
∴直线BQ的方程为(﹣
)(x+1)﹣(
)(y﹣
)=0,
令y=0,解得x=,故D(
,0).
∴|AD|=1﹣=
.
又∵△APD的面积为,∴
×
=
,
整理得3m2﹣2|m|+2=0,解得|m|=
,∴m=±
.
所以,直线的方程为
,或
.
考查方向
解题思路
(I)根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a,b,p即可得出方程;
(II)设AP方程为x=my+1,联立方程组得出B,P,Q三点坐标,从而得出直线BQ的方程,解出D点坐标,根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案.
易错点
解决直线与圆锥曲线位置关系时,常规的方法是设出直线方程,然后与圆锥曲线方程联立,转化为方程的根与系数间的关系问题求解,因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在,②消元后的方程是否为一元二次方程,③一元二次方程是否有实根