理科数学 西宁市2017年高三第一次联合考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.若,则的值为(  )

A6

B7

C35

D20

正确答案

C

解析

由排列和组合数公式可得:,即

解得:n=7或n=-6(不合题意,舍去),

考查方向

排列和组合数公式

解题思路

先根据排列数公式列出关于n的方程,求出n的值,再把n的值代入所求式子,再根据阶乘的公式计算即可.

易错点

排列数和组合数公式的区别

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3. 设两个正态分布的密度曲线如图所示,则有(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

从正态曲线的对称轴的位置看,显然,正态曲线越“瘦高”,表示取值越集中,越小,∴,故选A.

考查方向

正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

解题思路

从正态曲线关于直线对称,看的大小;曲线越“矮胖”,表示总体越分散,越大;曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中,越小.

易错点

对正态曲线的意义理解错误

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.已知随机变量,若ξB(10,0.6),则分别是(   )

A6和2.4

B2和5.6

C6和5.6

D2和2.4

正确答案

D

解析

根据二项分布的期望和方差公式可得:

考查方向

二项分布的期望和方差

解题思路

根据变量可以根据公式求出这个变量的均值与方差,随机变量,由知道变量也符合二项分布,故可得结论.

易错点

二项分布的期望和方差的公式

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.设,且,若能被整除,则(   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

因为,利用二项式定理展开可知,除了最后一项每一项都可以被13整除,因此可知a+1=13,a=12.选D.

考查方向

二项式定理

解题思路

先把变为,按照二项式定理展开,由题意可得1+a能被13整除,由此求得a的值.

易错点

二项式定理的应用

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接等工作,每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为(    )

A240

B300

C150

D180

正确答案

C

解析

将5个人分成满足题意的3组,有1,1,3与2,2,1两种,

分成1,1,3时,有种分法,

分成2,2,1时,有种分法,

所以共有种方案.

考查方向

分组分配

解题思路

将5个人分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种类型,用乘法原理分别计算这两种情况的分配种数,再用加法原理求它们的和即可.

易错点

加法与乘法原理的正确使用

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.若是离散型随机变量,,且,又已知,则=(  )

A 或1

B

C

D

正确答案

C

解析

根据期望和方差的计算公式可知

解得:

,∴

故选C.

考查方向

期望和方差

解题思路

根据期望和方差的公式列出关于的方程组,求出即可.

易错点

期望和方差的计算公式

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.两个变量的回归模型中,分别选择了4个不同模型,它们的相关指数如下 ,其中拟合效果最好的模型是(       )

A模型1的相关指数为0.98

B模型2的相关指数为0.80

C模型3的相关指数为0.50

D模型4的相关指数为0.25

正确答案

A

解析

在两个变量yx的回归模型中,它们的相关指数越接近于1,拟合效果越好,在四个选项中A的相关指数最大,拟合效果最好的是模型1,故选A.

考查方向

回归分析的基本思想及其初步应用

解题思路

相关指数越接近于1,拟合效果越好,找出四个选项中哪个最接近1,即可得出答案.

易错点

拟合效果与的大小关系搞错

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.“有些指数函数是减函数,是指数函数,所以是减函数”上述推理(  )

A大前提错误

B小前提错误

C推理形式错误

D以上都不是

正确答案

C

解析

大前提正确,小前提也正确,但推理形式是错误的.

故选C.

考查方向

“三段论”的推理模式

解题思路

三段论式的演绎推理在高考中是常考点,也是证明题的常用方法,一定要保证大前提正确,且小前提是大前提的子集关系,这样经过正确推理,才能得出正确结论.

易错点

“三段论”中“大前提”和“小前提”的关系

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.如图所示,在一个边长为1的正方形内,曲线和曲线围成一个叶形图(阴影部分),向正方形内随机投一点(该点落在正方形内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型,

由图可知基本事件空间所对应的几何度量

满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量:

所以.

故选B.

考查方向

定积分与几何概型

解题思路

先根据定积分知识求出阴影部分的面积,再根据几何概型公式求解.

易错点

求阴影部分的面积

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.设随机变量,则(   )

A0.4

B0.5

C0.6

D0.7

正确答案

D

解析

可得

故选D.

考查方向

正态分布

解题思路

先根据正态分布曲线的对称性求出,再根据根据分布曲线的意义得出所求的概率.

易错点

求正态分布曲线的对称轴

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.甲、乙两位同学玩游戏,对于给定的实数,按下列方法操作一次产生一个新的实数:由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把乘以2后再减去12;如果出现一个正面朝上,一个反面朝上,则把除以2后再加上12,这样就可得到一个新的实数. 对仍按上述方法进行一次操作,又得到一个新的实数. 当时, 甲获胜, 否则乙获胜. 若甲获胜的概率为, 则的取值范围是(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

的结果有四种,每一个结果出现的概率都是

∴要使甲获胜的概率为

的概率为

,

解得:

故选B.

考查方向

概率的应用

解题思路

这是一个新定义的问题,根据题意列举得到新的实数的途径,得到不同的不等式,根据所给的要使甲获胜的概率为,即可求出的范围.

易错点

对题意的正确理解

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.的展开式中,的系数可以表示从个不同物体中选出个方法总数,下列各式的展开式中的系数恰能表示从重量分别为1,2,3,…,10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个,使其总重量恰为8克的方法总数的选项是(     )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

是由中的指数和等于8 的那些项的乘积构成,有多少种这样的乘积,就有多少个.各个这样的乘积,分别对应从重量1、2、3、…10克的砝码(每种砝码各一个)中,选出若干个表示8克的方法.
故“从重量1、2、3、…10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个,使其总重量恰为8克的方法总数”,就是的展开式中的系数,

故选 A.

考查方向

二项式定理的应用

解题思路

是由中的指数和等于8 的那些项的乘积构成,有多少种这样的乘积,就有多少个.而各个这样的乘积,分别对应从重量1、2、3、…10克的砝码(每种砝码各一个)中,选出若干个表示8克的方法,从而得出结论.

易错点

对二项式定理的正确理解

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.已知,则展开式中的常数项为__________.

正确答案

-160

解析

由定积分的几何意义知,等于图中阴影部分的面积,

由二项式定理的通项公式得:

当6-2r=0,即r=3时,常数项为

考查方向

定积分与二项式定理

解题思路

先根据定积分的几何意义求出a的值,再根据二项式定理的通项公式求出常数项.

易错点

根据定积分的几何意义求出a的值

1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.气象台统计,5月1日晋江市下雨的概率为,刮风的概率为,既刮风又下雨的概率为,设A为下雨,B为刮风,则______________

正确答案

解析

考查方向

独立事件与条件概率

解题思路

先求出事件A与事件B同时发生的概率,再根据条件概率的计算公式求解.

易错点

条件概率的计算公式

1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.在未来3天中,某气象台预报天气的准确率为0.8,则在未来3天中,至少连续2 天预

报准确的概率是             .

正确答案

0.768

解析

可能是恰有两天连续准确也可能是连续三天准确,概率为

考查方向

相互独立事件的概率乘法公式

解题思路

至少连续2 天预报准确包含恰有两天连续准确和连续三天准确,根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出它们的概率,再把它们相加即可.

易错点

至少连续2 天预报准确包含的两种情况

1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.在长方形中,设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是 αβ,则有

cos 2 α+cos 2 β=1类比到空间,在长方体中,一条对角线与从其一顶点出发的三个面所成的角分别为 αβγ,则有cos 2 α+cos 2 β+cos 2 γ=________.

正确答案

2

解析

如图,设与平面ABCD所成的角

中,

同理可得

考查方向

类比推理

解题思路

先根据线面角的定义找出所求的线面角,再根据直角三角形中边和角的关系得出所求的余弦值,从而得出所求的结论.

易错点

根据线面角的定义得出所求的余弦值

简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

有4名男生,3名女生排成一排:

19.从中选出3人排成一排,有多少种排法?

20.若男生甲不站排头,女生乙不站在排尾,则有多少种不同的排法?

21.要求女生必须站在一起,则有多少种不同的排法?

22.若3名女生互不相邻,则有多少种不同的排法?

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

210

解析

由题意可得从中选出3人排成一排的方法种数为

考查方向

排列与组合的计数问题

解题思路

7个人中选出3个的排列,根据排列的定义计算即可.

易错点

排列与组合的区别

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

3720

解析

间接法:总的方法种数共,去掉男生甲站排头,女生乙站在排尾共,而其中重复的为男生甲站排头,同时女生乙站在排尾的,故总的方法种数为:5040-1440+120=3720.

考查方向

排列与组合的计数问题

解题思路

先求出总的排法数,再减去掉男生甲站排头,女生乙站在排尾的排法,最后加上男生甲站排头,同时女生乙站在排尾的排法.

易错点

注意加上多减去的排法数

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

720

解析

捆绑法:把3名女生看作1个元素与其它排列共种,再对3名女生作调整共种,由分步计数原理可得共120×6=720种.

考查方向

排列与组合的计数问题

解题思路

先把3名女生看作1个元素与其它的4名男生进行全排列,再把3名女生排列,最后根据分步计数原理计算.

易错点

分步计数原理的使用

第(4)小题正确答案及相关解析

正确答案

1440

解析

插空法:先排4名男生共种,再把3名女生插到所产生的5个空位,共种,由分步计数原理可得共24×60=1440种 .

考查方向

排列与组合的计数问题

解题思路

先求出4名男生的全排列数,再在求出3名女生在5个空位选3个空位的排列数,最后根据分步计数原理计算.

易错点

插空法的使用

1
题型:简答题
|
分值: 12分

设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为,购买乙种商品的概率为,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。

23.求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;

24.求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;

25.记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求的分布列及期望。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

0.5

解析

表示事件:进入商场的1位顾客购买甲种商品,

表示事件:进入商场的1位顾客购买乙种商品,

表示事件:进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,

表示事件:进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种,

考查方向

相互独立事件和互斥事件的概率公式

解题思路

由题意知购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的,设出事件后,再根据互斥事件和独立事件的计算公式求解.

易错点

把所求事件表示为两个互斥事件的和

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

0.8

解析

考查方向

相互独立事件和对立事件的概率公式

解题思路

先求出进入商场的1位顾客一样商品都不购买的概率,再根据对立事件的概率公式计算.

易错点

事件的对立关系

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

分布列略;

解析

的分布列为:

所以

考查方向

随机事件的分布列及期望

解题思路

先根据n重独立重复事件的概率公式计算取每个值时的概率,列出分布列,再根据期望的定义计算.

易错点

根据n重独立重复事件的概率公式计算概率

1
题型:简答题
|
分值: 12分

某普通高中为了了解学生的视力状况,随机抽查了100名高二年级学生和100名高三年级学生,对这些学生配戴眼镜的度数(简称:近视度数)进行统计,得到高二学生的频数分布表和高三学生频率分布直方图如下:

将近视程度由低到高分为4个等级:当近视度数在0-100时,称为不近视,记作0;当近视度数在100-200时,称为轻度近视,记作1;当近视度数在200-400时,称为中度近视,记作2;当近视度数在400以上时,称为高度近视,记作3.

26.从该校任选1名高二学生,估计该生近视程度未达到中度及以上的概率;

27.设,从该校任选1名高三学生,估计该生近视程度达到中度或中度以上的概率;

28.把频率近似地看成概率,用随机变量分别表示高二、高三年级学生的近视程度,若,求.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

0.7

解析

设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件

考查方向

古典概型

解题思路

从频率分布表得到高二学生近视程度未达到中度及以上的人数,再根据古典概型公式计算.

易错点

概率与频率的关系

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

0.46

解析

设该生近视程度达到中度及中度以上为事件B,

.

考查方向

频率分布直方图

解题思路

由频率分布直方图得出中度以下的概率,再根据概率之和为1得出该生近视程度达到中度及中度以上的概率.

易错点

根据频率分布直方图得出中度以下的概率

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

0.001

解析

,∴,

.

考查方向

分布列及期望

解题思路

分别计算,再根据求得b的值.

易错点

期望的计算

1
题型:简答题
|
分值: 10分

已知(计算结果可保留指数幂的形式)

17.求的值

18.求的值

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

0

解析

x-1=t,展开式为

令t=1,得

令t=-1,得

考查方向

二项式定理

解题思路

先用换元法对所求的式子变形,再用赋值法计算求值,从而得出答案.

易错点

对换元法的正确使用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

考查方向

二项式定理

解题思路

先根据二项式定理展开,再找出对应项的系数.

易错点

找出对应项的系数

1
题型:简答题
|
分值: 12分

某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数(AQI)的监测数据,结果统计如下:

29.若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季,其中有8 天为严重污染.根据提供的统计数据,完成下面的2×2 列联表,并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”?

30.已知某企业每天的经济损失(单位:元)与空气质量指数的关系式为:  试估计该企业一个月(按30 天计算)的经济损失的数学期望.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”

解析

根据题设中的数据得到如表:

将2×2列联表中的数据代入公式计算,得

所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”;

考查方向

独立性检验的应用

解题思路

根据题意填写列联表,计算观测值,对照临界值即可得出结论.

易错点

根据独立性检验的计算

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

16800

解析

任选一天,设该天的经济损失为X元,则

,

所以

故该企业一个月(按30 天计算)的经济损失的数学期望为元.

考查方向

分布列与期望

解题思路

先求出X取每个值时的概率,再根据期望的公式计算出每天经济损失的期望值,最后乘以30,即得每个月经济损失的数学期望.

易错点

根据概率公式计算X取每个值时的概率

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知一种动物患有某种疾病的概率为0.1,需要通过化验血液来确定是否患该种疾病,化验结果呈阳性则患病,呈阴性则没有患病,多只该种动物检测时,可逐个化验,也可将若干只动物的血样混在一起化验,仅当至少有一只动物的血呈阳性时混合血样呈阳性,若混合血样呈阳性,则该组血样需要再逐个化验.

31.求2只该种动物的混合血样呈阳性的概率;

32.现有4只该种动物的血样需要化验,有以下三种方案

方案一:逐个化验;

方案二:平均分成两组化验;

方案三:混合在一起化验.

请问:哪一种方案更适合(即化验次数的期望值更小).

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

0.19

解析

为2只该种动物中血液呈阳性的只数,则

这两只动物中只要有一只血样呈阳性,它们的混合血样呈阳性,

所求的概率为

答:2只动物的混合血样呈阳性的概率为0.19.

考查方向

独立事件及对立事件的概率公式

解题思路

为2只该种动物中血液呈阳性的只数,则,由此即能求出2只该种动物的混合血样呈阳性的概率.

易错点

独立事件概率乘法公式的计算

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

这4只动物混合在一起化验更合适

解析

方案一:4只动物都得化验,所需化验次数为4次.

方案二:设所需化验次数为X,则X的所有可能取值为2,4,6;

,

所以

方案三:设所需化验次数为Y,则Y的所有可能取值为1,5;

由于4只动物的混合血样呈阴性的概率为=0.6561,

所以

所以

因为2.3756<2.76<4,所以这4只动物混合在一起化验更合适.

考查方向

离散型随机变量的期望与方差

解题思路

分别求出三种方案的化验次数的期望值,比较它们的大小,期望值大的更合适.

易错点

根据独立事件的概率公式计算出Y取每个值时的概率

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