理科数学 2012年高三试题

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
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预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1．已知，函数的定义域为则（）

正确答案

解析

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知识点

指数函数单调性的应用

题型：单选题

分值: 5分

4．一个几何体的三视图如图1所示，已知这个几何体的体积为，则（）

正确答案

解析

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：单选题

分值: 5分

9．已知=tan-sin+4（其中、为常数且0）,如果,则（2010-3）的值为（）

A-3

B-5

正确答案

解析

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知识点

共线向量与共面向量

题型：单选题

分值: 5分

8．已知，若，则的夹角为（）

正确答案

解析

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：单选题

分值: 5分

3．设、、是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列4个命题：

①若a∥，b∥，则a∥b；

②若a∥，b∥，a∥b，则∥；

③若a⊥，b⊥，a⊥b，则⊥；

④若a、b在平面内的射影互相垂直，则a⊥b．

其中正确命题是（）

A④

B③

C①③

D②④

正确答案

解析

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知识点

相等向量与相反向量

题型：单选题

分值: 5分

5．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为，视力在4.6到5.0之间的学生人数为，则、的值分别为（）

A0.27，78

B0.27，83

C2.7，78

D2.7，83

正确答案

解析

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

2．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（）

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

6．阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（）

正确答案

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知识点

点与圆的位置关系

题型：单选题

分值: 5分

7．函数的零点的个数是（）

正确答案

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知识点

函数单调性的性质

题型：单选题

分值: 5分

10．设直线kx-y+1=0被圆O：所截弦的中点的轨迹为C,则曲线C与直线x+y-1=0的位置关系为（）

A相交

B相切

C相离

D不确定

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

11．直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若线段的长是8，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是（）

正确答案

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知识点

幂函数的图像

题型：单选题

分值: 5分

12．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）。则（）

A-3

B-2

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

13．若不等式的解集为，则的取值范围为____________。

正确答案

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知识点

相交弦所在直线的方程

题型：填空题

分值: 5分

16．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为的个小正方形（如下图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“、、”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有____________种．

正确答案

108

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知识点

集合的含义

题型：填空题

分值: 5分

15．若直线与圆相交于P、Q两点，且点P、Q关于直线对称，则不等式组表示的平面区域的面积为____________。

正确答案

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知识点

导数的加法与减法法则

题型：填空题

分值: 5分

14．的展开式中x2项的系数为60，则实数a=____________。

正确答案

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

18．定义在R上的奇函数有最小正周期4，且时，。

（1）求在上的解析式；

（2）判断在上的单调性，并给予证明；

（3）当为何值时，关于方程在上有实数解？

正确答案

解：（1）当时，

又为奇函数，，

当时，由有最小正周期4，

综上，

（2）设则

在上为减函数。

（3）即求函数在上的值域。

当时由⑵知，在上为减函数，

，

当时，，，

当时，

的值域为

时方程方程在上有实数解。

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知识点

幂函数的图像

题型：简答题

分值: 10分

17．△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，且．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）当取最大值时，求角的大小．

正确答案

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知识点

简单复合函数的导数

题型：简答题

分值: 12分

20．

（1）求的最小值；

（2）若≥在内恒成立，求的取值范围。

正确答案

解：（1）函数的定义域为

设当变化时，值的变化情况如下表：

所以，当时，

（2）由≥对恒成立≤

令；

得为上的减函数．

∴当时，有最小值2，得≤2，≤1，故的取值范围是

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知识点

对数函数的定义

题型：简答题

分值: 12分

19．如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求直线和平面所成角的正弦值．

正确答案

方法一：

（1）证法一：取的中点，连．

∵为的中点，∴且．

∵平面，平面，

∴，∴．

又，∴．

∴四边形为平行四边形，则．

∵平面，平面，

∴平面．

证法二：取的中点，连．

∵为的中点，∴．

∵平面，平面，∴．

又，

∴四边形为平行四边形，则．

∵平面，平面，

∴平面，平面．

又，∴平面平面．

∵平面，

∴平面．

（2）证：∵为等边三角形，为的中点，∴．

∵平面，平面，∴．

又，故平面．

∵，∴平面．

∵平面，∴平面平面．

（3）解：在平面内，过作于，连．

∵平面平面， ∴平面．

∴为和平面所成的角．

设，则，

，

R t△中，．

∴直线和平面所成角的正弦值为．

方法二：

设，建立如图所示的坐标系，则

．

∵为的中点，∴．

（1）证：，

∵，平面，∴平面．

（2）证：∵，

∴，∴．

∴平面，又平面，∴平面平面．

（3）解：设平面的法向量为，由可得：

，取．

又，设和平面所成的角为，则

．

∴直线和平面所成角的正弦值为．

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导数的乘法与除法法则

题型：简答题

分值: 12分

22．已知圆与直线相切。

（1）求以圆O与y轴的交点为顶点，直线在x轴上的截距为半长轴长的椭圆C方程;

（2）已知点A，若直线与椭圆C有两个不同的交点E,F，且直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数;问直线的斜率是否为定值？若是求出这个定值;若不是，请说明理由。

正确答案

解：（1）因为直线在x轴上的截距为2，所以

直线的方程变为，由直线与圆相切得

所以椭圆方程为

（2）设直线AE方程为，

代入得：

设E,F，因为点A在椭圆上，

所以，

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，

同理可得：,

所以直线EF的斜率为

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知识点

简单复合函数的导数

题型：简答题

分值: 12分

21．设为数列的前项和，对任意的，都有为常数，且．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的公比，数列满足，求数列的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和．

正确答案

（1）证明：当时，，解得．

当时，．即．

又为常数，且，∴．

∴ 数列是首项为1，公比为的等比数列。

（2）解：由（1）得，，．

∵，∴，即．

∴是首项为，公差为1的等差数列．

∴，即（）．

（3）解：由（2）知，则．

所以，…

即， ①

则， ②

②－①得，

故

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变化的快慢与变化率

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