理科数学成都市2016年高三第一次模拟考试

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

4．设，，，则a, b, c的大小顺序是（）

正确答案

解析

因为，，又在R上单调递增，且恒大于零，所以，而，所以，故选C.

考查方向

本题主要考查了指数、对数的基本运算以及指数函数的单调性，在近几年的各省高考题出现的频率也较高。

解题思路

先分别的取值范围，比较即可。

易错点

本题易在比较a, b时出错。

知识点

指数幂的运算对数的运算性质

题型：单选题

分值: 5分

5．已知为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A若，则

B若，则

C若，则

D若，则

正确答案

解析

对于选项A.可以相交；对于选项B.，直线可以在平面内，

对于选项C.，直线可以在平面内，故选D.

考查方向

本题主要考查了空间中直线、平面之间的位置关系以及直线、平面的平行和垂直的判断定理。

解题思路

根据选项逐个进行分析、判断。

易错点

对线面、面面的平行或垂直的判定定理理解不透彻，导致出错。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

题型：单选题

分值: 5分

7．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数的最大值为（）

正确答案

解析

由题可得，则，所以，

故选A.

考查方向

本题主要考查了程序框图的基本流程，在近几年的各省高考题中年年出现，是必考知识点。

解题思路

根据输出的结果不大于50，来求的值。

易错点

对判断条件理解不清楚或计算S的值时出错。

知识点

程序框图

题型：单选题

分值: 5分

9．已知双曲线的左右焦点分别为，，若上存在点使为等腰三角形，且其顶角为，则的值是（）

正确答案

解析

因为是等腰三角形，且顶角为，，

由平面几何知识得，，根据双曲线的定义得，由双曲线的离心率得

，两边平方，得，故选D.

考查方向

本题主要考查了双曲线的几何性质、定义以及简单的平面几何知识，是圆锥曲线中很重要的考察对象，是高频考点。

解题思路

先画等腰三角形，利用平面几何知识以及双曲线的定义表示出离心率，即可解决问题。

易错点

不会画等腰三角形或不会用双曲线的定义解决问题。

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

分值: 5分

1．已知集合，，则（）

正确答案

解析

因为集合，，所以，故选B.

考查方向

本题主要考查了集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，在近几年的各省高考题出现的频率较高。

解题思路

先求出集合A，再与集合B取交集。

易错点

一元二次不等式的解集是取两边还是中间；集合的交集是取集合的公共部分。

知识点

交集及其运算

题型：单选题

分值: 5分

2．在中，“”是“”的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

因为所以；而在中，

因为，所以, 故选C.

考查方向

本题主要考查了三角形中角的取值范围、三角函数的计算以及充分条件、必要条件的关系，在近几年的各省高考题出现的频率较高。

解题思路

先由，求出的取值，再根据充分、必要条件的关系判断。

易错点

本题易在由，得的取值时发生错误。

知识点

充要条件的判定命题的真假判断与应用

题型：单选题

分值: 5分

3．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（）

正确答案

解析

由三视图可得，半球的半径为2，圆锥的底面半径和高都等于2，所以半球的体积为，圆锥的体积，则剩余部分的体积,所以，故选C.

考查方向

本题主要考查了球、圆锥体积的基本运算以及由三视图想象空间几何体，在近几年的各省高考试题中，是必考知识点。

解题思路

由三视图先分别求出半球和圆锥的体积，再求出剩余部分的体积，即可求出体积比。

易错点

本题易在求半球的体积时发生错误。

知识点

由三视图还原实物图

题型：单选题

分值: 5分

6．已知实数满足，则的最大值是（）

正确答案

考查方向

本题主要考查了线性规划的有关知识，在近几年的各省高考题中每年都考，是高频考点。

易错点

1、画可行域时易出错；

知识点

其它不等式的解法

题型：单选题

分值: 5分

8．已知菱形边长为2，，点P满足，．若，则的值为（）

正确答案

解析

如图，因为所以, 解得=1，

所以，故选A.

考查方向

本题主要考查了平面几何中菱形的几何性质以及向量的线性运算和数量积运算，在近几年的各省高考题中，是高频考点，特别是向量的有关计算。

解题思路

画出图形，分别把用菱形的两边的和来表示，再进行数量积运算，建立关于线段BP的方程，解得BP的值后，就可以求出的值。

易错点

不会利用向量加法的几何意义运算或进行向量的数量积运算时，夹角出错，

知识点

向量的几何表示平面向量数量积的运算

题型：单选题

分值: 5分

10．已知函数 .若存在实数，使得函数的值域为，则实数的取值范围是（）

正确答案

解析

由于对数函数在上是单调递减函数，且当时，；当时，，故；令，解得、、（舍去），令，则，由得或，可得当时，函数取得极小值，由于存在实数，使得函数的值域为，故实数的取值范围是，故选B.

考查方向

本题主要考查了分段函数的图象、值域以及对数函数、三次函数的单调性、最值等相关知识，同时考查了数形结合的数学思想，在近几年的各省高考题中每年都考，是高频考点。

解题思路

由于对数函数在上是单调递减函数，再由函数的值域为，得到的取值范围，再由的图象，结合函数的值域为，从而得到实数的取值范围。

易错点

求实数或的取值范围时容易出错；

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的值

填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

11．设复数满足（其中为虚数单位），则．

正确答案

解析

因为，所以。

考查方向

本题主要考查了复数的基本运算，是高频考点。

解题思路

根据复数的基本运算，进行化简即可。

易错点

本题易在复数的乘除时发生错误。

知识点

复数的基本概念复数代数形式的混合运算

题型：填空题

分值: 5分

12．已知函数.若，则．

正确答案

解析

根据题意可构造奇函数，由，所以，又为奇函数，则，所以。

考查方向

本题主要考查了考生构造奇函数和整体换元法的能力。

解题思路

先构造，可知为奇函数，由题可得的值，从而得到的值，易得的值。

易错点

本题易在构造奇函数时发生错误。

知识点

函数奇偶性的性质

题型：填空题

分值: 5分

15．某房地产公司要在一块矩形宽阔地面（如图）上开发物业，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点，．则当能开发的面积达到最大时，的长为．

正确答案

解析

根据题意，当开发面积最大时，三角形OMN的面积就最小。设直线MN与曲线相切于点T且,对函数，求导得，所以，切线MN的斜率，直线MN的方程为：

令得；令得，所以，

当且仅当且，解得，即三角形MON面积的最小值为，此时，

，故答案为：1.

考查方向

本题主要考查了直线的有关知识、导数的几何意义和基本不等式在求最值问题中的应用，同时还考查了考生的计算能力。

解题思路

先设切点的坐标，并运用导数得出切线方程，再求出直线的横纵截距，最后运用基本不等式求出最值。

易错点

本题易在利用基本不等式求最值或用导研究函数最值时发生错误。

知识点

函数的最值及其几何意义函数性质的综合应用

题型：填空题

分值: 5分

13．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲，乙的平均成绩分别为，.则的概率是．

正确答案

解析

由已知题中的茎叶图，可得乙的5次综合测评中的成绩分别为87，86，92，94，91，则乙的平均成绩：=( 87+86+92+94+91)= 90,设污损数字为,则甲的5次综合测评中的成绩分别为85，87，84，99，90+，甲的平均成绩：=(85+87+84+99+90+)

=,∈N，由，解得的可能取值为6，7，8，9。所以的概率

。

考查方向

本题主要考查了考生从茎叶图获取数据的能力和统计学中的平均数、古典概率等有关知识。

解题思路

先设污损数字为,再分别求出甲、乙的平均数，由，建立关于的不等式，即可得到的取值范围，从而求出其概率。

易错点

本题易在求被污损数字的范围时发生错误。

知识点

随机事件的频率与概率茎叶图

题型：填空题

分值: 5分

14. 已知圆，过点的直线交该圆于两点，为坐标原点，则面积的最大值是．

正确答案

解析

当直线的斜率不存在时，由题可得的面积为0；当直线的斜率存在时，由题可设其斜率为k,则直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离，，令，所以

，所以，面积的最大值为。

考查方向

本题主要考查了直线圆的位置关系、垂径定理、点到直线的距离公式，同时也考查了考生分类讨论思想和利用配方法求函数最值的能力。

解题思路

讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，设出其方程，并求出圆心到直线的距离d，从而得到的面积，再利用换元，配方法即可得出结论。

易错点

本题易在求面积的最大值时发生错误。

知识点

直线与圆的位置关系直线和圆的方程的应用

简答题（综合题）本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

有编号为的9道题，其难度系数如下表：

其中难度系数小于0.50的为难题．

18.从上述9道题中，随机抽取1道，求这道题为难题的概率；

19.从难题中随机抽取2道，求这两道题目难度系数相等的概率．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

记“从9道题中，随机抽取1道为难题”为事件，9道题中难题有，，，四道. ∴

考查方向

本题主要考查了古典概率和通过列举法求概率的思想，主要考查了考生阅读理解、数据分析处理能力。这类题是近几年考查的主流方向。

解题思路

列举出全部事件、基本事件所包含的个数，容易得出结论。

易错点

本题易在列举基本事件包含的个数时发生错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

【解析】记“从难题中随机抽取2道难度系数相等”为事件，则基本事件为：，，，，，共6个；难题中有且仅有，的难度系数相等.∴

考查方向

本题主要考查了古典概率和通过列举法求概率的思想，主要考查了考生阅读理解、数据分析处理能力。这类题是近几年考查的主流方向。

解题思路

列举出全部事件、基本事件所包含的个数，容易得出结论。

易错点

本题易在列举基本事件包含的个数时发生错误。

题型：简答题

分值: 12分

如图，菱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，平面，且．

22.求证：平面；

23.若，求几何体的体积．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

图，过点作于，连接

平面平面，平面平面平面于

平面又平面，四边形为平行四边形.平面，平面平面

考查方向

本题通过正三角形的性质、面线垂直、线面垂直、线面平行、几何体的体积等知识，考查考生空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，在近几年的各省高考题中是必考知识点，不容忽视。

解题思路

解题步骤如下：由平面与平面垂直，即可得EH与平面垂直，则可以得到EH与FD平行且相等，易得平面。

易错点

本题易在证明线面垂直、平行或求锥体的体积时发生错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

几何体的体积为3.

解析

连接.由题意,得.平面平面平面于平面.，平面，平面

平面同理，由可证，平面于D，平面，平面，平面平面到平面的距离等于的长.为四棱锥的高,

考查方向

解题思路

解题步骤如下：由于该几何体比较复杂，需要分成2个几何体来求解，根据题目给出的条件，求出每个几何体的底面积和对应的高，即可得到几何体的体积。

易错点

本题易在证明线面垂直、平行或求锥体的体积时发生错误。

题型：简答题

分值: 12分

已知等比数列的公比，且．

16.求的值；

17.若，求数列的前项和．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

【解析】

由题意，得，

或

考查方向

本题主要考查了等比数列的通项公式和等比数列的求和公式，同时也考查了考生的推理论证与运算求解能力。

解题思路

解题步骤如下：1、根据等比数列的通项公式化简等式，即可得到公比的值；2、因为，即可求出首项，易得数列的通项公式，从而求出数列的前项和。

易错点

本题在求等比数列的公比或求数列的前项和时容易发生错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

【解析】 .

考查方向

本题主要考查了等比数列的通项公式和等比数列的求和公式，同时也考查了考生的推理论证与运算求解能力。

解题思路

解题步骤如下：1、根据等比数列的通项公式化简等式，即可得到公比的值；2、因为，即可求出首项，易得数列的通项公式，从而求出数列的前项和。

易错点

本题在求等比数列的公比或求数列的前项和时容易发生错误。

题型：简答题

分值: 12分

已知函数．

20.求函数取得最大值时取值的集合；

21.设，，为锐角三角形的三个内角.若，，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当取得最大值时,取值的集合为

解析

要使取得最大值，须满足取得最小值.

当取得最大值时,取值的集合为

考查方向

本题通过三角函数、倍角公式、辅助角公式等知识，考查考生推理论证能力及运算求解能力，在近几年的各省高考题中是必考知识点。

解题思路

解题步骤如下：

易错点

本题易在利用倍角公式变形时发生错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

考查方向

本题通过三角函数、倍角公式、辅助角公式等知识，考查考生推理论证能力及运算求解能力，在近几年的各省高考题中是必考知识点。

解题思路

易错点

本题易在利用倍角公式变形时发生错误。

题型：简答题

分值: 13分

已知椭圆的左右顶点分别为，，点为椭圆上异于的任意一点.

24.求直线与的斜率之积；

25.过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点.证明：以为直径的圆恒过点.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

直线与的斜率之积为；

解析

由题可得. 设点.

则有，即

考查方向

通过椭圆的定义及几何性质，直线与椭圆的位置关系等知识，考查考生数形结合及函数与方程的思想方法，同时也考查考生推理运算求解能力、等价转化思想，是近几年的高频考点，也是高考中圆锥曲线必不可少的内容。

解题思路

解题步骤如下：由椭圆的方程，可得到A ，B两点的坐标，设出点P(x，y)，即可表示出直线与的斜率，将其代入椭圆方程，容易得出结论；

易错点

本题是综合性比较强的大题，涉及到的的知识点比较多，计算量较大，所以在计算时易发生错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

设，，与轴不重合， ∴设直线.由得

由题意,可知成立，且

将（*）代入上式，化简得

∴，即以为直径的圆恒过点．

考查方向

解题思路

解题步骤如下：要证明以为直径的圆恒过点，只需证明即可.由于直线过点，由题可设直线l的方程，即代入到椭圆方程消去x，即可得到关于y的一元二次方程，再利用根与系数之间的关系，化简,，最后得0，即可证明结论。

易错点

本题是综合性比较强的大题，涉及到的的知识点比较多，计算量较大，所以在计算时易发生错误。

题型：简答题

分值: 14分

已知函数．

26.当时，求函数的单调递减区间；

27.当时，设函数. 若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，的单调递减区间为,；

当时，的单调递减区间为；

当时，的单调递减区间为,.

解析

的定义域为，

①当时，. 由得或. ∴当，时，单调递减. ∴的单调递减区间为,.

②当时，恒有，∴单调递减. ∴的单调递减区间为.

③当时，. 由得或.∴当，时，单调递减. ∴的单调递减区间为,.

综上，当时，的单调递减区间为,；

当时，的单调递减区间为；

当时，的单调递减区间为,.

考查方向

通过函数的导数来研究函数的单调性、最值以及极值等知识，考查考生分解因式、熟练解不等式以及综合运算求解能力，同时也考查了数学中的分类讨论思想、等价转化思想。是近几年的高频考点，也是高考中函数与导数必不可少的内容。

解题思路

解题步骤如下：先求函数的导数，根据导函数的正负来讨论原函数的单调性，但是要讨论的取值范围。

易错点

本题易在分类讨论和解含参数的不等式时发生错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

的取值范围为

解析

在上有零点，

即关于的方程在上有两个不相等的实数根.

令函数.则.

令函数. 则在

上有. 故在上单调递增.

，当时，有即.∴单调递减；

当时，有即，∴单调递增.

，，

的取值范围为

考查方向

解题思路

解题步骤如下：要证有2个零点, 只需证明关于的方程，在上有两个不相等的实数根，那么就需要构造函数，讨论其单调性，得到取值范围，从而得出结论。

易错点

本题不容易构造函数，讨论其单调性，求其范围，导致题目无法进行。

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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易错点

知识点

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解题思路

易错点

知识点

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