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4.设,
,
,则a, b, c的大小顺序是( )
正确答案
解析
因为,
,又
在R上单调递增,且恒大于零,所以
,而
,所以
,故选C.
考查方向
解题思路
先分别的取值范围,比较即可。
易错点
本题易在比较a, b时出错。
知识点
5.已知为空间中两条不同的直线,
为空间中两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
正确答案
解析
对于选项A.可以相交; 对于选项B.,直线
可以在平面
内,
对于选项C.,直线可以在平面
内,故选D.
考查方向
解题思路
根据选项逐个进行分析、判断。
易错点
对线面、面面的平行或垂直的判定定理理解不透彻,导致出错。
知识点
7.执行如图所示程序框图,若使输出的结果不大于50,则输入的整数
的最大值为( )
正确答案
解析
由题可得,则
,所以
,
故选A.
考查方向
解题思路
根据输出的结果不大于50,来求的值。
易错点
对判断条件理解不清楚或计算S的值时出错。
知识点
9.已知双曲线的左右焦点分别为
,
,若
上存在点
使
为等腰三角形,且其顶角为
,则
的值是( )
正确答案
解析
因为是等腰三角形,且顶角为
,
,
由平面几何知识得,
,根据双曲线的定义得
,由双曲线的离心率
得
,两边平方,得
,故选D.
考查方向
解题思路
先画等腰三角形
,利用平面几何知识以及双曲线的定义表示出离心率,即可解决问题。
易错点
不会画等腰三角形或不会用双曲线的定义解决问题。
知识点
1.已知集合,
,则
( )
正确答案
解析
因为集合,
,所以
,故选B.
考查方向
解题思路
先求出集合A,再与集合B取交集。
易错点
一元二次不等式的解集是取两边还是中间;集合的交集是取集合的公共部分。
知识点
2.在中,“
”是“
”的( )
正确答案
解析
因为所以
;而在
中,
因为,所以
, 故选C.
考查方向
解题思路
先由,求出
的取值,再根据充分、必要条件的关系判断。
易错点
本题易在由,得
的取值时发生错误。
知识点
3.如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图,则剩余部分与挖去部分的体积之比为( )
正确答案
解析
由三视图可得,半球的半径为2,圆锥的底面半径和高都等于2,所以半球的体积为,圆锥的体积
,则剩余部分的体积
,所以
,故选C.
考查方向
解题思路
由三视图先分别求出半球和圆锥的体积,再求出剩余部分的体积,即可求出体积比。
易错点
本题易在求半球的体积时发生错误。
知识点
6.已知实数满足
,则
的最大值是( )
正确答案
考查方向
易错点
1、画可行域时易出错;
知识点
8.已知菱形边长为2,
,点P满足
,
.若
,则
的值为( )
正确答案
解析
如图,因为所以
, 解得
=1,
所以
,故选A.
考查方向
解题思路
画出图形,分别把用菱形的两边的和来表示,再进行数量积运算,建立关于线段BP的方程,解得BP的值后,就可以求出
的值。
易错点
不会利用向量加法的几何意义运算或进行向量的数量积运算时,夹角出错,
知识点
10.已知函数 .若存在实数
,使得函数
的值域为
,则实数
的取值范围是( )
正确答案
解析
由于对数函数在
上是单调递减函数,且当
时,
;当
时,
,故
;令
,解得
、
、
(舍去),令
,则
,由
得
或
,可得当
时,函数
取得极小值
,由于存在实数
,使得函数
的值域为
,故实数
的取值范围是
,故选B.
考查方向
解题思路
由于对数函数在
上是单调递减函数,再由函数
的值域为
,得到
的取值范围,再由
的图象,结合函数
的值域为
,从而得到实数
的取值范围。
易错点
求实数或
的取值范围时容易出错;
知识点
11.设复数满足
(其中
为虚数单位),则
.
正确答案
解析
因为,所以
。
考查方向
解题思路
根据复数的基本运算,进行化简即可。
易错点
本题易在复数的乘除时发生错误。
知识点
12.已知函数.若
,则
.
正确答案
解析
根据题意可构造奇函数,由
,所以
,又
为奇函数,则
,所以
。
考查方向
解题思路
先构造,可知
为奇函数,由题可得
的值,从而得到
的值,易得
的值。
易错点
本题易在构造奇函数时发生错误。
知识点
15.某房地产公司要在一块矩形宽阔地面(如图)上开发物业 ,阴影部分是不能开发的古建筑群,且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离,古建筑群的边界为曲线的一部分,栏栅与矩形区域边界交于点
,
.则当能开发的面积达到最大时,
的长为 .
正确答案
解析
根据题意,当开发面积最大时,三角形OMN的面积就最小。设直线MN与曲线相切于点T且
,对函数
,求导得
,所以,切线MN的斜率
,直线MN的方程为:
令 得
;令
得
,所以
,
当且仅当且
,解得
,即三角形MON面积的最小值为
,此时,
,故答案为:1.
考查方向
解题思路
先设切点的坐标,并运用导数得出切线方程,再求出直线的横纵截距,最后运用基本不等式求出最值。
易错点
本题易在利用基本不等式求最值或用导研究函数最值时发生错误 。
知识点
13.甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示,其中一个数字被污损,记甲,乙的平均成绩分别为,
.则
的概率是 .
正确答案
解析
由已知题中的茎叶图,可得乙的5次综合测评中的成绩分别为87,86,92,94,91,则乙的平均成绩:=
( 87+86+92+94+91)= 90,设污损数字为
,则甲的5次综合测评中的成绩分别为85,87,84,99,90+
,甲的平均成绩:
=
(85+87+84+99+90+
)
=,
∈N,由
,解得
的可能取值为6,7,8,9。所以
的概率
。
考查方向
解题思路
先设污损数字为,再分别求出甲、乙的平均数,由
,建立关于
的不等式,即可得到
的取值范围,从而求出其概率。
易错点
本题易在求被污损数字的范围时发生错误 。
知识点
14. 已知圆,过点
的直线
交该圆于
两点,
为坐标原点,则
面积的最大值是 .
正确答案
解析
当直线的斜率不存在时,由题可得
的面积为0;当直线
的斜率存在时,由题可设其斜率为k,则直线
的方程为
,即
,所以圆心到直线的距离
,
,令
,所以
,所以
,
面积的最大值为
。
考查方向
解题思路
讨论直线的斜率存在与不存在两种情况,当斜率存在时,设出其方程,并求出圆心到直线的距离d,从而得到
的面积,再利用换元,配方法即可得出结论。
易错点
本题易在求面积的最大值时发生错误 。
知识点
有编号为的9道题,其难度系数如下表:
其中难度系数小于0.50的为难题.
18.从上述9道题中,随机抽取1道,求这道题为难题的概率;
19.从难题中随机抽取2道,求这两道题目难度系数相等的概率.
正确答案
解析
记“从9道题中,随机抽取1道为难题”为事件,9道题中难题有
,
,
,
四道. ∴
考查方向
解题思路
列举出全部事件、基本事件所包含的个数,容易得出结论。
易错点
本题易在列举基本事件包含的个数时发生错误。
正确答案
解析
【解析】记“从难题中随机抽取2道难度系数相等”为事件,则基本事件为:
,
,
,
,
,
共6个;难题中有且仅有
,
的难度系数相等.∴
考查方向
解题思路
列举出全部事件、基本事件所包含的个数,容易得出结论。
易错点
本题易在列举基本事件包含的个数时发生错误。
如图,菱形与正三角形
的边长均为2,它们所在平面互相垂直,
平面
,且
.
22.求证:平面
;
23.若,求几何体
的体积.
正确答案
见解析
解析
图,过点作
于
,连接
平面
平面
,
平面
平面
平面
于
平面
又
平面
,
四边形
为平行四边形.
平面
,
平面
平面
考查方向
解题思路
解题步骤如下:由平面与平面
垂直,即可得EH与平面
垂直,则可以得到EH与FD平行且相等,易得
平面
。
易错点
本题易在证明线面垂直、平行或求锥体的体积时发生错误 。
正确答案
几何体的体积为3.
解析
连接.由题意,得
.
平面
平面
平面
于
平面
.
,
平面
,
平面
平面
同理,由
可证,
平面
于D,
平面
,
平面
,
平面
平面
到平面
的距离等于
的长.
为四棱锥
的高,
考查方向
解题思路
解题步骤如下:由于该几何体比较复杂,需要分成2个几何体来求解,根据题目给出的条件,求出每个几何体的底面积和对应的高,即可得到几何体的体积。
易错点
本题易在证明线面垂直、平行或求锥体的体积时发生错误 。
已知等比数列的公比
,且
.
16.求的值;
17.若,求数列
的前
项和
.
正确答案
解析
【解析】
由题意,得,
或
考查方向
解题思路
解题步骤如下:1、根据等比数列的通项公式化简等式,即可得到公比
的值;2、因为
,即可求出首项
,易得数列
的通项公式,从而求出数列
的前
项和
。
易错点
本题在求等比数列的公比或求数列的前
项和
时容易发生错误。
正确答案
解析
【解析】
.
考查方向
解题思路
解题步骤如下:1、根据等比数列的通项公式化简等式,即可得到公比
的值;2、因为
,即可求出首项
,易得数列
的通项公式,从而求出数列
的前
项和
。
易错点
本题在求等比数列的公比或求数列的前
项和
时容易发生错误。
已知函数.
20.求函数取得最大值时
取值的集合;
21.设,
,
为锐角三角形
的三个内角.若
,
,求
的值.
正确答案
当取得最大值时,
取值的集合为
解析
要使取得最大值,须满足
取得最小值.
当
取得最大值时,
取值的集合为
考查方向
解题思路
解题步骤如下:
易错点
本题易在利用倍角公式变形时发生错误 。
正确答案
解析
考查方向
解题思路
易错点
本题易在利用倍角公式变形时发生错误 。
已知椭圆的左右顶点分别为
,
,点
为椭圆上异于
的任意一点.
24.求直线与
的斜率之积;
25.过点作与
轴不重合的任意直线交椭圆
于
,
两点.证明:以
为直径的圆恒过点
.
正确答案
直线与
的斜率之积为
;
解析
由题可得. 设点
.
则有,即
考查方向
解题思路
解题步骤如下:由椭圆的方程,可得到A ,B两点的坐标,设出点P(x,y),即可表示出直线与
的斜率,将其代入椭圆方程,容易得出结论;
易错点
本题是综合性比较强的大题,涉及到的的知识点比较多,计算量较大,所以在计算时易发生错误 。
正确答案
见解析
解析
设,
,
与
轴不重合, ∴设直线
.由
得
由题意,可知成立,且
将(*)代入上式,化简得
∴,即以
为直径的圆恒过点
.
考查方向
解题思路
解题步骤如下:要证明以为直径的圆恒过点
,只需证明
即可.由于直线过点
,由题可设直线l的方程,即
代入到椭圆方程消去x,即可得到关于y的一元二次方程,再利用根与系数之间的关系,化简
,,最后得0,即可证明结论。
易错点
本题是综合性比较强的大题,涉及到的的知识点比较多,计算量较大,所以在计算时易发生错误 。
已知函数.
26.当时,求函数
的单调递减区间;
27.当时,设函数
. 若函数
在区间
上有两个零点,求实数
的取值范围.
正确答案
当时,
的单调递减区间为
,
;
当时,
的单调递减区间为
;
当时,
的单调递减区间为
,
.
解析
的定义域为
,
①当时,
. 由
得
或
. ∴当
,
时,
单调递减. ∴
的单调递减区间为
,
.
②当时,恒有
,∴
单调递减. ∴
的单调递减区间为
.
③当时,
. 由
得
或
.∴当
,
时,
单调递减. ∴
的单调递减区间为
,
.
综上,当时,
的单调递减区间为
,
;
当时,
的单调递减区间为
;
当时,
的单调递减区间为
,
.
考查方向
解题思路
解题步骤如下:先求函数的导数,根据导函数的正负来讨论原函数的单调性,但是要讨论的取值范围。
易错点
本题易在分类讨论和解含参数的不等式时发生错误 。
正确答案
的取值范围为
解析
在
上有零点,
即关于的方程
在
上有两个不相等的实数根.
令函数.则
.
令函数. 则
在
上有. 故
在
上单调递增.
,
当
时,有
即
.∴
单调递减;
当时,有
即
,∴
单调递增.
,
,
的取值范围为
考查方向
解题思路
解题步骤如下:要证有2个零点, 只需证明关于
的方程
,在
上有两个不相等的实数根,那么就需要构造函数,讨论其单调性,得到取值范围,从而得出结论。
易错点
本题不容易构造函数,讨论其单调性,求其范围,导致题目无法进行。