• 理科数学 长沙市2015年高三试卷
单选题 本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

1.已知集合M={x2-2x<0},N={x<a},若M⊆N,则实数a的取值范围是(     )

A[2,+∞)

B(2,+∞)

C(-∞,0)

D(-∞,0]

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1

2.下列四个命题

p1:∃x∈(0,+∞),<;

p2:∃x∈(0,1),logx>logx;

p3:∀x∈(0,+∞),>logx ; 

p4:∀x∈,<logx,

其中的真命题是(      )

Ap1,p3

Bp1,p4

Cp2,p3

Dp2,p4

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1

3.在如下图所示的程序框图中输入10,结果会输出(     )

A10

B11

C512

D1 024

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1

4.将函数f(x)=sin x+cos x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于原点对称,则φ的最小值为(     )

A

B

C

D

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1

6.不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下:a、b、c成等比数列,a、m、b和b、n、c都成等差数列,则=(     )

A-2

B0

C2

D不能确定

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1

5.若实数x,y满足条件,则z=x+3y的最大值为(     )

A9

B11

C12

D16

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1

7.已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限,且顶点A、D分别在x、y的正半轴上(含原点)滑动,则·的最大值是(     )

A1

B

C2

D

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1

9.若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:y(y-mx-m)=0有4个不同的交点,则实数m的取值范围是(     )

A

B

C

D

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1

8.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积为(     )

A

B

C

D

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1

10.已知集合A=,其中且a3≠0,则A中所有元素之和等于(     )

A3 240

B3 120

C2 997

D2 889

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填空题 本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填写在题中横线上。
1

12.如图,椭圆的长轴为A1A2,短轴为B1B2,将坐标平面沿y轴折成一个二面角,使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点,则此二面角的大小为(        ).

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1

13.若,则f(x)=(      ).

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1

14.在函数f(x)=aln x+(x+1)2(x>0)的图象上任取两个不同的点P(x1,y1)、Q(x2,y2),总能使得f(x1)-f(x2)≥4(x1-x2),则实数a的取值范围为(       ).

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1

11.在△ABC中,a=15,b=10,∠A=60°,则cos B=(       ).

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1

15.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,图中的实心点的个数1、5、12、22、…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作a1=1,第2个五角形数记作a2=5,第3个五角形数记作a3=12,第4个五角形数记作a4=22,……,若按此规律继续下去,则a5=(       ),若an=145,则n=(       ).

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简答题(综合题) 本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

17.某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目,选手进入正赛前需通过海选,参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目,只需通过一项测试即可停止测试,通过海选.若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数,则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛.甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、、, 且通过各次测试的事件相互独立.

(1)若甲选手先测试A项目,再测试B项目,后测试C项目,求他通过海选的概率;若改变测试顺序,对他通过海选的概率是否有影响?说明理由;

(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试,第一项能通过的概率为p1,第二项能通过的概率为p2,第三项能通过的概率为p3,设他通过海选时参加测试的次数为ξ,求ξ的分布列和期望(用p1、p2、p3表示);并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛.

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1

16.设.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线x=1对称,求当时y=g(x)的最大值.

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1

18.如图,△ABC的外接圆⊙O的半径为5,CE垂直于⊙O所在的平面,BD∥CE,CE=4,BC=6,且BD=1,cos∠ADB=.

(1)求证:平面AEC⊥平面BCED;

(2)试问线段DE上是否存在点M,使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为?若存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由.

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1

20.已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=2经过椭圆的右焦点F和上顶点B.

(1)求椭圆Γ的方程;

(2)如图,过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q,与圆C的交点为P,M为OP的中点, 求的最大值.

分值: 13分 查看题目解析 >
1

21.已知函数

(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;

(2)求证:对任意实数a<0,有.

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1

19.等比数列{an}中的前三项a1、a2、a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数,且三个数不在同一列.

        

(1)求此数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足,求数列{bn}的前n项和Sn.

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