• 理科数学 黄浦区2014年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题4分,共56分。把答案填写在题中横线上。
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1.已知,其中是实数,是虚数单位,则的共轭复数为(    )。

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2.已知线性方程组的增广矩阵为,若该线性方程组解为

则实数(    )。

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3.执行如下图所示的程序框图,若输入,则输出的值为 (    )

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1

4.若的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项

是(    ) 。

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1

6.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为,焦点到渐近线的距离为3,则该双曲线的方程为(         )。

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1

5.已知集合 ,且,则(   )

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7.已知,则的值为 (    ) 。

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8.已知,则(   )。

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9.有一个正四面体的棱长为,现用一张圆形的包装纸将其完全包住(不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小半径为 (      )。

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10.正项等比数列中,存在两项使得,且,则最小值(   )。

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11.已知曲线的极坐标方程分别为,则曲线交点的极坐标为 (     )。

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12.若内一点,且,在内随机撒一颗豆子,则此豆子落在内的概率为(    ) 。

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1

13.如图,矩形的一边轴上,另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为,记矩形的周长为,则(     )。

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1

14.已知函数是偶函数,且,当时,,则方程在区间上的解的个数是(    )。

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单选题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

15.若为空间两条不同的直线,为空间两个不同的平面,则 丄的一个充分条件是(   )。

A//

B

C//

D//

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1

17.圆的圆心到直线为参数)的距离为(    )。

A

B1

C

D

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1

18.若函数的图象如图,其中为常数。则函数的大致图象是(      )

A

B

C

D

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16.某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查:

①从某社区430户高收入家庭,980户中等收入家庭,290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标;

②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况;

则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是(  )

A①用系统抽样,②用随机抽样

B①用系统抽样,②用分层抽样

C①用分层抽样,②用系统抽样

D①用分层抽样,②用随机抽样

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简答题(综合题) 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

19.如图,为矩形,为梯形,平面平面

.

(Ⅰ)若中点,求证:∥平面

(Ⅱ)求平面所成锐二面角的大小.

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20.如图,某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道,赛道的前一部分为曲线段FBC.该曲线段是函数时的图象,且图象的最高点为,赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD,且//;赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧

(1)求的值和的大小;

(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”,矩形的一边在道路EF上,一个顶点在半径OD上,另外一个顶点P在圆弧上,求“矩形草坪”面积的最大值,并求此时点的位置。

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22.已知椭圆C:的短轴的端点分别为A,B(如图),直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点,其中点M (m,) 满足,且.

(1)用m表示点E,F的坐标;

(2)证明直线EF与y轴交点的位置与m无关;

(3)若∆BME面积是∆AMF面积的5倍,求m的值.

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21.已知函数

(1)求函数的定义域;

(2)若,试比较的大小;

(3)设,若函数有且只有一个零点,求实数k的取值范围.

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23.设数列对任意都有(其中是常数) .

(1)当时,求

(2)当时,若,求数列的通项公式;

(3)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当时,设是数列的前项和,,试问:是否存在这样的“封闭数列” ,使得对任意,都有,且.若存在,求数列的首项的所有取值;若不存在,说明理由.

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