理科数学南宁市2014年高三试卷

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1．已知集合，，则=（）

正确答案

解析

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知识点

直线与平面垂直的判定与性质

题型：单选题

分值: 5分

4．在正项等比数列中，若，，成等差数列，则（）

正确答案

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

分值: 5分

2．复数满足则（）

正确答案

解析

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

3．已知,则（）

正确答案

解析

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知识点

对数函数的定义域

题型：单选题

分值: 5分

8．已知,则双曲线与的（　）

A实轴长相等

B离心率相等

C虚轴长相等

D焦距相等

正确答案

解析

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：单选题

分值: 5分

12．已知定义在R上的函数满足：，且是奇函数，给出以下命题，正确的是（）

①f（x）是周期函数

②f（x）关于点（-3,0）对称

③f（x）是偶函数

④f（x）关于直线x=-3对称

A①②③

B①②③④

C①②④

D①③④

正确答案

解析

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

5．若变量满足约束条件,则x+2y的最大值为（　）

正确答案

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

分值: 5分

7．已知且，若函数在上既是奇函数，又是增函数，则函数的图像是（　）

正确答案

解析

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：单选题

分值: 5分

6．设,则（　）

正确答案

解析

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

10．把ABCDE这5个字母排成一排，A，B都不和C相邻的排法有（）

A24种

B30种

C32种

D36 种

正确答案

解析

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知识点

指数函数的图像变换

题型：单选题

分值: 5分

9．若，数列中，，，则数列的前项和为（　）

正确答案

解析

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知识点

指数函数的图像变换

题型：单选题

分值: 5分

11．设向量，，满足，，,则的最大值等于（　）

正确答案

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

14．的展开式中的系数为___________。

正确答案

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 5分

16．如图正方体中，、分别是棱、的中点，的顶点在棱上运动，有以下四个命题：

①在底面上的射影图形的面积为定值；

②在侧面上的射影图形一定是三角形；

③直线一定垂直平面；

④平面一定垂直平面。

其中正确命题的序号是___________。

正确答案

①④

解析

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知识点

简单复合函数的导数

题型：填空题

分值: 5分

13．已知抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，并且经过点，若点到抛物线焦点的距离为，则___________。

正确答案

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 5分

15．设是球的半径，是的中点，过与成的平面截球得到圆，若圆面积为，则球的表面积为___________。

正确答案

8π

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知识点

导数的乘法与除法法则

简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

20．已知满足，.

（1）求数列的通项公式。

（2）设，求数列的前项和．

正确答案

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知识点

导数的加法与减法法则

题型：简答题

分值: 12分

21．已知椭圆的对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，又点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线的斜率为，若直线与椭圆交于、两点，求面积的最大值．

正确答案

解：

解析

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知识点

函数单调性的性质

题型：简答题

分值: 10分

17.设△的内角所对的边分别为,且,,.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的面积.

正确答案

解:

解析

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知识点

简单复合函数的导数

题型：简答题

分值: 12分

18．甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2013年自主招生．自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核过关的概率分别为0.5，0.6，0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75．

（1）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核的概率；

（2）设甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格的人数为，求随机变量的期望．

正确答案

解：

（1）分别记甲，乙，丙通过审核为事件，，，记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核为事件，则

（2）分别记甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格为事件，则

，

∴的可能取值为0、1、2、3，

，

故随机变量的数学期望为.

解析

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幂函数的图像

题型：简答题

分值: 12分

19.如图，已知四棱锥中，侧棱平面，底面是平行四边形，，，，分别是的中点．

（1）求证：平面

（2）当平面与底面所成二面角为时，求二面角的大小．

正确答案

解：

（1）证明：∵平面，∴的射影是，的射影是，

∵∴∴，且，

∴是直角三角形，且，

∴，∵平面，∴，

且，∴平面

（2）解法1：

由（1）知，且是平行四边形，可知，

又∵平面，由三垂线定理可知，，

又∵由二面角的平面角的定义可知，是平面与底面所成二面角，故，故在中，，∴，，

从而又在中，，

∴在等腰三角形，分别取中点和中点，连接，和，

∴中位线，且平面，∴平面，

在中，中线，由三垂线定理知，，

为二面角的平面角，

在中，，，

，，

∴二面角的大小为.

解法2：

由（1）知，以点为坐标原点，以、、

所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，，

，，，

则，，

设平面的一个法向量为,

则由

又是平面的一个法向量，平面与底面所成二面角为

，解得，

设平面的一个法向量为,

则由.

又是平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则

，∴ ∴

∴二面角的大小为.

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直线与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

分值: 12分

22．函数，其中．

（1）若函数在其定义域内是单调函数，求的取值范围；

（2）若对定义域内的任意，恒有，求的值；

（3）设，．当时，若存在，使得，求实数的取值范围．

正确答案

解:

（1）．由题设，在内恒成立，

或在内恒成立．若，则，

即恒成立，显然在内的最大值为，

所以，．若，则，显然该不等式在内不恒成立．

综上，所求的取值范围为．

（2）由题意，是函数的最小值，也是极小值．因此，，

解得．经验证，符合题意；

（3）由（1）知，当时，在内单调递增，从而在上单调递增，

因此，在上的最小值，最大值，

，由知，当时，，因此，在上单调递减，

在上的最小值，最大值，

因，所以．

①若，即时，两函数图象在上有交点，

此时显然满足题设条件．

②若，即时，的图象在上，的图象在下，

只需，即，，解得．

综上，所求实数的取值范围为．

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指数函数的单调性与特殊点

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