2015年高考权威预测卷 理科数学 (北京卷)
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-2y=3},则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是(  )

A0

B1

C2

D3

正确答案

C

解析

由题中集合可知,集合A表示直线x+y=1上的点,集合B表示直线x-2y=3上的点,联立,可得A∩B={(2,-1)},M为A∩B的子集,可知M可能为{(2,-1)},∅,所以满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是2,故选C.

知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.程序框图如下图所示,当时,输出的的值为(   )

A20

B22

C24

D25

正确答案

C

解析

略。

知识点

流程图的概念
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的(  )

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

略。

知识点

四种命题及真假判断
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.设实数x,y满足不等式组则x2+y2的取值范围是(  )

A[1,2]

B[1,4]

C[,2]

D[2,4]

正确答案

B

解析

如图所示,不等式组表示的平面区域是△ABC的内部(含边界),x2+y2表示的是此区域内的点(x,y)到原点距离的平方.从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离,其值为1;最远的距离为AO,其值为2,故x2+y2的取值范围是[1,4].

知识点

不等式的性质
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是菱形,则该几何体的侧面积为(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由三视图还原为空间几何体,如图所示,则有OA=OB=1,.

又PB⊥平面ABCD,

∴PB⊥BD,PB⊥AB,

∴PD=

从而有PA2+DA2=PD2,∴PA⊥DA,

∴该几何体的侧面积.

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.定义区间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如,(1,2)∪[3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3.用[x]表示不超过x的最大整数,记{x}=x-[x],其中x∈R.设f(x)=[x]·{x},g(x)=x-1,当0≤x≤k时,不等式f(x)<g(x)的解集区间的长度为5,则k=(  )

A6

B7

C8

D9

正确答案

B

解析

f(x)=[x]·{x}=[x]·(x-[x])=[x]x-[x]2,由f(x)<g(x),得[x]x-[x]2<x-1,即x<[x]2-1.当x∈(0,1)时,[x]=0,不等式的解为x>1,不符合题意;当x∈[1,2)时,[x]=1,不等式可化为0<0,无解,不符合题意;当x∈[2,+∞)时,[x]>1,不等式([x]-1)x<[x]2-1等价于x<[x]+1,此时不等式恒成立,所以不等式的解集为[2,k],因为不等式f(x)<g(x)的解集区间的长度为5,所以k-2=5,即k=7,故选B.

知识点

随机事件的关系
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.曲线与坐标轴的交点是(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

时,,而,即,得与轴的交点为

时,,而,即,得与轴的交点为选B

知识点

定义法求轨迹方程
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.下列函数中,既是偶函数又在(-∞,0)上单调递增的是(  )

Ay=x2

By=2|x

Cy=

Dy=sin x

正确答案

C

解析

选C 函数y=x2在(-∞,0)上是减函数;函数y=2|x|在(-∞,0)上是减函数;函数y==-log2|x|是偶函数,且在(-∞,0)上是增函数;函数y=sin x不是偶函数.综上所述,选C.

知识点

函数的概念及其构成要素
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

11.直线x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,则椭圆的方程为________________.

正确答案

+y2=1

解析

直线x-2y+2=0与x轴的交点为(-2,0),即为椭圆的左焦点,故c=2.

直线x-2y+2=0与y轴的交点为(0,1),即为椭圆的顶点,故b=1.

故a2=b2+c2=5,椭圆方程为+y2=1.

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
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分值: 5分

10.已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为________________.

正确答案

(2,0)

解析

=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),

设N(x,y),则=(x-5,y+6)=(-3,6),

所以

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
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分值: 5分

12.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前 n项和为Sn ,当且仅当n=8 时Sn 取得最大值,则d 的取值范围为________.

正确答案

解析

由题意,当且仅当n=8时Sn有最大值,可得

解得-1<d<.

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:填空题
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分值: 5分

14.已知函数f(x)= (ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象完全相同,若,则f(x)的值域是________.

正确答案

解析

f(x)=3sin=3cos=3cos,易知ω=2,则f(x)=3sin

∵x∈,∴-≤2x-

∴-≤f(x)≤3.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
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分值: 5分

9.已知,其中是实数,是虚数单位,则的共轭复数为()

正确答案

解析

.

知识点

复数代数形式的乘除运算
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有________.

正确答案

240种

解析

根据题意,由排列可得,从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作,有A=360种不同的情况,其中包含甲从事翻译工作,有A=60种,乙从事翻译工作,有A=60种,若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,则选派方案共有360-60-60=240种.

知识点

集合的含义
简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

15.(本小题满分13分)已知向量.记

(1)求的周期;

(2)在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足(2a—c)B=b,  若,试判断ABC的形状.

正确答案

见解析。

解析

(1)

(2)根据正弦定理知:

  ∴  而,所以,因此ABC为等边三角形.

知识点

函数的图象与图象变化
1
题型:简答题
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分值: 14分

20.设函数F(x)在区间D上的导函数为F1(x),F1(x)在区间D上的导函数为F2(x),如果当x∈D时,F2(x)≥0,则称F(x)在区间D上是下凸函数.已知e是自然对数的底数,f(x)=ex-ax3+3x-6.

(1)若f(x)在[0,+∞)上是下凸函数,求a的取值范围;

(2)设M(x)=f(x)+f(-x)+12,n是正整数,求证:M(1)M(2)…M(n)>.

正确答案

见解析。

解析

(1)f′(x)=ex-3ax2+3,设F1(x)=f′(x),则F1′(x)=ex-6ax.

∵f(x)在[0,+∞)上是下凸函数,

∴当x∈[0,+∞)时,F1′(x)=ex-6ax≥0.

当x=0时,1≥0成立,即F1′(x)=ex-6ax≥0成立,此时a∈R.

当x∈(0,+∞)时,由F1′(x)=ex-6ax≥0得,

,则.

∴当x∈(1,+∞)时,H′(x)>0,H(x)单调递增;

当x∈(0,1)时,H′(x)<0,H(x)单调递减,

∴当x=1时,H(x)取得最小值H(1)=e,

,∴a的取值范围为.

(2)∵f(x)=ex-ax3+3x-6,

∴M(x)=f(x)+f(-x)+12=ex+e-x>0.

∵M(x1)M(x2)=ex1+x2+ex1-x2+ex2-x1+e-x1-x2>ex1+x2+ex1-x2+ex2-x1

又ex1-x2+ex2-x1=2,∴M(x1)M(x2)>ex1+x2+2,

∴M(1)M(n)>en+1+2,M(2)M(n-1)>en+1+2,

M(3)M(n-2)>en+1+2,…,M(n)M(1)>en+1+2,

∴[M(1)M(n)][M(2)M(n-1)]· …·[M(n)M(1)]>(en+1+2)n

∴M(1)M(2)· …·.

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
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分值: 13分

16.(本小题满分13分)某学校的三个学生社团的人数分布如下表(每名学生只能参加一个社团):

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人,结果拳击社被抽出了6人.

(1)求拳击社团被抽出的6人中有5人是男生的概率;

(2)设拳击社团有X名女生被抽出,求X的分布列.

正确答案

见解析。

解析

(1)由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人,拳击社被抽出了6人,

∴m=2.

设A为“拳击社团被抽出的6人中有5人是男生”,

.

(2)由题意可知:X=0,1,2,

X的分布列为

知识点

简单随机抽样
1
题型:简答题
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分值: 13分

17.(本小题满分13分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,E,F分别为PC,BC的中点.

(1)求证:EF∥平面PAD;

(2)求证:平面PAB⊥平面PDC;

(3)在线段AB上是否存在点G,使得二面角CPDG的余弦值为?说明理由.

正确答案

见解析。

解析

(1)

如图,连接AC,交BD于点F,底面ABCD为正方形,

F为AC中点,E为PC中点.

所以在△CPA中,EF∥PA.

又PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,

所以EF∥平面PAD.

(2)证明:因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD.

底面ABCD为正方形,CD⊥AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD.

又PA⊂平面PAD,所以CD⊥PA.

又PA=PD=AD,所以△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=,即PA⊥PD.

又CD∩PD=D,且CD,PD⊂平面PDC,所以PA⊥平面PDC.

又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PDC.

(3)如图,取AD的中点O,连接OP,OF,因为PA=PD,所以PO⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PO⊥平面ABCD,

而O,F分别为AD,BD的中点,所以OF∥AB,

又底面ABCD是正方形,故OF⊥AD,

以O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz如图所示,则有A(1,0,0),C(-1,2,0),F(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,0,1),若在AB上存在点G,使得二面角CPDG的余弦值为,连接PG,DG,设G(1,a,0)(0≤a≤2),

=(1,0,1),=(-2,-a,0),由(2)知平面PDC的一个法向量为=(1,0,-1),

设平面PGD的法向量为n=(x,y,z).

解得

令y=-2,得n=(a,-2,-a),

所以

解得

所以,在线段AB上存在点,使得二面角CPDG的余弦值为.

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
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分值: 13分

18.(本小题满分13分)已知函数f(x)=ln x,.

(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的表达式;

(2)若φ(x)=-f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数m的取值范围.

正确答案

见解析。

解析

(1)由已知得f′(x)=,∴f′(1)=1=a,a=2.

又∵g(1)=0=a+b,∴b=-1,∴g(x)=x-1.

(2)∵φ(x)=-f(x)=-ln x在[1,+∞)上是减函数.

∴φ′(x)=≤0在[1,+∞)上恒成立.

即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,

则2m-2≤x+,x∈[1,+∞),

∵x+∈[2,+∞),∴2m-2≤2,m≤2.

故数m的取值范围是(-∞,2].

知识点

不等式的性质
1
题型:简答题
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分值: 14分

19.(本小题满分14分)(2015·衡水中学二调)已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1和F2,且|F1F2|=2,点在该椭圆上.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AF2B的面积为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.

正确答案

见解析。

解析

(1)由题意知c=1,

a=2,故椭圆C的方程为.

(2)①当直线l⊥x轴时,可取,△AF2B的面积为3,不符合题意.

②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,

显然Δ>0成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=-,x1x2

可得

又圆F2的半径

∴△AF2B的面积为

代简得:17k4+k2-18=0,得k=±1,

∴r=,圆的方程为(x-1)2+y2=2.

知识点

椭圆的定义及标准方程

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