- 真题试卷
- 模拟试卷
- 预测试卷
1.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－2y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( )
正确答案
解析
由题中集合可知，集合A表示直线x＋y＝1上的点，集合B表示直线x－2y＝3上的点，联立
知识点
4.程序框图如下图所示，当
正确答案
解析
略。
知识点
5.设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的( )
正确答案
解析
略。
知识点
6.设实数x，y满足不等式组
A[1,2]
B[1,4]
C[
D[2,4]
正确答案
解析
如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC的内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方.从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4].
知识点
7.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )
A
B
C
D
正确答案
解析
由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有OA＝OB＝1，
又PB⊥平面ABCD，
∴PB⊥BD，PB⊥AB，
∴PD＝
从而有PA2＋DA2＝PD2，∴PA⊥DA，
∴该几何体的侧面积
知识点
8.定义区间(a，b)，[a，b)，(a，b]，[a，b]的长度均为d＝b－a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，(1,2)∪[3,5)的长度d＝(2－1)＋(5－3)＝3.用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}＝x－[x]，其中x∈R.设f(x)＝[x]·{x}，g(x)＝x－1，当0≤x≤k时，不等式f(x)＜g(x)的解集区间的长度为5，则k＝( )
正确答案
解析
f(x)＝[x]·{x}＝[x]·(x－[x])＝[x]x－[x]2，由f(x)＜g(x)，得[x]x－[x]2＜x－1，即
知识点
3.曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
当
当
知识点
2.下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( )
Ay＝x2
By＝2|x
Cy＝
Dy＝sin x
正确答案
解析
选C 函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数；函数y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函数y＝
知识点
11.直线x－2y＋2＝0过椭圆
正确答案
解析
直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2.
直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b＝1.
故a2＝b2＋c2＝5，椭圆方程为
知识点
10.已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若
正确答案
（2,0）
解析
设N(x，y)，则
所以
知识点
12.在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前 n项和为Sn ，当且仅当n＝8 时Sn 取得最大值，则d 的取值范围为________.
正确答案
解析
由题意，当且仅当n＝8时Sn有最大值，可得
知识点
14.已知函数f(x)＝
正确答案
解析
f(x)＝3sin
∵x∈
∴－
知识点
9.已知
正确答案
解析
知识点
13.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有________.
正确答案
240种
解析
根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有A＝360种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作，有A＝60种，乙从事翻译工作，有A＝60种，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有360－60－60＝240种.
知识点
15.（本小题满分13分）已知向量
（1）求
（2）在
正确答案
见解析。
解析
（1）
（2）根据正弦定理知：
∵
知识点
20.设函数F(x)在区间D上的导函数为F1(x)，F1(x)在区间D上的导函数为F2(x)，如果当x∈D时，F2(x)≥0，则称F(x)在区间D上是下凸函数.已知e是自然对数的底数，f(x)＝ex－ax3＋3x－6.
（1）若f(x)在[0，＋∞)上是下凸函数，求a的取值范围；
（2）设M(x)＝f(x)＋f(－x)＋12，n是正整数，求证：M（1）M（2）…M(n)＞
正确答案
见解析。
解析
（1）f′(x)＝ex－3ax2＋3，设F1(x)＝f′(x)，则F1′(x)＝ex－6ax.
∵f(x)在[0，＋∞)上是下凸函数，
∴当x∈[0，＋∞)时，F1′(x)＝ex－6ax≥0.
当x＝0时，1≥0成立，即F1′(x)＝ex－6ax≥0成立，此时a∈R.
当x∈(0，＋∞)时，由F1′(x)＝ex－6ax≥0得，
设
∴当x∈(1，＋∞)时，H′(x)＞0，H(x)单调递增；
当x∈(0,1)时，H′(x)＜0，H(x)单调递减，
∴当x＝1时，H(x)取得最小值H（1）＝e，
∴
（2）∵f(x)＝ex－ax3＋3x－6，
∴M(x)＝f(x)＋f(－x)＋12＝ex＋e－x＞0.
∵M(x1)M(x2)＝ex1＋x2＋ex1－x2＋ex2－x1＋e－x1－x2＞ex1＋x2＋ex1－x2＋ex2－x1，
又ex1－x2＋ex2－x1≥
∴M（1）M(n)＞en＋1＋2，M（2）M(n－1)＞en＋1＋2，
M（3）M(n－2)＞en＋1＋2，…，M(n)M（1）＞en＋1＋2，
∴[M（1）M(n)][M（2）M(n－1)]· …·[M(n)M（1）]＞(en＋1＋2)n，
∴M（1）M（2）· …·
知识点
16.（本小题满分13分）某学校的三个学生社团的人数分布如下表(每名学生只能参加一个社团)：
学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，结果拳击社被抽出了6人.
（1）求拳击社团被抽出的6人中有5人是男生的概率；
（2）设拳击社团有X名女生被抽出，求X的分布列.
正确答案
见解析。
解析
（1）由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，拳击社被抽出了6人，
∴
∴m＝2.
设A为“拳击社团被抽出的6人中有5人是男生”，
则
（2）由题意可知：X＝0,1,2，
X的分布列为
知识点
17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PDC；
（3）在线段AB上是否存在点G，使得二面角CPDG的余弦值为
正确答案
见解析。
解析
（1）
如图，连接AC，交BD于点F，底面ABCD为正方形，
F为AC中点，E为PC中点.
所以在△CPA中，EF∥PA.
又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
（2）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD.
底面ABCD为正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD.
又PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA.
又PA＝PD＝
又CD∩PD＝D，且CD，PD⊂平面PDC，所以PA⊥平面PDC.
又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.
（3）如图，取AD的中点O，连接OP，OF，因为PA＝PD，所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD，
而O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB，
又底面ABCD是正方形，故OF⊥AD，
以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示，则有A(1，0,0)，C(－1,2,0)，F(0,1,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,1)，若在AB上存在点G，使得二面角CPDG的余弦值为
则
设平面PGD的法向量为n＝(x，y，z).
则
即
令y＝－2，得n＝(a，－2，－a)，
所以
解得
所以，在线段AB上存在点
知识点
18.（本小题满分13分）已知函数f(x)＝ln x，
（1）若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；
（2）若φ(x)＝
正确答案
见解析。
解析
（1）由已知得f′(x)＝
又∵g（1）＝0＝
（2）∵φ(x)＝
∴φ′(x)＝
即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，
则2m－2≤x＋
∵x＋
故数m的取值范围是(－∞，2].
知识点
19.（本小题满分14分）(2015·衡水中学二调)已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|＝2，点
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为
正确答案
见解析。
解析
（1）由题意知c＝1, 
a＝2，故椭圆C的方程为
（2）①当直线l⊥x轴时，可取
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
显然Δ>0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－
可得
又圆F2的半径
∴△AF2B的面积为
代简得：17k4＋k2－18＝0，得k＝±1，
∴r＝