理科数学 热门试卷

（1）如图所示，取B1C1中点D，连结ND、A1D

∴DN∥BB1∥AA1

又DN＝

∴四边形A1MND为平行四边形。

∴MN∥A1 D  又 MN 平面A1B1C1   AD1平面A1B1C1

∴MN∥平面

（2）因三棱柱为直三棱柱，

 ∴C1 C ⊥BC，又∠ACB=90°∴BC⊥平面A1MC1

在平面ACC1 A1中，过C1作C1H⊥CM，又BC⊥C1H，故C1H为C1点到平面BMC的距离。

在等腰三角形CMC1中，C1 C=2,CM=C1M=

∴.

（3）在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E，A1C1于点F,则CE为BE在平面ACC1A1上的射影，

∴BE⊥C1M, ∴∠BEF为二面角B-C1M-A的平面角,

在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=,∴tan∠BEC=

∴∠BEC=arctan,∴∠BEF=-arctan

即二面角的大小为-arctan。

（Ⅰ）证法１：∵, ∴且

∴四边形EFBC是平行四边形　∴H为FC的中点

又∵G是FD的中点

∴

∵平面CDE，平面CDE

∴GH∥平面CDE

证法２：连结EA，∵ADEF是正方形　　∴G是AE的中点

∴在⊿EAB中，

又∵AB∥CD，∴GH∥CD，

∵平面CDE，平面CDE

∴GH∥平面CDE

（Ⅱ）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，　　

∴FA⊥平面ABCD.

∵BD⊥CD, ， 

 ∴FA=2,（）

∴ ＝

∴（）

要使取得最大值，只须＝（）取得最大值，

∵，当且仅当即时

取得最大值

解法１：在平面DBC内过点D作于M，连结EM

∵　　∴平面EMD　　∴

∴是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角

∵当取得最大值时，,

∴,

∴

即平面ECF与平面ABCD所成的二面角的余弦值为

解法２：以点D为坐标原点，DC所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示，

则,

∴,,

设平面ECF与平面ABCD所成的二面角为，

平面ECF的法向量

由得

令得

又∵平面ABCD的法向量为

∴即平面ECF与平面ABCD所成的二面角的余弦值为.

在三角形ABC中

（Ⅰ）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形,PA⊥面ABCD,

PA∥EB，PA=2EB=4．∵PA=AD,F为PD的中点，

∴PD⊥AF，

又∵CD⊥DA,CD⊥PA,PA∩DA=A，

∴CD⊥面ADP,

∴CD⊥AF．又CD∩DP=D,　∴AF⊥面PCD．

（Ⅱ）取PC的中点M,AC与BD的交点为N，连结MN，

∴MN=PA，MN∥PA，

∴MN=EB,MN∥EB，故四边形BEMN为平行四边形，

∴EM∥BN，又EM面PEC,∴BD∥面PEC．

（Ⅲ）分别以BC,BA,BE为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则C( 4,0,0)，D(4 ,4 , 0)，E(0,0,2)，A(0,4 ,0)，P(0,4,4)，

∵F为PD的中点，∴F(2,4,2)．

∵AF⊥面PCD，∴为面PCD的一个法向量，

=(－2,0,－2)，设平面PEC的法向量为=(x,y ,z)，

则,

∴,令x=1,∴,

∴

∴与的夹角为．

面PEC与面PDC所成的二面角（锐角）的余弦值为．