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1.设全集为实数集R,,则图中阴影部分表示的集合是( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
2.设是虚数单位,则“
”是“
为纯虚数”的( )
正确答案
解析
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知识点
4. 在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居众显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”,根据连续7天的新增病例数计算,下列各选项中,一定符合上述指标的是( )
①平均数;
②标准差;
③平均数且标准差
;
④平均数且极差小于或等于2;
⑤众数等于1且极差小于或等于1。
正确答案
解析
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知识点
7.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为( )
正确答案
解析
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知识点
11.已知圆的方程,若抛物线过点A(0,-1),B(0,1)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是( )
正确答案
解析
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知识点
3.若是等差数列,首项
,
,则使前n项和
成立的最大正整数n是( )
正确答案
解析
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知识点
6.设满足约束条件
若目标函数
的最大值是12,则
的最小值是( )
正确答案
解析
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知识点
8.已知函数图像的一部分(如图所示),则
与
的值分别为( )
正确答案
解析
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知识点
9. 双曲线的左右焦点分别为
,且
恰为抛物线
的焦点,设双曲线
与该抛物线的一个交点为
,若
是以
为底边的等腰三角形,则双曲线
的离心率为( )
正确答案
解析
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知识点
10. 已知函数是定义在R上的奇函数,若对于任意给定的不等实数
,不等式
恒成立,则不等式
的解集为( )
正确答案
解析
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知识点
5.在长方体ABCD—A1B1C1D1中,对角线B1D与平面A1BC1相交于点E,则点E为△A1BC1的( )
正确答案
解析
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知识点
12. 设是定义在
上的函数,若
,且对任意
,满足
,
,则
=( )
正确答案
解析
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知识点
15. 在中,
是
边中点,角
,
,
的对边分别是
,
,
,若
,则
的形状为__________。
正确答案
等边三角形
解析
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知识点
14.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的的值是__________。
正确答案
解析
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知识点
16.在轴的正方向上,从左向右依次取点列
,以及在第一象限内的抛物线
上从左向右依次取点列
,使
(
)都是等边三角形,其中
是坐标原点,则第2005个等边三角形的边长是__________。
正确答案
2005
解析
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知识点
13.在区间[-6,6],内任取一个元素xO ,若抛物线y=x2在x=xo处的切线的倾角为,则
的概率为___________。
正确答案
解析
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知识点
17.在△中,
是角
对应的边,向量
,
,且
.
(1)求角;
(2)函数的相邻两个极值的横坐标分别为
、
,求
的单调递减区间.
正确答案
(1)因为,所以
,
故,
.
(2)
=
=
=
因为相邻两个极值的横坐标分别为、
,
所以的最小正周期为
,
所以
由
所以的单调递减区间为
.
解析
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知识点
19.现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ。
正确答案
依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i=0,1,2,3,4),则
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则,
由于与
互斥,故
所以,这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于与
互斥,
与
互斥,故
,
。
所以ξ的分布列是
随机变量ξ的数学期望
解析
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知识点
20.已知椭圆:
(
)过点
,且椭圆
的离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若动点在直线
上,过
作直线交椭圆
于
两点,且
为线段
中点,再过
作直线
.求直线
是否恒过定点,如果是则求出该定点的坐标,不是请说明理由。
正确答案
(Ⅰ)因为点在椭圆
上,
所以, 所以
,
因为椭圆的离心率为
,
所以,即
,
解得, 所以椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)设,
,
①当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,
,
,
由得
,
所以,
因为为
中点,
所以,即
.
所以,
因为直线,所以
,
所以直线的方程为
,
即 ,显然直线
恒过定点
.
②当直线的斜率不存在时,直线
的方程为
,
此时直线为
轴,也过点
.
综上所述直线恒过定点
.
解析
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知识点
21.已知函数是定义在
上的奇函数,当
时,
(其中e是自然界对数的底,
)
(1)求的解析式;
(2)设,求证:当
时,且
,
恒成立;
(3)是否存在实数a,使得当时,
的最小值是3 ?如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由。
正确答案
(1)设,则
,所以
又因为
是定义在
上的奇函数,所以
故函数的解析式为
(2)证明:当且
时,
,设
因为,所以当
时,
,此时
单调递减;当
时,
,此时
单调递增,所以
又因为,所以当
时,
,此时
单调递减,所以
所以当时,
即
(3)解:假设存在实数,使得当
时,
有最小值是3,
则
(ⅰ)当,
时,
.
在区间
上单调递增,
,不满足最小值是3
(ⅱ)当,
时,
,
在区间
上单调递增,
,也不满足最小值是3
(ⅲ)当,由于
,则
,故函数
是
上的增函数.所以
,解得
(舍去)
(ⅳ)当时,则当
时,
,此时函数
是减函数;当
时,
,此时函数
是增函数.
所以,解得
综上可知,存在实数,使得当
时,
有最小值3
解析
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知识点
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4—1:几何证明选讲
已知PQ与圆O相切于点A,直线PBC交圆于B、C两点,D是圆上一点,且AB∥CD,DC的延长线交PQ于点Q
(1) 求证:
(2) 若AQ=2AP,AB=,BP=2,求QD.
23.选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为 (a>b>0,
为参数),以Ο为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,已知曲线C1上的点M
对应的参数
=
,
与曲线C2交于点D
(1)求曲线C1,C2的方程;
(2)A(ρ1,θ),Β(ρ2,θ+)是曲线C1上的两点,求
的值。
24. 选修4—5:不等式选讲
已知关于x的不等式(其中
).
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若不等式有解,求实数的取值范围
正确答案
22.(1)因为AB∥CD,所以∠PAB=∠AQC,
又PQ与圆O相切于点A,所以∠PAB=∠ACB,
因为AQ为切线,所以∠QAC=∠CBA,
所以△ACB∽△CQA,所以,
所以
(2)因为AB∥CD,AQ=2AP,
所以,
由AB=,BP=2得
,PC=6
为圆O的切线
又因为为圆O的切线
23.解:(1)将M及对应的参数φ=
,
;
代入得
,
所以,所以C1的方程为
,
设圆C2的半径R,则圆C2的方程为:ρ=2Rcosθ(或(x-R)2+y2=R2),
∴R=1 ∴圆C2的方程为:ρ=2cosθ(或(x-1)2+y2=1)
(2)曲线C1的极坐标方程为:,
将A(ρ1,θ),Β(ρ2,θ+)代入得:
,
所以
即的值为
。
24.解:(1)当a=4时,不等式即|2x+1|-|x-1|≤2,
当x<−时,不等式为-x-2≤2, 解得−4≤x<−
;
当−≤x≤1时,不等式为 3x≤2,解得−
≤x≤
;
当x>1时,不等式为x+2≤2,此时x不存在.
综上,不等式的解集为{x|−4≤x≤}
(2)设f(x)=|2x+1|-|x-1|=
故f(x)的最小值为−,
所以,当f(x)≤log2a有解,则有,解得a≥
,
即a的取值范围是。
解析
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知识点
18.已知四边形ABCD满足,E是BC的中点,将△BAE沿AE翻折成
,F为
的中点.
(1)求四棱锥的体积;
(2)证明:;
(3)求面所成锐二面角的余弦值。
正确答案
(1)取AE的中点M,连结B1M,
因为BA=AD=DC=BC=a,△ABE为等边三角形,
则B1M=,又因为面B1AE⊥面AECD,
所以B1M⊥面AECD,
所以
(2)连结ED交AC于O,连结OF,因为AECD为菱形,OE=OD所以FO∥B1E,
所以。
(3)连结MD,则∠AMD=,分别以ME,MD,MB1为x,y,z轴建系,则
,
,
,
,
所以,,
,
,
设面ECB1的法向量为,
,
令x=1, ,同理面ADB1的法向量为
, 所以
,
故面所成锐二面角的余弦值为
.
解析
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