• 理科数学 常州市2012年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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2. 已知复数的实部为,模为,则复数的虚部是(    )

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1. 已知集合,则(    )

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3. 命题:“”的否定是(    )

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4. 设定义在区间上的函数的图象与图象的交点横坐标为,则的值为(    )

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5. 已知上的奇函数,且时,,则不等式的解集为(    )

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6. 已知数列均为等比数列,且,则(    )

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7. 若集合,则整数的最小值为(    )

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8. 如图,表示第i个学生的学号,表示第i个学生的成绩,已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337,则打印出的第5组数据是(    )

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9. ,且”是“”成立的(    )条件。(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种)

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10.时,观察下列等式:

可以推测,(    )

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11.如图,三次函数的零点为,则该函数的单调减区间为(    )

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12.已知函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为,其中,则(    )

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14.已知偶函数满足,对任意的,都有,(注:表示中较大的数),则的可能值是(    )

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13.已知中心为的正方形的边长为2,点分别为线段上的两个不同点,且,则的取值范围是(    )

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简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15.平面直角坐标系中,已知向量

(1)求之间的关系式;

(2)若,求四边形的面积。

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16.设定义在上的函数的最小正周期为

(1)若,求的最大值;

(2)若,求的值。

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17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 。

(1)求的值;

(2)试判断△ABC的形状,并说明理由。

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18.如图,某兴趣小组测得菱形养殖区的固定投食点到两条平行河岸线的距离分别为4m、8m,河岸线与该养殖区的最近点的距离为1m,与该养殖区的最近点的距离为2m。

(1)如图甲,养殖区在投食点的右侧,若该小组测得,请据此算出养殖区的面积;

(2)如图乙,养殖区在投食点的两侧,试在该小组未测得的大小的情况下,估算出养殖区的最小面积。

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20.设为关于n的k次多项式。数列{an}的首项,前n项和为 。对于任意的正整数n,都成立。

(1)若,求证:数列{an}是等比数列;

(2)试确定所有的自然数k,使得数列{an}能成等差数列。

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21.【选做题】

在A、B、C、D四小题中只能选做两小题。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

 A.几何证明选讲

      如图,从圆O外一点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,AB与OP交于点M,设CD为过点M且不过圆O的一条弦,求证:O、C、P、D四点共圆。

     

B.矩阵与变换

      设矩阵,若矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为,属于特征值2的一个特征向量为,求实数m,n的值。

C.极坐标与参数方程

      在极坐标系中,已知点O(0,0),,求以OP为直径的圆的极坐标方程。

D.不等式选讲

      设正实数a,b满足,求证:

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22.如图,正四棱柱中,设,若棱上存在点满足平面,求实数的取值范围。

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19.若函数为定义域上单调函数,且存在区间(其中),使得当时,的取值范围恰为,则称函数上的正函数,区间叫做等域区间。

(1)已知上的正函数,求的等域区间;

(2)试探究是否存在实数,使得函数上的正函数?若存在,请求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由。

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23.设是给定的正整数,有序数组同时满足下列条件:

① ,; 

②对任意的,都有

(1)记为满足“对任意的,都有”的有序数组的个数,求

(2)记为满足“存在,使得”的有序数组的个数,求 。

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