理科数学 静安区2014年高三试卷
精品
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填空题 本大题共14小题,每小题4分,共56分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 4分

1.全集,集合,则(    ).

正确答案

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

补集及其运算
1
题型:填空题
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分值: 4分

7. 已知函数有反函数,若,则=(    ).

正确答案

1

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型:填空题
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分值: 4分

9. 在极坐标系中,直线与直线的夹角大小为(    ) .

正确答案

解析

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知识点

函数单调性的性质
1
题型:填空题
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分值: 4分

6. 已知地球半径约为6371千米.上海的位置约为东经,北纬,台北的位置约为东经,北纬,则这两个城市之间的球面距离约为(    )千米(结果保留到1千米).

正确答案

673

解析

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知识点

球面距离及相关计算
1
题型:填空题
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分值: 4分

10.如果随机变量的概率分布律由下表给出: 则= (    ) 

正确答案

解析

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知识点

定积分
1
题型:填空题
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分值: 4分

13.已知是双曲线右支上的一点,分别是圆上的点,则的最大值等于(    ) 

正确答案

10

解析

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知识点

导数的加法与减法法则
1
题型:填空题
|
分值: 4分

14.已知集合,对于它的非空子集,将中每个元素都乘以后再求和,称为的非常元素和,比如的非常元素和为.那么集合的所有非空子集的非常元素和的总和等于(    ) .

正确答案

2560

解析

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知识点

轨迹方程
1
题型:填空题
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分值: 4分

5.二项式展开式的前三项的系数成等差数列,则(    ) .

正确答案

8

解析

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知识点

等差数列的性质及应用求二项展开式的指定项或指定项的系数
1
题型:填空题
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分值: 4分

12.在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中任取一个数,该数能被5 整除的概率是(    ) 

正确答案

解析

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知识点

正弦函数的定义域和值域
1
题型:填空题
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分值: 4分

11.已知虚数满足(其中),若,则(    ) .

正确答案

解析

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知识点

复数代数形式的混合运算复数求模
1
题型:填空题
|
分值: 4分

2.已知,且为第二象限角,则的值为 (    ).

正确答案

解析

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知识点

同角三角函数间的基本关系三角函数的化简求值
1
题型:填空题
|
分值: 4分

3.若极限,则实数(    ).

正确答案

解析

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知识点

数列的极限
1
题型:填空题
|
分值: 4分

4. 已知,则(    ).

正确答案

解析

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知识点

向量的模平面向量数量积的运算
1
题型:填空题
|
分值: 4分

8.将一个总体分为 、三层,其个体数之比为。若用分层抽样方法抽取容量为100的样本,则应从中抽取(    )个个体

正确答案

20

解析

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知识点

分层抽样方法
单选题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

15.“”是“”的(     )

A充分非必要条件

B必要非充分条件

C充要条件

D既非充分又非必要条件

正确答案

B

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知识点

两圆的公切线条数及方程的确定
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

16.若,则一定是(     )

A等腰三角形

B直角三角形

C锐角三角形

D钝角三角形

正确答案

A

解析

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知识点

导数的加法与减法法则
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

17.函数的图像大致为                                        (     )

A

B

C

D

正确答案

D

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知识点

知图选式与知式选图
1
题型: 单选题
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分值: 5分

18.正方体的棱长为2,动点在棱上。动点分别在棱上,若 (大于零),则四面体的体积(     )

A都有关

B有关,与无关

C有关,与无关

D有关,与无关

正确答案

D

解析

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知识点

线面角和二面角的求法
简答题(综合题) 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 14分

20.函数在一个周期内的图像如图所示,为图像的最高点,为图像与轴的交点,且为正三角形.

(1)求的值;

(2)若,且,求的值.

正确答案

(1)由已知可得:

又因正三角形ABC的高为2,则BC=4

所以,函数

(2)因为(1)有

由x0

所以,

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知识点

二次函数的应用
1
题型:简答题
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分值: 16分

22.已知数列的前项和).

(1)求数列的通项公式;

(2)试构造一个数列(写出的一个通项公式)满足:对任意的正整数都有,且,并说明理由;

(3)设各项均不为零的数列中,所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数.令),求数列的变号数.

正确答案

(1)

(2)要使,可构造数列,∵对任意的正整数都有

∴当时,恒成立,即恒成立,即

,∴,∴,等等。

(3)解法一:由题设

时,

时,数列递增,

,由

可知,即时,有且只有 个变号数;

又∵,即,∴此处变号数有个。

综上得数列共有个变号数,即变号数为

解法二:由题设

时,

又∵,∴时也有

综上得 数列共有个变号数,即变号数为

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知识点

函数单调性的判断与证明
1
题型:简答题
|
分值: 14分

21.在平面直角坐标系中,已知点是动点,且直线 的斜率之积等于

(1)求动点的轨迹方程;

(2)设直线分别与直线相交于点,试问:是否存在点使得的面积相等?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.

正确答案

(1)设点的坐标为,由题意得

化简得

故动点的轨迹方程为

(2)解法一:设点的坐标为,点得坐标分别为,

则直线的方程为,直线的方程为

于是的面积

又直线的方程为

到直线的距离

于是的面积

时,得

,所以=

解得,因为,所以

故存在点使得的面积相等,此时点的坐标为

解法二:若存在点使得的面积相等,设点的坐标为

因为,

所以

所以

解得 ,因为,所以

故存在点使得的面积相等,此时点的坐标为

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知识点

两圆的公切线条数及方程的确定
1
题型:简答题
|
分值: 18分

23.若函数对任意的实数,均有,则称函数具有性质

(1)判断函数是否具有性质,并说明理由;

(2)若函数具有性质,且

①求证:对任意,都有

②是否对任意,均有?若成立,请加以证明;若不成立,请给出反例并加以说明.

正确答案

(1)函数不具有性质

例如,当时,

所以,,此函数不具有性质

(2)①假设中第一个大于的值

因为函数具有性质

所以,对于任意,均有

矛盾

所以,对任意的

②不成立.

例如

证明:当为有理数时,均为有理数,

为无理数时,均为无理数,

所以,函数对任意的,均有

即函数具有性质

为无理数时,

所以“对任意均有”不成立.

解析

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知识点

轨迹方程
1
题型:简答题
|
分值: 12分

19.已知三棱锥中,上一点,分别为的中点.

(1)求证:

(2)求与平面所成角的大小.

正确答案

设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图所示:

则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0, ),N( ,0,0),S(1, ,0)

(1)

因为

所以CM⊥SN

(2), 设为平面CMN的一个法向量,

,令,得

因为

所以SN与片面CMN所成角为45°。

解析

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知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

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