理科数学静安区2014年高三试卷

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试卷目录

1、填空题

2、单选题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 4分

1．全集，集合，则（）．

正确答案

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知识点

补集及其运算

题型：填空题

分值: 4分

7．已知函数有反函数，若，则=（）．

正确答案

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 4分

9．在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为（）．

正确答案

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知识点

函数单调性的性质

题型：填空题

分值: 4分

6．已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经，北纬，台北的位置约为东经，北纬，则这两个城市之间的球面距离约为（）千米（结果保留到1千米）．

正确答案

673

解析

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知识点

球面距离及相关计算

题型：填空题

分值: 4分

10．如果随机变量的概率分布律由下表给出：则= （）

正确答案

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知识点

定积分

题型：填空题

分值: 4分

13．已知是双曲线右支上的一点，、分别是圆和上的点，则的最大值等于（）

正确答案

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知识点

导数的加法与减法法则

题型：填空题

分值: 4分

14．已知集合，对于它的非空子集，将中每个元素都乘以后再求和，称为的非常元素和，比如的非常元素和为．那么集合的所有非空子集的非常元素和的总和等于（）．

正确答案

2560

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知识点

轨迹方程

题型：填空题

分值: 4分

5．二项式展开式的前三项的系数成等差数列，则（）．

正确答案

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知识点

等差数列的性质及应用求二项展开式的指定项或指定项的系数

题型：填空题

分值: 4分

12．在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，该数能被5 整除的概率是（）

正确答案

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知识点

正弦函数的定义域和值域

题型：填空题

分值: 4分

11．已知虚数、满足和（其中），若，则（）．

正确答案

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知识点

复数代数形式的混合运算复数求模

题型：填空题

分值: 4分

2．已知，且为第二象限角，则的值为（）．

正确答案

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知识点

同角三角函数间的基本关系三角函数的化简求值

题型：填空题

分值: 4分

3．若极限，则实数（）．

正确答案

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知识点

数列的极限

题型：填空题

分值: 4分

4．已知，，，则（）．

正确答案

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知识点

向量的模平面向量数量积的运算

题型：填空题

分值: 4分

8．将一个总体分为、、三层，其个体数之比为。若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从中抽取（）个个体

正确答案

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知识点

分层抽样方法

单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

15．“”是“”的（）

A充分非必要条件

B必要非充分条件

C充要条件

D既非充分又非必要条件

正确答案

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知识点

两圆的公切线条数及方程的确定

题型：单选题

分值: 5分

16．若，则一定是（）

A等腰三角形

B直角三角形

C锐角三角形

D钝角三角形

正确答案

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知识点

导数的加法与减法法则

题型：单选题

分值: 5分

17．函数的图像大致为（）

正确答案

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知识点

知图选式与知式选图

题型：单选题

分值: 5分

18．正方体的棱长为2，动点、在棱上。动点、分别在棱、上，若，，， (大于零)，则四面体的体积（）

A与都有关

B与有关，与无关

C与有关，与无关

D与有关，与无关

正确答案

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知识点

线面角和二面角的求法

简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 14分

20．函数在一个周期内的图像如图所示,为图像的最高点,、为图像与轴的交点，且为正三角形．

（1）求的值；

（2）若，且，求的值．

正确答案

（1）由已知可得:

又因正三角形ABC的高为2,则BC=4

所以,函数

（2）因为(1)有

由x0

所以,

故

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知识点

二次函数的应用

题型：简答题

分值: 16分

22．已知数列的前项和（）．

（1）求数列的通项公式；

（2）试构造一个数列（写出的一个通项公式）满足：对任意的正整数都有，且，并说明理由；

（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数．令（），求数列的变号数．

正确答案

（1），

（2）要使，可构造数列，∵对任意的正整数都有，

∴当时，恒成立，即恒成立，即，

又，∴，∴，等等。

（3）解法一：由题设，

∵时，，

∴时，数列递增，

∵，由，

可知，即时，有且只有个变号数；

又∵，即，∴此处变号数有个。

综上得数列共有个变号数，即变号数为。

解法二：由题设，

当时，

；

又∵，∴时也有。

综上得数列共有个变号数，即变号数为。

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知识点

函数单调性的判断与证明

题型：简答题

分值: 14分

21．在平面直角坐标系中，已知点、，是动点，且直线与的斜率之积等于．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设直线与分别与直线相交于点、，试问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）设点的坐标为，由题意得

化简得．

故动点的轨迹方程为

（2）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,．

则直线的方程为，直线的方程为

令得，．

于是的面积

又直线的方程为，，

点到直线的距离．

于是的面积

当时，得

又，所以=，

解得，因为，所以

故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为．

解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为

则．

因为,

所以

即，

解得，因为，所以

故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为

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知识点

两圆的公切线条数及方程的确定

题型：简答题

分值: 18分

23．若函数对任意的实数，均有，则称函数具有性质．

（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；

（2）若函数具有性质,且．

①求证：对任意，都有；

②是否对任意，均有？若成立，请加以证明；若不成立，请给出反例并加以说明．

正确答案

（1）函数不具有性质．

例如，当时，，

又，

所以，，此函数不具有性质．

（2）①假设为中第一个大于的值

则，

因为函数具有性质，

所以，对于任意，均有

即，

则，

与矛盾

所以，对任意的有．

②不成立．

例如

证明：当为有理数时，均为有理数，

，

当为无理数时，均为无理数，

所以，函数对任意的，均有，

即函数具有性质．

当且为无理数时，．

所以“对任意均有”不成立．

如，，等

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知识点

轨迹方程

题型：简答题

分值: 12分

19．已知三棱锥中，，，，为上一点，，、分别为、的中点．

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的大小．

正确答案

设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图所示：

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0, ），N（ ,0,0），S（1, ,0）

（1），

因为，

所以CM⊥SN

（2）, 设为平面CMN的一个法向量，

则，令，得

因为

所以SN与片面CMN所成角为45°。

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知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

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正确答案

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