理科数学 2015年高三试卷

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单选题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

1．全集，集合，，那么集合（）

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4．用数学归纳法证明：“,在验证n＝1时，左端计算所得的项为（）

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6．若在区间上有极值点,则实数的取值范围是（）

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8．设为正实数，则“”是“”成立的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C既不充分也不必要条件

D充要条件

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9．的外接圆的圆心为，半径为，且，则向量在方向上的投影为（）

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10．设等差数列满足：，公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（）

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2．已知数列满足，，则的前10项和等于（）

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3．已知实数满足约束条件,则的最大值等于（）

B12

C27

D36

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5．非零向量，，，若向量，则的最大值为（）

D以上均不对

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7．已知为三条不同的直线，和是两个不同的平面，且．下列命题中正确的是（）

A若与是异面直线，则与都相交

B若不垂直于，则与一定不垂直

C若，则

D若则

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填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在题中横线上。

12．若存在实数满足，则实数的取值范围是___________。

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13．已知函数（其中，，)的部分图象如下图所示,如果对函数g（x）的图像进行如下变化：横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，也可得到f（x）函数的图像，则函数g（x）的解析式是___________。

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15．函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数，例如:函数是单函数．下列命题：

①函数是单函数；

②指数函数是单函数；

③若为单函数，且，则；

④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；

⑤若为单函数，则函数在定义域上具有单调性。

其中的真命题是___________。（写出所有真命题的编号）

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11．已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为___________。

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14．已知首项为正数的等差数列中，,则当取最大值时，数列的公差=___________。

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简答题（综合题）本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19．已知等差数列的公差为,首项为正数，将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项,

（1）求数列的通项公式与前项和；

（2）是否存在三个不等正整数,使成等差数列且成等比数列．

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21．已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）已知数列的通项公式为，求证：（为自然对数的底数）；

（3）若，且对任意恒成立，求的最大值。

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20．如图，某工厂生产的一种无盖纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为π立方分米．设圆锥纸筒底面半径为r分米，高为h分米．

（1）求出r与h满足的关系式；

（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时的值．

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16．已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角、、所对的边分别是、、．

（1）若、、依次成等差数列，且公差为2．求的值；

（2）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值．

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17．已知数列满足，，．猜想数列的单调性，并证明你的结论．

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18．在多面体中，，，平面，，为的中点．

（I）求证：平面；

（II）若，求二面角的正切值的大小．

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