• 理科数学 2013年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1. 抛物线的准线方程为,则m的值为(      )

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3.的值为(         )

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2.若函数是偶函数,则实数的值为(      )

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5.已知向量的模为2,向量为单位向量,,则向量的夹角大小为(     )           

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6.设函数是定义在R上的奇函数,且对任意都有,当时,,则=(    )       

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4. 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是(     )

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8. 已知双曲线(a>0)的一条渐近线为y=kx(k>0),离心率e=,则双曲线方程为(    )

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7.已知直线x=a(0<a<)与函数f(x)=sinx和函数g(x)=cosx的图象分别交于M,N两点,若MN=,则线段MN的中点纵坐标为(    )      

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9.已知函数满足对任意成立,则的取值范围是(    )                

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10.设x∈,则函数y=的最小值为________

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11. △ABC中,,则的最小值是(    )

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13.在平面直角坐标系xOy中,点P是第一象限内曲线上的一个动点,以点P为切点作切线与两个坐标轴交于A,B两点,则△AOB的面积的最小值为(    )      

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12.给出如下四个命题:

;    

③函数定义域为,且,则的图象关于直线对称;

④ 若函数的值域为,则

其中正确的命题是(    )(写出所有正确命题的题号)。

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14.若关于的方程有四个实数根,则实数的取值范围是(    )          

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简答题(综合题) 本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15. 已知

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求函数的值域。

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16.在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2。

(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积V;

(Ⅱ)若F为PC的中点,求证PC⊥平面AEF;

(Ⅲ)求证CE∥平面PAB。

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17. 某企业有两个生产车间分别在两个位置,车间有100名员工,车间有400名员工。现要在公路上找一点,修一条公路,并在处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐。已知中任意两点间的距离均有,设,所有员工从车间到食堂步行的总路程为 。


(1)写出关于的函数表达式,并指出的取值范围;

(2)问食堂建在距离多远时,可使总路程最少。

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19.幂函数y = 的图象上的点 Pn(tn2,tn)(n = 1,2,……)与 x 轴正半轴上的点 Qn 及原点 O 构成一系列正△PnQn-1Qn(Q0与O重合),记 an =

(1)求 a1的值;   

(2)求数列 {an} 的通项公式 an;

(3)设 Sn为数列 {an} 的前 n 项和,若对于任意的实数 ∈[0,1],总存在自然数 k,当 n≥k时,3Sn-3n + 2≥恒成立,求 k 的最小值。

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18.已知点P(4,4),圆C:与椭圆E:有一个公共点

A(3,1),分别是椭圆的左、右焦点,直线与圆C相切。

(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程;

(Ⅱ)设Q为椭圆E上的一个动点,求的取值范围。

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20.已知,其中是自然常数,

(1)讨论时, 的单调性、极值;

(2)求证:在(1)的条件下,

(3)是否存在实数,使的最小值是3,如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由。

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