理科数学 2013年高三试卷

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填空题本大题共14小题，每小题5分，共70分。把答案填写在题中横线上。

1. 抛物线的准线方程为，则m的值为（）

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2.若函数是偶函数，则实数的值为（）

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6.设函数是定义在R上的奇函数，且对任意都有，当时，，则＝（）

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4. 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是（）

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7.已知直线x＝a（0＜a＜）与函数f（x）＝sinx和函数g（x）＝cosx的图象分别交于M，N两点，若MN＝，则线段MN的中点纵坐标为（）

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10．设x∈，则函数y＝的最小值为________

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3.若的值为（）

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5.已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为（）

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8. 已知双曲线（a＞0）的一条渐近线为y=kx（k＞0）,离心率e=,则双曲线方程为（）

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9.已知函数满足对任意成立，则的取值范围是（）

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11. △ABC中，，，则的最小值是（）

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13.在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线上的一个动点，以点P为切点作切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为（）

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12．给出如下四个命题：

①，；

②，；

③函数定义域为，且，则的图象关于直线对称；

④ 若函数的值域为，则或；

其中正确的命题是（）（写出所有正确命题的题号）。

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14.若关于的方程有四个实数根，则实数的取值范围是（）

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简答题（综合题）本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 已知，。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数的值域。

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16．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2。

（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；

（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；

（Ⅲ）求证CE∥平面PAB。

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17. 某企业有两个生产车间分别在、两个位置，车间有100名员工，车间有400名员工。现要在公路上找一点,修一条公路，并在处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐。已知、、中任意两点间的距离均有，设，所有员工从车间到食堂步行的总路程为。

（1）写出关于的函数表达式，并指出的取值范围；

（2）问食堂建在距离多远时，可使总路程最少。

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19．幂函数y = 的图象上的点 Pn（tn2,tn）（n = 1,2,……）与 x 轴正半轴上的点 Qn 及原点 O 构成一系列正△PnQn－1Qn（Q0与O重合），记 an =

（1）求 a1的值；

（2）求数列 {an} 的通项公式 an;

（3）设 Sn为数列 {an} 的前 n 项和，若对于任意的实数 ∈[0,1]，总存在自然数 k，当 n≥k时，3Sn－3n + 2≥恒成立，求 k 的最小值。

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18．已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点

A（3，1），、分别是椭圆的左、右焦点，直线与圆C相切。

（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；

（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围。

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20．已知，其中是自然常数，

（1）讨论时, 的单调性、极值；

（2）求证：在（1）的条件下，；

（3）是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。

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