填空题
本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
简答题(综合题)
本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
16.在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2。
(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积V;
(Ⅱ)若F为PC的中点,求证PC⊥平面AEF;
(Ⅲ)求证CE∥平面PAB。
分值: 14分
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1
17. 某企业有两个生产车间分别在
、
两个位置,
车间有100名员工,
车间有400名员工。现要在公路
上找一点
,修一条公路
,并在
处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐。已知
、
、
中任意两点间的距离均有
,设
,所有员工从车间到食堂步行的总路程为
。
(1)写出关于
的函数表达式,并指出
的取值范围;
(2)问食堂建在距离
多远时,可使总路程
最少。
分值: 14分
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1
19.幂函数y = 的图象上的点 Pn(tn2,tn)(n = 1,2,……)与 x 轴正半轴上的点 Qn 及原点 O 构成一系列正△PnQn-1Qn(Q0与O重合),记 an =
(1)求 a1的值;
(2)求数列 {an} 的通项公式 an;
(3)设 Sn为数列 {an} 的前 n 项和,若对于任意的实数 ∈[0,1],总存在自然数 k,当 n≥k时,3Sn-3n + 2≥
恒成立,求 k 的最小值。
分值: 16分
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1
18.已知点P(4,4),圆C:与椭圆E:
有一个公共点
A(3,1),、
分别是椭圆的左、右焦点,直线
与圆C相切。
(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程;
(Ⅱ)设Q为椭圆E上的一个动点,求的取值范围。
分值: 16分
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1
20.已知,其中
是自然常数,
(1)讨论时,
的单调性、极值;
(2)求证:在(1)的条件下,;
(3)是否存在实数,使
的最小值是3,如果存在,求出
的值;如果不存在,说明理由。
分值: 16分
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