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6.
正确答案
5.
正确答案
8.
正确答案
1.选择题(每小题5分,满分40分):在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
正确答案
2.
正确答案
4.
正确答案
3.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为
正确答案
7.
正确答案
10.
正确答案
9.. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
正确答案
4-i
12.已知圆的圆心为C,直线
(
为参数)与该圆相交于A,B两点,则
的面积为 .
正确答案
13.已知,且
,则
的最小值为 .
正确答案
11. 已知正方体的棱长为1,除面
外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥
的体积为 .
正确答案
14.已知,函数
若关于
的方程
恰有2个互异的实数解,则
的取值范围是 .
正确答案
(4,8)
15..解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(本小题满分13分)
在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
.
(I)求角B的大小;
(II)设a=2,c=3,求b和的值.
正确答案
(15)本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.满分13分.
(Ⅰ)解:在△ABC中,由正弦定理,可得
,又由
,得
,即
,可得
.又因为
,可得B=
.
(Ⅱ)解:在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有
,故b=
.
由,可得
.因为a<c,故
.因此
,
所以,
19.(本小题满分14分)
设椭圆(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B. 已知椭圆的离心率为
,点A的坐标为
,且
.
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线l:与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.
若(O为原点) ,求k的值.
正确答案
(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.
(Ⅰ)解:设椭圆的焦距为2c,由已知知,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,
,
,由
,可得ab=6,从而a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为.
(Ⅱ)解:设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故.又因为
,而∠OAB=
,故
.由
,可得5y1=9y2.
由方程组消去x,可得
.易知直线AB的方程为x+y–2=0,由方程组
消去x,可得.由5y1=9y2,可得5(k+1)=
,两边平方,整理得
,解得
,或
.
所以,k的值为
20.(本小题满分14分)
已知函数,
,其中a>1.
(I)求函数的单调区间;
(II)若曲线在点
处的切线与曲线
在点
处的切线平行,证明
;
(III)证明当时,存在直线l,使l是曲线
的切线,也是曲线
的切线.
正确答案
(20)本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.
(I)解:由已知,,有
.
令,解得x=0.
由a>1,可知当x变化时,,
的变化情况如下表:
所以函数的单调递减区间
,单调递增区间为
.
(II)证明:由,可得曲线
在点
处的切线斜率为
.
由,可得曲线
在点
处的切线斜率为
.
因为这两条切线平行,故有,即
.
两边取以a为底的对数,得,所以
.
(III)证明:曲线在点
处的切线l1:
.
曲线在点
处的切线l2:
.
要证明当时,存在直线l,使l是曲线
的切线,也是曲线
的切线,只需证明当
时,存在
,
,使得l1和l2重合.
即只需证明当时,方程组
有解,
由①得,代入②,得
. ③
因此,只需证明当时,关于x1的方程③有实数解.
设函数,即要证明当
时,函数
存在零点.
,可知
时,
;
时,
单调递减,又
,
,故存在唯一的x0,且x0>0,使得
,即
.
由此可得在
上单调递增,在
上单调递减.
在
处取得极大值
.
因为,故
,
所以.
下面证明存在实数t,使得.
由(I)可得,
当时,
有,
所以存在实数t,使得
因此,当时,存在
,使得
.
所以,当时,存在直线l,使l是曲线
的切线,也是曲线
的切线.#
16. (本小题满分13分)
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
正确答案
(16)本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.
(Ⅰ)解:由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(Ⅱ)(i)解:随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=k)=(k=0,1,2,3).
所以,随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望.
(ii)解:设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥,由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.
所以,事件A发生的概率为.
17.(本小题满分13分)
如图,且AD=2BC,
,
且EG=AD,
且CD=2FG,
,DA=DC=DG=2.
(I)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:;
(II)求二面角的正弦值;
(III)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.
正确答案
(17)本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.
依题意,可以建立以D为原点,分别以,
,
的方向为x轴,y轴,z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,
,1),N(1,0,2).
(Ⅰ)证明:依题意=(0,2,0),
=(2,0,2).设n0=(x,y,z)为平面CDE的法向量,则
即
不妨令z=–1,可得n0=(1,0,–1).又
=(1,
,1),可得
,又因为直线MN
平面CDE,所以MN∥平面CDE.
(Ⅱ)解:依题意,可得=(–1,0,0),
,
=(0,–1,2).
设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量,则 即
不妨令z=1,可得n=(0,1,1).
设m=(x,y,z)为平面BCF的法向量,则 即
不妨令z=1,可得m=(0,2,1).
因此有cos<m,n>=,于是sin<m,n>=
.
所以,二面角E–BC–F的正弦值为.
(Ⅲ)解:设线段DP的长为h(h∈[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),可得.
易知,=(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,故
,
由题意,可得=sin60°=
,解得h=
∈[0,2].
所以线段的长为
.
18.(本小题满分13分)
设是等比数列,公比大于0,其前n项和为
,
是等差数列. 已知
,
,
,
.
(I)求和
的通项公式;
(II)设数列的前n项和为
,
(i)求;
(ii)证明.
正确答案
(18)本小题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.
(I)解:设等比数列的公比为q.由
可得
.
因为,可得
,故
.
设等差数列的公差为d,由
,可得
由
,
可得 从而
故
所以数列的通项公式为
,数列
的通项公式为
(II)(i)由(I),有,故
.
(ii)证明:因为
,
所以,.