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1.已知集合,
,则
为( )
正确答案
解析
集合M中的代表元素为y,y的取值范围为,集合N中的代表元素为x,x的取值范围为
,所以根据集合的交集运算,可以得到
=
考查方向
解题思路
理解集合M和集合N中元素的特点
易错点
集合中元素的特征,集合N中代表元素理解错误
知识点
3.中、美、俄等21国领导人合影留念,他们站成两排,前排11人,后排10人,中国领导人站在第一排正中间位置,美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧,如果对其他领导人所站的位置不做要求,那么不同的站法共有( )
正确答案
解析
先排中国领导人,只有一种选择;再排美俄领导人,有种选择;最后排其他领导人,有
种选择;由分步计数原理可得,不同的排法共有
种答案,故选D
考查方向
解题思路
先排中国领导人,只有一种选择;再排美俄领导人
知识点
4.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为8,则输出S的值为( )
正确答案
解析
当i=2,k=1时,s=2;
当i=4,k=2时,s=4
当i=6,k=3时,s=8
当i=8,k=4时,不满足条件i<8,退出循环,则输出的s=8,故选择B
考查方向
解题思路
顺序结构 循环结构 判断结构
易错点
循环语句理解错误,判断条件看错
知识点
5.等比数列中,
,则数列
的前10项和等于( )
正确答案
解析
等比数列中,,
所以=
,所以选C
考查方向
解题思路
利用等比数列项和项数的关系,进而求解
易错点
利用等比数列前N项和公式求解,找a1和公比q,使试题复杂。
知识点
9.不等式组表示的点集记为M,不等式组
表示的点集记为N,在M中任取一点P,则P∈N的概率为( )
正确答案
解析
如图所示,作出不等组的可行域,根据几何概型的定义,可知红色区域面积与四边形ABCD的面积的比就是所求概率。红色区域面积不好求,由于是选择题,可以根据选项求得,容易得到,红色区域的面积比四边形面积的一半少,比四分之一多,所以结合选项,选择D
考查方向
解题思路
分别求出两个不等式组所表示的区域的面积,然后利用集合概型相关性质计算求得
易错点
区域求面积,不等式取值区间
知识点
10.已知一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )
正确答案
解析
根据几何体的三视图,可知,立体图形是以高为2,底面积为2的两个集合组合体,根据几何体的体积公式利用底面积乘以高求得,所以选D
考查方向
解题思路
本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度,本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高,三棱锥的高是由垂直与底面的侧面的高得到,本题是一个基础题.
知识点
11. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为
为其左、右顶点,以线段
为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为
,且
,则双曲线的离心率为( )
正确答案
解析
利用交点这一突破口,建立方程关系,进而求出a和c的关系,所以得到离心率为,所以选B
考查方向
解题思路
先设交点坐标,与渐近线联立方程组,最后用余弦定理求得
易错点
计算错误、离心率、渐近线方程错误
知识点
2.复数,则
( )
正确答案
解析
,
,所以选C
考查方向
解题思路
将复数z转换成a+bi的形式,然后求出的值
易错点
混淆这一等式,复数
的模,等于
知识点
6.若非零向量满足
,且
,则
与
的夹角为( )
正确答案
解析
, 所以
又因为,所以
=
考查方向
解题思路
根据垂直关系得到向量的关系,结合已知条件,求得夹角
易错点
向量垂直与向量积的关系
知识点
8. 设函数的图像在点
处切线的斜率为
,则函数
的图像为( )
正确答案
解析
,
,根据
的图象可知,g(t)为奇函数,且当x>0时g(t)>0,所以选B
考查方向
解题思路
先求导数,然后利用导函数求k的解析式,进而判断函数图象
易错点
求导错误,函数单调性不会判断
知识点
12.已知函数,若对任意
,
,则( )
正确答案
解析
由题意得,函数在f(x)在x=1处取到最小值。
,所以
,令
求解方程,得到
,
,所以当a>0时,函数得而单调递减区间是
,单调递增区间是
,于是可知,
是函数的唯一极小值点,故
,整理得
,即
令,求导并令导函数为零,
,得到
,当
时,
,函数单调递增,当
时,
,函数单调递减,因为
,故
,所以
即,所以选A。
考查方向
解题思路
先判断函数的单调性,然后求导求最值。
易错点
函数单调性判断错误、求导错误
知识点
7.定义矩阵
,若
,则
( )
正确答案
解析
根据矩阵的定义,可以得到
所以,所以
根据的性质判断性质,所以选C
考查方向
三角函数
解题思路
先根据矩阵的定义,得到f(x)的解析式,然后根据函数的解析式判断函数的相关性质.
易错点
三角函数公式记忆混淆
知识点
13.已知随机变量X服从正态分布X~N(2,σ2), P(X<4)=0.84, 则P(X≤0)的值为 .
正确答案
0.16
解析
因为随机变量X服从正态分布,所以
,所以填0.16
考查方向
解题思路
根据正态分布的概率性质求解
易错点
对正态分布的相关性质的理解
知识点
14.若的展开式中
项的系数为20,则
的最小值为________.
正确答案
2
解析
因为的展开式中
项的系数为20,
所以,令
,所以
,所以
,
当且仅当
时取等号,所以
的最小值为2,所以答案是2
考查方向
解题思路
根据展开式 求a和b的关系
易错点
展开式公式记错、基本不等式“一正”“二定”“三相等”
知识点
15. 已知在 中,
的平分线
把三角形分成面积比为4:3的两部分,则
.
正确答案
解析
因为,角平分线CD把三角形面积分成4:3的两部分,由角平分线定理得到:BC:AC=BD:AD=3:4,由正弦定理得,
得到,
,即
,所以
考查方向
解题思路
由正弦定理整理,二倍角正弦公式
易错点
正弦定理的转化
知识点
16.一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体,过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面,则该截面圆的面积是 .
正确答案
解析
易求截面圆的半径为,所以面积为
考查方向
解题思路
先根据正四面体的棱长求出其外接球的半径,根据相似比等性质,求出截面圆的半径。
易错点
误以为正四面体三条棱的中点做截面就是所求截面,其实不然
知识点
20. 已知F(,0)为抛物线
(p>0)的焦点,点N(
,
)(
>0)为其上一点,点M与点N关于x轴对称,直线
与抛物线交于异于M,N的A,B两点,且|NF|=
,
。
(Ⅰ)求抛物线方程和N点坐标;
(Ⅱ)判断直线中,是否存在使得
面积最小的直线
,若存在,求出直线
的方程和
面积的最小值;若不存在,说明理由.
正确答案
见解析
解析
(Ⅰ)由题意,则
,
故抛物线方程为。
由|NF|=,则
。
∵,
∴,
所以N(2,2)。
(Ⅱ)由题意知直线的斜率不为0,则可设直线的方程为
。
联立方程组,得
。
设两个交点A(,
),B(
,
)(
≠±2,
≠±2),则
由,整理得
。
此时,恒成立。
故直线的方程可化为
,从而直线
过定点E(3,-2)。
因为M(2,-2),
所以M,E所在直线平行x轴,
所以△MAB的面积当t=-2时有最小值为
,此时直线
的方程为
。
考查方向
解题思路
建立适当的坐标系,利用直线斜率之间的关系建立方程,进而求解,与抛物线联立成方程组,整理可得。
易错点
计算能力弱,找不到面积最小时候的情况
知识点
21. 已知函数 .
(Ⅰ)设函数,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)若不等式≤
在区间[1,e](e=2.71828…)的解集为非空集合,求实数
的取值范围
正确答案
见解析
解析
(Ⅱ) ,定义域为(0,+∞),
①当 即
时,令
,
令 ,得
故
在
上单调递减,在
上单调递增
②当 即
时,
恒成立,
在(0,+∞)上单调递增。
综上,当时,
的单调递减区间为
,单调递增区间为
。
当时,
的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间。
(Ⅱ)由题意可知,不等式≤
在区间[1,e](e=2.71828…)的解集为非空集合,
即在[1,e]存在 使得
成立,
由(Ⅰ)中,则在[1,e]存在
使得
即函数在[1,e]上的最小值
由(Ⅰ)知,当时,
在[1,e]上单调递增,
当时
①当 即
时,
在[1,e]上单调递减,
②当即
时,
在[1,e]上单调递增,
,无解
③当即
时,
在
上单调递减,在
上单调递增
此时
,不合题意。
综上可得,实数 的取值范围是
或
考查方向
解题思路
确定函数的定义域,利用导数求函数的单调区间,根据题意构造出恰当的不等式,进而求出参数的取值范围。
易错点
求导错误,构造函数不成功。
知识点
17. 在等差数列中,
,数列
的前n项和
.
(Ⅰ)求数列,
的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和
.
正确答案
见解析
解析
(Ⅰ)设等差数列的首项为
,公差为d,则
数列
的前n项和
当n=1时,,
当n2时,
,对
=4不成立,
所以,数列的通项公式为
(Ⅱ)n=1时,,
n2时,
,
所以
n=1仍然适合上式,
综上,
考查方向
解题思路
利用构造的等比数列求前n项和公式的求解
易错点
构造等比数列
知识点
18. 现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为
,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
(Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率;
(Ⅱ)求该射手的总得分的分布列及数学期望
.
正确答案
见解析
解析
(Ⅰ)记“该射手恰好命中一次”为事件;“该射手设计甲靶命中”为事件
;“该射手第一次射击乙靶命中”为事件
;“该射手第二次射击乙靶命中”为事件
.
由题意知,,
,
由于,根据事件的独立性与互斥性得
(Ⅱ)根据题意,的所以可能取值为
.
根据事件的独立性和互斥性得
,
,
,
故的分布列为
所以.
考查方向
解题思路
第一问将所有可能的情况列举出求解,第二问根据随机变量分布列的概念及特征,一次写出当随机变量取不同值得情况
易错点
列举情况不全面
知识点
19. 如图,三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2,B1在底面上的射影D在棱长BC上,且A1B∥平面ADC1。
(Ⅰ)求证:平面ADC1⊥平面BCC1B1;
(Ⅱ)求平面ADC1与平面A1AB所成角的正弦值.
正确答案
见解析
解析
(Ⅰ)连接A1C交AC1于点O,连接OD,则平面A1BC∩平面ADC1=OD。∵A1B∥平面ADC1,∴A1B∥OD,又为O为A1C的中点。
∴D为BC的中点,则AD⊥BC。
又B1D⊥平面ABC,∴AD⊥B1D,BC∩B1D=D。
∴AD⊥平面BCC1B1。
又AD平面ADC1,从而平面ADC1⊥平面BCC1B1。
(Ⅱ)以D为坐标原点,DC,DA,DB1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(-1,0,0),A(0,,0),B1(0,0,
),C1(2,0,
)
易知=(1,
,0),
(1,0,
),设平面A1AB的一个法向量为
=(x,y,z)。
则,即
,取x=-
,则
=(-
,1,1)。(9分)
易知=(0,
,0),
=(2,0,
),同理可得平面ADC1的一个法向量为
=(-
,0,2)。
∴cos<,
>=
=
=
。
那么平面ADC1与平面A1AB所成角的正弦值为。
考查方向
解题思路
通过线面垂直证明面面垂直,找到二面角的平面角构造三角形,进而计算出二面角的平面角的余弦值
易错点
找不到垂直关系,找不到二面角
知识点
22.如图,AB为圆O的直径,BE为圆O的切线,点C为圆O上不同于A、B的一点,AD为∠BAC的平分线,且分别与BC交于H,与圆O交于D,与BE交于E,连结BD、CD.
(Ⅰ)求证:BD平分∠CBE;
(Ⅱ)求证:.
正确答案
见解析
解析
证明:
(I)由弦切角定理得到∠DBE=∠DAB,又∠DBC=∠DAC,∠DAB=∠DAC,所以∠DBE=∠DBC,即BD平分∠CBE.
(Ⅱ)由(I)可知BE=BH,所以,因为∠DAB=∠DAC,∠ACB=∠ABE,所以△AHC∽△AEB,
所以,即
,即
.
考查方向
解题思路
利用弦切角定理找出与其相等的角,并进行相等角间转化;利用相似三角形的判定定理判定△AHC∽△AEB;利用相似三角形对应边成比例,证明有关问题.
易错点
辅助线的作法,相似条件找不准