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1.若(i为虚数单位),则使
的
值可能是
正确答案
解析
将各选项代入检验易得答案选B.
考查方向
解题思路
利用复数运算性质化简即可得到结果。
易错点
本题易在表示复数运算时发生错误。
3.下列函数中,在区间上为增函数且以
为周期的函数是
正确答案
解析
由函数以为周期,可排除A、B,由函数在
为增函数,可排除C,故选D。
考查方向
解题思路
利用三角函数的图像性质求解
易错点
本题易在判断三角函数性质时发生错误。
5. 一个算法的程序框图如下图所示,若该程序输出的结果为,则判断框中应填入的条件是
正确答案
解析
由题可知该程序的功能是求和,因输出结果
,故选D.
考查方向
解题思路
利用程序框图的流程求解
易错点
本题易在判断循环结构的终止条件时发生错误。
6.一个篮球运动员投篮一次得3的概率为,得2分的概率为
,不得分的概率为
(
、
、
),已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其它得分情况),则
的最大值为
正确答案
解析
由已知得即
,故选D.
考查方向
解题思路
利用离散型随机变量的分布列公式求解。
易错点
本题易在计算概率时发生错误。
7.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则
的取值范围是
正确答案
解析
如图:易得答案选A.
考查方向
解题思路
利用线性规划知识求解
易错点
本题易在表示平面区域时发生错误。
8.设是定义在正整数集上的函数,且
满足:“当
成立时,总可推 出
成立”.那么,下列命题总成立的是
正确答案
解析
若成立,依题意则应有当
时,均有
成立,故A不成立,
若成立,依题意则应有当
时,均有
成立,故B不成立,
因命题“当成立时,总可推 出
成立”.
“当
成立时,总可推出
成立”.因而若
成立,则当
时,均有
成立 ,故C也不成立。对于D,事实上
,依题意知当
时,均有
成立,故D成立。
考查方向
解题思路
按照简易逻辑的命题和函数的基本性质判断求解
易错点
本题易在判断函数性质时发生错误。
2.设全集U=R,A=,则右图中阴
影部分表示的集合为
正确答案
解析
,图中阴影部分表示的集合为A∩CUB=[1,2),选B.
考查方向
解题思路
求出集合A,B的x的取值范围,利用数轴判断,即可得到结果。
易错点
对集合的表示法理解错误。
4.在等比数列中,
则
.3
.
.3或
.
或
正确答案
C
解析
或
或
,故选C。
考查方向
解题思路
利用等比数列{an}的性质即可得到结果。
易错点
在处理等比数列时错误。
10.从编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的十个形状大小相同的球中,任取3个球,则这3个球编号之和为奇数的概率是________.
正确答案
解析
解一:任取3个球有C种结果,编号之和为奇数的结果数为C
C
+ C
=60,故所求概率为
.
解二:十个球的编号中,恰好有5个奇数和5个偶数,从中任取3个球,3个球编号之和为奇数与3个球编号之和为偶数的机会是均等的,故所求概率为.
考查方向
解题思路
利用排列组合及古典概型的公式求解。
易错点
本题易在计算概率时发生错误。
11.直角坐标系中,
分别是与
轴正方向同向的单位向量.在直角三角形ABC中,若
,
,且∠C=90°则
的值是 ;
正确答案
3
解析
由平面向量的坐标表示可得:
由,得
.
考查方向
易错点
本题易在应用向量的数量积公式时发生错误。
12.已知一几何体的三视图如下,正视图和侧视图都是矩形,俯视图为正方形,在该几何体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号).
①矩形;
②不是矩形的平行四边形;
③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体;
④每个面都是等腰三角形的四面体;
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
正确答案
③④⑤
解析
由三视图知该几何体是底面为正方形的长方体,
显然①可能,②不可能,③④⑤如右图知都有可能。
考查方向
解题思路
利用三视图求解
易错点
本题易在还原几何体时发生错误。
13.极坐标系中,曲线和
相交于点
,则
= ;
正确答案
解析
在平面直角坐标系中,曲线和
分别表示圆
和直线
,易知
=
考查方向
解题思路
利用圆和直线的参数方程求解。
易错点
本题易在利用参数方程时发生错误。
14.若的最小值为3, 则实数
的值是________.
正确答案
2或8
解析
由,得
或8
考查方向
解题思路
本题考查绝对值不等式的知识求解
易错点
去绝对值时容易出错。
9. 统计某校1000名学生的数学会考成绩,得到样
本频率分布直方图如右图示,规定不低于60分为
及格,不低于80分为优秀,则及格人数是 ;
优秀率为 。
正确答案
800;20%
解析
由频率分布直方图知,及格率==80%,
及格人数=80%×1000=800,优秀率=%.
考查方向
解题思路
利用频率分布直方图的知识求解。
易错点
本题易在判断频率时发生错误。
15. 如图,PA切于点A,割线
PBC经过圆心O,OB=PB=1, OA绕点O逆时针旋转60°到OD,
则PD的长为 .
正确答案
√7.
解析
解法1:∵PA切于点A,B为PO中点,
∴AB=OB=OA, ∴,∴
,在△POD中由余弦定理
得=
∴.
解法2:过点D作DE⊥PC垂足为E,∵,∴
,可得
,
,在
中,∴
考查方向
解题思路
利用平面几何的知识求解
易错点
相关的定理容易混用。
如图某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点A、B,观察对岸的点C,测得,
,且
米。
16.求;
17.求该河段的宽度。
正确答案
(√6+√2)/4
解析
------------------------4
考查方向
解题思路
利用两角和差公式求解。
易错点
本题易在求解sin75O时发生错误。
正确答案
解析
∵
,
∴,
由正弦定理得:
∴------------6
如图过点B作垂直于对岸,垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度。
在中,∵
,
------------8分
∴=
(米)
∴该河段的宽度米。---------------------------12
考查方向
解题思路
利用正弦定理求解。
易错点
本题易在利用正弦定理时发生错误。
在三棱锥中,
,
.
18.求三棱锥的体积;
19.证明:;
20.求异面直线SB和AC所成角的余弦值。
正确答案
√3/3
解析
∵
∴且
,
∴平面
------------ ----------------2分
在中,
,
中,
∵,
∴.--------------4
考查方向
解题思路
利用线面垂直的性质求解。
易错点
本题易在求证线面垂直时发生错误。
正确答案
证法1:由(1)知SA=2, 在中,
---6
∵,∴
-------------------8分
证法2:由(1)知平面
,∵
面
,
∴,∵
,
,∴
面
又∵面
,∴
考查方向
解题思路
利用线面垂直的性质求解。
易错点
本题易在求证线线垂直时发生错误。
正确答案
解析
解法1:分别取AB、SA、 BC的中点D、E、F,
连结ED、DF、EF、AF,则,
∴(或其邻补角)就是异面直线SB和AC所成的角----------10分
∵
在中,
∴,
在中,
在△DEF中,由余弦定理得
∴异面直线SB和AC所成的角的余弦值为-------------------------14
解法2:以点A为坐标原点,AC所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如图
则可得点A(0,0,0),C(0,1,0),B
∴
设异面直线SB和AC所成的角为
则
∴异面直线SB和AC所成的角的余弦值为。
考查方向
解题思路
利用异面直线所成的角的定义求解。
易错点
本题易在找出异面直线所成角的平面角时发生错误。
设动点到定点
的距离比它到
轴的距离大1,记点
的轨迹为曲线
.
21.求点的轨迹方程;
22.设圆过
,且圆心
在曲线
上,
是圆
在
轴上截得的弦,试探究当
运动时,弦长
是否为定值?为什么?
正确答案
解析
(1)依题意知,动点到定点
的距离等于
到直线
的距离,曲线
是以原点为顶点,
为焦点的抛物线………………………………2分
∵ ∴
∴ 曲线方程是
………4
考查方向
解题思路
利用求曲线方程的步骤求解。
易错点
本题易在求解曲线方程时发生错误。
正确答案
4
解析
设圆的圆心为,∵圆
过
,
∴圆的方程为 ……………………………7
令得:
设圆与轴的两交点分别为
,
方法1:不妨设,由求根公式得
,
…………………………10分
∴
又∵点在抛物线
上,∴
,
∴ ,即
=4--------------------------------------------------------13
∴当运动时,弦长
为定值4…………………………………………………14
〔方法2:∵,
∴
又∵点在抛物线
上,∴
, ∴
∴当运动时,弦长
为定值4
考查方向
解题思路
利用直线与圆的位置关系求解。
易错点
本题易在求解联立方程时发生错误。
如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过C点,已知|AB|=3米,|AD|=2米,
23. 要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则AN的长应在什么范围内?
24. 若|AN| (单位:米),则当AM、AN的长度是多少时,矩形花坛AMPN的面积最大?并求出最大面积.
正确答案
解析
设AN的长为x米(x >2)
∵,∴|AM|=
∴SAMPN=|AN|•|AM|= ------------------------------------- 4
由SAMPN > 32 得 > 32 ,
∵x >2,∴,即(3x-8)(x-8)> 0
∴ 即AN长的取值范围是
----------- 8分
考查方向
解题思路
利用面积公式及二次函数求解。
易错点
本题易在表示面积时发生错误。
正确答案
(平方米),|AN|=3米,|AM|=9米
解析
令y=,则y′=
-------------- 10分
∵当,y′< 0,∴函数y=
在
上为单调递减函数,
∴当x=3时y=取得最大值,即
(平方米)
此时|AN|=3米,|AM|=米 ---------------------- 12
考查方向
解题思路
利用导数及函数的性质求解。
易错点
本题易在表示函数最值时发生错误。
已知数列满足
,且
。
25.求数列的通项公式;
26. 证明;
27.数列是否存在最大项?若存在最大项,求出该项和相应的项数;若不存在,说明理由。
正确答案
解析
由得
----------------------------------------1分
由一元二次方程求根公式得---------------------------3
∵
∴---------------------------------------------4
考查方向
解题思路
利用数列{an}的递推公式即可得到结果。
易错点
在利用递推公式时错误。
正确答案
∵
∴
=------------------------------------------------------------6
∵
∴------------------------------------------------------------------------8分
(其它证法请参照给分)
考查方向
解题思路
利用数列{an}的求和公式即可得到结果。
易错点
在利用分子有理化时错误。
正确答案
数列有最大项,最大项为第一项
解法1:∵
∴
=-------------------------------------------------10分
∵,∴
∴,∵
∴即
∴数列有最大项,最大项为第一项
。---------- -14
〔解法2:由知数列
各项满足函数
∵
当时,
∴当时
,即函数
在
上为减函数
即有
∴数列有最大项,最大项为第一项
。
考查方向
解题思路
利用数列{an}的通项公式即可得到结果。
易错点
在利用分子有理化时错误。
已知二次函数.
28.若,试判断函数
零点个数;
29.若对且
,
,试证明
,使
成立。
30.是否存在,使
同时满足以下条件①对
,且
;②对
,都有
。若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由。
正确答案
2个
解析
---------------2分
当时
,函数
有一个零点;--------------3
当时,
,函数
有两个零点。------------4
考查方向
解题思路
利用二次函数求解。
易错点
本题易在表示参数时发生错误。
正确答案
令,则
,
在
内必有一个实根。即
,使
成立。------------8分
考查方向
解题思路
利用二次函数求解。
易错点
本题易在表示参数时发生错误。
正确答案
解析
假设存在,由①知抛物线的对称轴为x=-1,且
∴
-------------------------10分
由②知对,都有
令得
由得
,-------------------------------12
当时,
,其顶点为(-1,0)满足条件①,又
对
,都有
,满足条件②。
∴存在,使
同时满足条件①、②。------------------------------14
考查方向
解题思路
利用二次函数求解。
易错点
本题易在表示参数时发生错误。